= Z
P(E)
D
ρ⊗k, ϕE ˆ π(dρ) defpik (3.1.1)
avec
defpik2
defpik2 (3.1.2) D
ρ⊗k, ϕE
= Z
Ek
ϕ(x1, ..., xk)ρ(dx1)... ρ(dxk) =Rϕ(ρ).
Or,ρ7→Rϕ(ρ)∈Cb(P(E))comme nous l’avons vu `a la section2.1 et sur l’espace polonaissec:fctC-1 P(E) on a d´efini une tribu grˆace au Lemme lem:TribuP(E)
1.5.40. Ainsi donc, la derni`ere int´egrale dans (defpik3.1.1) est bien d´efinie au sens de Lebesgue.
3. Insistons sur le point fondamental pr´ec´edent. La relation liantπˆ et πk est : eq:pikRphipi
eq:pikRphipi (3.1.3) ∀ϕ∈Cb(Ek) hπk, ϕi= Z
P(E)
Rϕ(ρ) ˆπ(dρ).
4. Pour α=δµ et β = 12δµ1+ 12δµ2 on trouve respectivement αk(dx1, ..., dxk) =
Yk i=1
µ(dxi).
βk(dx1, ..., dxk) = 1 2
Yk i=1
µ1(dxi) +1 2
Yk i=1
µ2(dxi).
5. Concernant la derni`ere int´egrale dans (iv), on sait queP(E∞)est un espace polonais et on montrera queP(Ee ∞) est un sous espace ferm´e deP(E∞), de sorte que l’on peut munir P(Ee ∞) de la tribu trace deBP(E∞) et d´efinir ainsi au sens de Lebesgue cette int´egrale.
3.2 Preuve du th´ eor` eme de De Finetti, Hewitt et Savage.
Nous allons essentiellement donner deux preuves de ce th´eor`eme. L’une reprend l’ar-gument de E. Hewitt et L.J. Savage et repose sur le th´eor`eme de Krein-Milman. L’autre est due `a P.-L. Lions et repose sur le th´eor`eme de Stone-Weierstrass. Nous donnerons
´egalement une troisi`eme preuve due `a P. Diaconis et D. Freedman dans la section sui-vante. Le fait que (i) soit impliqu´e par (ii), (iii) ou (iv) est trivial. L’implication (i)⇒(ii) et l’´equivalence (iii) ⇔(iv) reposent sur des arguments de la th´eorie de la mesure assez standards. Les deux implications d´elicates sont donc (i)⇒ (iii) et (ii)⇒(iv).
3.2.1 Preuve de (iii) ⇒ (i) et (i) ⇔ (ii).
(iii) ⇒ (i). Pour π ∈ P(P(E)) donn´ee, il est clair que πk d´efinie par (3.1.1)-(defpik 3.1.2) estdefpik2 sym´etrique et que la famille des (πk) est compatible.
(i) ⇔ (ii). Les (πk) ´etant compatibles, le th´eor`eme de Kolmogorov theo:Kolmogorov
A.5.10 affirme qu’il existeπ ∈P(E∞) unique caract´eris´ee parπk(A) =π(CA) pour toutA∈BEk. Il est alors imm´ediat queπ∈Psym(E∞).
3.2.2 Preuve de (i) ⇒ (iii) dans le cas E compact.
On suppose de plus queEest compact. On commence par d´efinirπ :P(P(E))→Rcomme forme lin´eaire en posant
π(Rϕ) =πj(ϕ) = Z
Ej
ϕ(x1, ..., xj)π(dx1, ..., dxj)
pour tout polynˆome Rϕ de degr´e j, avec donc ϕ ∈ C(Ej). La compatibilit´e des (πj) implique la lin´earit´e deπ. Grˆace `a la compatibilit´e et la sym´etrie deπN, pourϕ∈C(Ej), on a
theoHS11
theoHS11 (3.2.4) πj(ϕ) =πN(ϕ⊗1⊗(N−j)) =πN(ϕ⊗^1⊗(N−j)).
Grˆace au lemmelemGrunbaum
2.1.4, on en d´eduit queπ est continue pour la norme deC(P(E)) puisque pour toutRϕ∈P(P(E)) et tout N ∈N∗ on a
|π(Rϕ)| = |πN(ϕ⊗^1⊗(N−j))|
≤ kϕ⊗^1⊗(N−j)kC(EN)≤ sup
X∈EN|Rϕ◦µNX|+ 2j2 kϕk N et donc en passant `a la limiteN → ∞
|π(Rϕ)| ≤ sup
m∈P(E)|Rϕ(m)|=kRϕkC(P(E)).
