Chapitre II. Caractérisation d’impulsions ultra-courtes
II.9. Corrélation résolue en fréquence (FROG)
II.9.1. Principe
Alors que les techniques décrites précédemment opèrent dans le domaine fréquentiel, les techniques de corrélation résolue en fréquence opèrent simultanément dans les domaines temporels et fréquentiels [42]. Le principe général de ces méthodes est de corréler l’impulsion à caractériser avec une fonction porte de retard variable [42, 64, 65]. Suivant le retard introduit entre la porte et l’impulsion, il est alors possible de sélectionner uniquement une partie de celle-ci grâce à un processus non linéaire (génération de second harmonique par exemple) puis d’enregistrer le spectre résultant de cette corrélation. Une variation du retard de la porte permet ensuite d’analyser plusieurs tranches successives de l’impulsion et, in fine de constituer un spectrogramme, appelé aussi communément trace FROG qui, dans une représentation retard-fréquence, est du type [42, 65] :
( ) ( ) ( ) ( )
2 , exp FROG Sω τ
∞ E t g tτ
i t dtω
−∞ =∫
− , (2.21)où g(t) est la fonction porte, E(t) le champ de l’impulsion à caractériser,
τ
le retard introduit etω
la pulsation.Nous remarquerons ici que l’évolution de ce spectre en fonction du retard introduit entre la porte et l’impulsion contient non seulement toutes les informations d’intensité, mais également, grâce à E(t), toutes les informations sur la phase [42]. Le spectrogramme étant enregistré expérimentalement, toute la difficulté de cette technique réside dans le fait de déterminer E(t) à partir de S(
ω
,τ
).Si par chance g(t) est connue, ce problème est alors analytiquement inversible [42, 61, 76]. Taira
et al. ont notamment développé en 2001 un système FROG basé sur une corrélation croisée entre
l’impulsion à caractériser et une référence préalablement déterminée en intensité et en phase par un système SHG-FROG classique [76]. L’avantage de ce système est sa procédure analytique qui en fait une
technique extrêmement rapide, ne nécessitant pas l’emploi d’un algorithme itératif comme c’est le cas dans les systèmes FROG classiques (voir plus loin) [76].
Malheureusement, pour pouvoir utiliser ce système de corrélation croisée, il faut disposer dans son laboratoire d’une impulsion porte, parfaitement stable temporellement, de largeur au plus égale à celle de l’impulsion à caractériser et pouvant être synchronisée avec celle-ci et surtout, dont l’intensité et la phase sont parfaitement connues.
Comme ces restrictions se voient rarement remplies, l’astuce des systèmes FROG est de dupliquer l’impulsion à caractériser et d’utiliser cette réplique comme fonction porte. Autrement dit, la technique FROG consiste à utiliser l’impulsion à caractériser comme fonction porte dans une configuration d’autocorrélation, comme décrit dans les paragraphes II.1 et II.2 [42, 61, 69] puis de résoudre en fréquence le signal de corrélation pour chaque valeur du retard (
τ
) grâce à un OSA.D’une manière générale, si nous appelons Esig(t,
τ
) le signal issu du processus non linéaire, le spectrogramme de l’impulsion à caractériser peut alors se mettre sous la forme suivante [42] :( ) ( ) ( )
2 , , exp FROG sig Sω τ
∞ E tτ
i t dtω
−∞ =∫
. (2.22)Nous voyons ici qu’il s’agit en fait de la transformée de Fourier suivant l’instant t du signal de corrélation Esig(t,
τ
). Si, par exemple, le processus non linéaire choisi est la génération de second harmonique (système SHG-FROG utilisé dans notre expérience), le spectrogramme ou la trace FROG du signal E(t) à caractériser prend alors la forme suivante [68, 75] :( ) ( ) ( ) ( )
2 , exp SHG FROG Sω τ
∞ E t E tτ
i t dtω
−∞ =∫
− . (2.23)La Figure suivante illustre plus clairement ce que cache le spectrogramme d’un train d’impulsions. Il s’agit ici du spectrogramme SHG-FROG du train d’impulsions à 160-GHz obtenu par mélange à quatre ondes multiple décrit dans le paragraphe III.2. Nous observons clairement sur la Figure II-10(a) la modulation du signal FROG en fonction du retard qui traduit le recouvrement des deux répliques de l’impulsion au sein du cristal. La Figure II-10(b) est une vue du dessus de la Figure(a) que les scientifiques appellent communément trace FROG des impulsions [42].
Le problème reste toutefois de déterminer E(t) puisque la porte étant aussi peu connue que l’impulsion, l’utilisation d’algorithme d’inversion de spectrogramme nous est interdite. Il nous faut donc un autre moyen de remonter à la phase et à l’intensité de E(t).
Figure II-10 (a) Spectrogramme classique SHG-FROG d’un train d’impulsions, (train à 160-GHz de la Figure III-19) (a) Idem mais en vue du dessus, appelé également trace FROG.
En notant Esig
( )
t,Ω la transformée de Fourier de Esig(t,τ
) vis-à-vis de τ, l’intensité du spectrogramme devient [42, 61, 69] :( ) ( ) ( )
2 -, , exp -FROG sig Sω τ
∞ ∞E t iω ω
t dtd −∞ ∞ ⎡ ⎤ =∫ ∫
Ω ⎣ Ω ⎦ Ω . (2.24)Nous observons ici clairement que le spectrogramme obtenu par un système FROG correspond au module carré de la transformée de Fourier à deux dimensions (2D) de la quantité Esig
( )
t,Ω . Fort de cette révélation, le lecteur est cependant en droit de se dire que cette transformation n’a fait que compliquer le problème. Heureusement, contrairement au problème à une dimension, dans lequel il existe une infinité de solutions associant une fonction à une transformée de Fourier connue, le problème devient soluble dans un espace à deux dimensions moyennant quelques hypothèses. Ce problème d’inversion de transformée de Fourier en deux dimensions est un problème fréquemment rencontré dans le domaine d’imagerie [42]. L’hypothèse qui permet la résolution du problème est le caractère fini de l’image pour laquelle les variables t et Ω sont différentes de zéro uniquement dans des intervalles finis.Dans le cas de la caractérisation d’impulsions, l’information supplémentaire qui permet de résoudre le problème vient de la connaissance de la forme mathématique de Esig
( )
t,τ
et donc de Esig( )
t,Ω ,comme par exemple pour un système SHG-FROG dans lequel Esig
( )
t,τ
=E t E t( ) (
−τ)
[64]. En pratique, l’inversion est réalisée à l’aide d’un algorithme itératif qui recherche le signal physique correspondant à la trace FROG expérimentale et remplissant les contraintes mathématiques qui lui sont imposées [42]. La pertinence de l’impulsion récupérée peut être ensuite estimée par un calcul de différence quadratique moyenne entre la trace FROG expérimentale et la trace recalculée à partir du(b)
champ ainsi trouvé [42]. Les données expérimentales supplémentaires, fonction d’autocorrélation et spectre optique, permettent également de s’assurer de la validité de la procédure [42].