Comme les polynˆomes sont denses dansC(P(E)), il suffit de d´efinirπen g´en´eral en posant
∀ψ∈C(P(E)) hπ, ψi= lim
j→∞hπ, Rji pour une suite de polynˆomesRj → ψ.
On aπ(1) = 1. Enfin, siRϕ ≥0 avec ϕ∈C(Ej), cela signifie, par d´efinition, Rϕ(m)≥0
∀m∈P(E), en particulier Rϕ◦µNX ≥0. On conclut que π(Rϕ) = lim
N→∞πN(ϕ⊗^1⊗(N−j))≥lim inf
N→∞[πN(Rϕ◦µNX)−kϕk N ]≥0.
On a donc d´efiniπ comme forme lin´eaire continue positive de masse 1 surC(P(E)), donc comme un ´el´ement deP(P(E)). Enfin, on a bien (eq:pikRphipi
3.1.3).
3.2.3 Preuve de (i) ⇒ (iii) dans le cas E g´en´eral.
On suppose maintenant seulementEpolonais et localement compact. SoitEb =E∪{∞}
le compactifi´e d’Alexandroff deE qui est muni d’une structure d’espace m´etrique compact (voir la section subsec:annexe-Alexandroff
A.4 de l’annexe). Appliquant l’implication (i) ⇒(iii) `a la suite sym´etrique et compatible (πj) de P(Ej)⊂P(Ebj), il vient
eq:HShatE1
eq:HShatE1 (3.2.5) ∃π ∈P(P(Eb)) telle que πj = Z
P(E)b
ρ⊗jπ(dρ) ∀j ≥1.
Il s’agit maintenant de montrer que suppπ ⊂ P(E), ce qui permettra de consid´erer π|P(E) =π comme un ´el´ement de P(P(E)), et terminera la preuve.
A cette fin, on d´efinit ˆρ ∈ P( ˆE) la masse de dirac en ∞, ˆρ({∞}) = 1, et A :=
P(E)b \(P(E)∪ {ρˆ}). De cette fa¸con on aP(E) =b P(E)∪A∪ {ρˆ} disjoints deux `a deux, et tel que
ρ∈P(E)⇒ρ(E) = 1, ρ∈A⇒0< ρ(E)<1, ρ(E) = 0.ˆ Comme par hypoth`ese π1 ∈P(E), on a grˆace `a (3.2.5)eq:HShatE1
eq-1
eq-1 (3.2.6)
1 =π1(E) = Z
P(E)b
ρ(E)π(dρ)
= Z
P(E)
ρ(E)| {z }
=1
π(dρ) + Z
A
ρ(E)π(dρ) + ˆρ(E)
| {z }
=0
π({ρˆ})
=π(P(E)) + Z
A
ρ(E)| {z }
<1
π(dρ).
Supposons par contradiction π(A)>0. On d´eduit alors de (eq-13.2.6) que 1< π(P(E)) +
Z
A
π(dρ)≤π(P(E)) +π(A) +π({ρˆ}) = 1,
ce qui est absurde, et doncπ(A) = 0. Combin´e `a (3.2.6), cela impliqueeq-1 π(P(E)) = 1. ⊔⊓ 3.2.4 Preuve de (iii) ⇔ (iv).
Commen¸cons par un lemme.
lem:applMmu Lemme 3.2.6 SoitE un espace polonais. L’applicationΛ :P(E)→P(Ee ∞),µ 7→ Λ(µ) :=mµ =µ⊗∞
est un hom´eomorphisme entre espaces topologiques dont l’inverse est Λ−1 :P(Ee ∞) →P(E),α=mµ7→
Λ−1(α) = Π1α=µ.
Preuve du Lemme lem:applMmu
3.2.6. Etape 1. Par d´efinition l’application Λ est bijective. Par d´efinition ´egalement on munitP(Ee ∞) de la topologie trace de P(E∞) que l’on rappelle ˆetre d´efinie pour une suite (αN) de P(E∞) etα∈P(E∞) par αN →αsi, et seulement si, ΠkαN→ΠkαdansP(Ek) pour toutk≥12. On en d´eduit en particulier quemµn →mµ dansP(Ee ∞) implique µn= Π1mµn →Π1mµ=µ, et donc Λ−1 est continue.
Etape 2.Λest continue dans le cas compact. Soitµn→µfaiblement dansP(E). Commemµn∈P(E∞) un compact, il existen′ une sous-suite, il existe ¯m∈P(E) telle quemµn′ →m¯ faiblement dansP(E∞).
Alors pour toutf=f1⊗...⊗fkon a
mµn′(f) =µn′(f1)... µn′(fk) → µ(f1)... µ(fk) =mµ(f).
Cela permet d’identifier ¯m=mµet montre (par unicit´e de la limite) que Λ est continue.
Etape 3.Λest continue dans le cas g´en´eral. Le seul point `a modifier est que maintenant la s´equentielle compacit´e de la suite (mµn) n’est pas automatique : il faut v´erifier un crit`ere de tension. Puisqueµn → µ, cette suites est tendue dans P(E) : ∀ε > 0 il existe Kε ⊂ E compact tel que µn(E\Kε) ≤ ε. Pour tout k ≥1 on d´efinit le cylindre Ck =C(Kε2−k, ..., Kε2−k) (avec k r´epliques de Kε2−k) et l’ensemble K:=C1∩...∩Ck∩... On v´erifie, en utilisant un proc´ed´e d’extraction diagonale de Cantor3, queKest un compact deE∞. De plus, on a
∀n≥1 mµn(E∞\K)≤ X∞
k=1
mµn(E∞\Ck)≤ε.
2voir le lemme lem:cvgceproduit A.5.11 de l’appendice
3voir la preuve du lemmelem:tensionSznitman 3.3.13 ci-dessous
Cela implique que la suite (mµn) est tendue, et on conclut de la mˆeme mani`ere que pr´ec´edemment. ⊔⊓
(iv)⇔(iii) Inversement, supposons maintenant (iv) et d´efinissons ˆπ:= Λ−1♯˜π, soit donc pour toute fonction mesurable Φ surP(E)
3.2.5 Preuve (directe) de (ii) ⇒ (iv) dans le cas d’un espace compact
lem:Psym Lemme 3.2.7 Supposons E compact. Soitm∈P(E∞). Il y a ´equivalence entre (i) m∈Psym(E∞);
En particulier, l’espacePsym(E∞)est ferm´e (au sens de la convergence faible) dansP(E∞), donc c’est un espace convexe et compact.
Preuve du Lemmelem:Psym
3.2.7. L’´equivalence (i)⇔(iii) est claire, il suffit d’utiliser un argument d’approximation dans les deux cas :f= limfnavecfnfonctions ´etag´ees sif∈C(E) et1A= limϕnavecϕn+1≥ϕn∈C(E) si A est un ouvert, et de passer `a la limite dans les d´efinitions. L’implication (ii)⇒ (i) ´est imm´ediate, et l’implication inverse est une cons´equence du lemme de classe monotone (puisque les pav´es engendrent la tribu BE∞). Pour montrer que m∈Psym(E∞) il suffit maintenant d’utiliser le crit`ere (iii) : si (mn) est une suite dePsym(E∞) telle quemn →m faiblement dansP(E∞) cela implique que (est ´equivalent
`
a ce que) mnk →mk faiblement dans P(Ek) pour tout k ≥1, de sorte que en passant `a la limite dans les relations (iii) pourmn on en d´eduit quemsatisfait ces mˆemes identit´es et que doncm∈Psym(E∞).
CommeP(E∞) est compact, cela prouve quePsym(E∞) est compact. ⊔⊓ lem:Pprod Lemme 3.2.8 Soitm∈P(E∞). Il y a ´equivalence entre
(i) m∈P(Ee ∞)
En particulier, l’espaceP(Ee ∞)est ferm´e (au sens de la convergence faible) dans P(E∞).
Preuve du Lemme lem:Pprod
3.2.8. Elle est semblable `a la preuve du Lemme lem:Psym
3.2.7. ⊔⊓
Dans la suite, pour des ensemblesF1, . . . , Fk∈BE on noteC(F1, . . . , Fk) le cylindre
C(F1, . . . , Fk) :={X= (xn)n≥1∈E∞; xn∈Fn∀n= 1, ..., k}=F1× · · · ×Fk×E× · · · ∈BE∞.
lem:technHS Lemme 3.2.9 SoientA=C(E1, . . . , En),B=C(E1, . . . , En, E1, . . . , En)etm∈Psym(E∞). Alors
carmest sym´etrique. De fa¸con similaire, on calcule
e2
Maintenant, appliquant l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz avec (e1
3.2.8) et (e2
prop2 Proposition 3.2.1 Soitm∈Psym(E∞)v´erifiant l’´egalit´e dans (ineg
3.2.7)pour tout cylindreA. Alorsmest un point extr´emal dePsym(E∞). En particulier,P(E˜ ∞)⊂ Ext(Psym(E∞)).
Preuve de la Proposition prop2
3.2.1. On suppose que m n’est pas un point extr´emal de Psym(E∞). Alors
3.2.12) on obtient l’in´egalit´e strictem(A)2 < m(B). Par cons´equent, si m∈ Psym(E∞) v´erifie l’´egalit´e dans (ineg
3.2.7) pour tout cylindreAalorsmest un point extr´emal dePsym(E∞).
Or, sim=mµ∈P(E˜ ∞) il est clair quemv´erifie l’´egalit´e dans (ineg
3.2.7). En effet pourA=C(E1, . . . , En) etB=C(E1, . . . , En, E1, . . . , En) on a
m(A) = µ(E1)· · ·µ(En), m(B) =µ(E1)· · ·µ(En)µ(E1)· · ·µ(En)
et doncm(A)2 = m(B). Cela d´emontre bien l’inclusion ˜P(E∞)⊂ Ext(Psym(E∞)). ⊔⊓
non extremal Proposition 3.2.2 Aucune probabilit´em∈Psym(E∞)\P(Ee ∞) n’est un point extr´emal. En particulier, P(E˜ ∞)⊃ Ext(Psym(E∞)).
Preuve de la Proposition non extremal
3.2.2. Commem∈Psym(E∞)\P(Ee ∞) il existeF0, F1, . . . , Fn∈BEtel que dif
dif (3.2.13) m(C(F0, F1, . . . , Fn))6=m(C(F0))m(C(F1, . . . , Fn)), puisque dans le cas contraire, en posantµ(F0) :=m(C(F0)), on auraitm=mµ.
On commence par remarquer que n´ecessairement 0< m(C(F0))<1. En effet, d’une partm(C(F0)) = 0 impliquem(C(F0, F1, . . . , Fn)) = 0 et on aurait ´egalit´e dans (dif
3.2.13). D’autre part, sim(C(F0)) = 1, on a m(C(E\F0, F1, . . . , Fn))≤m(C(E\F0)) = 0, et de la relation
1 =m(C(F0, F1, . . . , Fn)) +m(C(E\F0, F1, . . . , Fn)) +m(C(E, En\(F1× · · · ×Fn)), on tire
m(C(F0, F1, . . . , Fn)) = 1−m(C(En\(F1× · · · ×Fn)) =m(C(F1, . . . , Fn)), ce qui implique une ´egalit´e dans (dif
3.2.13).
PourA=C(A1, . . . , An)∈BE∞, on pose ¯A=C(E, A1, . . . , An). En utilisant le fait quem(A) =m( ¯A) par sym´etrie dem, on peut ´ecrire
(3.2.14)
m(A) =m( ¯A|C(F0))m(C(F0)) +m( ¯A|C(F0c))m(C(F0c))
=m(C(F0))
| {z }
t
m( ¯A|C(F0))
| {z }
m1(A)
+ (1−m(C(F0)))
| {z }
1−t
m( ¯A|C(F0c))
| {z }
m2(A)
=tm1(A) + (1−t)m2(A),
avec m1, m2 ∈ Psym(E∞) distincts, 0 < t < 1, et c’est pr´ecis´ement ce qu’il fallait d´emontrer : m /∈
Ext(Psym(E∞)). ⊔⊓
Preuve de (ii) ⇒ (iv). En r´esum´e, on a d´emontr´e que Psym(E∞) est un convexe compact et que Ext(Psym(E∞)) =P(Ee ∞) est ferm´e. Alors d’apr`es le th´eor`emeth:choquet
A.3.8 de Choquet, pour toutπ∈Psym(E∞) il existe une mesure de probabilit´eP(P(Ee ∞)) telle que
π= Z
P(Ee ∞)
απ(dα),˜
ce qui est bien (iv) en appliquant la projection Πk de part et autre de cette ´egalit´e. ⊔⊓