Notes bibliographiques

subsec:Nbibchap1

Pour l’essentiel, ce chapitre d´eveloppe la th´eorie des espaces de probabilit´e du point de vue topologique et m´etrique. D’une mani`ere g´en´erale les ouvrages qui font r´ef´erence sont les livres classiques “de probabilit´e” EthierKurtz,Billingsley1999,Dudley2002

[26, 7, 23] et les livres r´ecents (mais d´ej`a classiques)

“d’analyse” AmbrosioBook,VillaniTOT,VillaniOTO&N

[2, 64, 66]. On peut ´egalement citer les cours d’introduction `a l’analyse fonc-tionnelle HirschLacombe,Malliavin1982

[33, 39] ainsi que le livre[51] dans lequel un tr`es grand nombre de distances sont^BookRachev d´efinies sur l’espace P(E).

De mani`ere plus d´etaill´ee, les sections subsec:MFG-0

1.1 et subsec:MFG-2

1.3 reprennent une partie du cours de P.-L. Lions[36]. Le mat´eriel de la section^PLLcoursCF subsec:MFG-1

1.2 est extrˆemement classique et basique, et se trouve d´ej`a dans HirschLacombe,Malliavin1982

[33, 39]. La section subsec:MFG-3

1.4 est extraite du livre de C. Villani[64] ; ce sont es-^VillaniTOT sentiellement des r´esultats de l’introduction et des chapitres 1 et 7 (dont la d´emonstration est parfois laiss´ee en exercice). Les lemmes lem:densityCoupling

1.4.24 et lem:Rachev2

1.4.25 sont tir´es de^BookRachev[51]. Les r´esultats pr´esent´es dans la section subsec:EspacesPolonais

1.5 sont tir´es du livre de S.N. Ethier et T.G. Kurtz EthierKurtz

[26] et des livres de Villani VillaniTOT,VillaniOTO&N

[64, 66] ; d’autres r´ef´erences classiques sont ^Dudley2002[23], Billingsley1999

[7, Chapitre 5]. Le th´eor`eme theoProkhorov

1.5.27 de Prokhorov est d´emontr´e dans EthierKurtz

[26, chapitre 3, Th´eor`eme 2.2], voir

´egalement [23] ou^Dudley2002Billingsley1999

[7, Chapitre 5]. La distance de L´evy-Prokorov est ´etudi´ee dans de nombreux ouvrages de probabilit´e ; le th´eor`eme 1.5.30 est d´emontr´e dans^theoLP EthierKurtz

[26, chapitre 3, Th´eor`emes 1.7 et 3.1], voir ´egalement Billingsley1999

[7, Theorem 6.8]. Les th´eor`emes concernant les distances MKW sont tir´es de VillaniTOT,VillaniOTO&N

[64, 66] comme pr´ecis´e dans la section. La section subsec:MFG-PRd

1.6 com-mence par quelques observations tr`es classiques et assez triviales. L’´ebauche de la preuve du th´eor`eme theo:PRdPolonais

1.6.46 est inspir´ee de la preuve de[9] qui a ´et´e reprise dans^Bolley2008 VillaniOTO&N

[66]. Les r´esultats de comparaison de distance dans P(R^d) expos´es dans cette section sont sˆurement ´egalement bien connues. On pourra consulter le livre [51] de S.T. Rachev et L. R¨^BookRachev uschendorf dans lequel une s´erie de r´esultats concernant l’´equivalence des distances construites sur l’espace des probabilit´esP(R^d) est pr´esent´ee. Cette mˆeme question est ´egalement abord´ee dans les

tr`es agr´eables notes [16] de J.A. Carrillo et G. Toscani. La preuve du Lemme^coursCT lem:ComparDistances

1.6.50 est tir´ee de[1].^MM**

Fonctions continues sur E ^N et P(E )

chap:FctsContinues

Dans tout ce chapitre E d´esignera un espace polonais, un espace polonais localement compact ou un espace compact.

2.1 Fonctions continues et fonctions polynomiales sur P(E)

sec:fctC-1

def:FctContPE D´efinition 2.1.1 Soit E un espace polonais. On dit qu’une fonction U : P(E) → R est continue si ρ_n ⇀ ρ faiblement implique U(ρ_n) → U(ρ). On note U ∈ C(P(E)). On note C_b(P(E)) l’espace des fonctions continues et born´ees. On note U C(P(E)), l’espace des fonctions uniform´ement continues et born´ees sur P(E) : ´etant fix´ee une distance D m´etrisant la topologie faible, il existe un module de continuit´eω (c’est-`a-dire une fonction ω:R₊→R₊ continue et telle que ω(0) = 0) tel que

∀ρ, η∈P(E) |U(η)−U(ρ)| ≤ω(D(ρ, η)).

Lorsque E est compact alors P(E) est compact et U C(P(E)) =C_b(P(E)) =C(P(E)).

• Le prototype de la fonction continue est le monˆome de degr´e 1 : ´etant donn´ee une fonctionϕ∈C_b(E) on pose

∀ρ∈P(E) Rϕ(ρ) = Z

E

ϕ dρ.

On d´efinit bien ainsi R_ϕ ∈ C_b(P(E)). A noter ´egalement que si ϕ ∈ Lip(E) alors R_ϕ ∈ Lip(P(E))⊂U C(P(E)), o`uLip(P(E)) correspond ai cas o`u le module de continuit´e peut ˆetre pris de la forme ω(s) =L s,L≥0, dans la d´efinition def:FctContPE

2.1.1.

•Plus g´en´eralement, pour k∈N^∗ etϕ∈C_b(E^k) donn´es, on d´efinit R_ϕ :P(E)→Rpar Rϕ(m) :=

Z

E^k

ϕ(x1, ..., x_k)m(dx1)... m(dx_k) =hm^⊗k, ϕi.

On dit queR_ϕ est un polynˆome de degr´e (au plus)k, etϕcorrespond aux coefficients. On d´efinit la multiplication par un scalaire de mani`ere ´evidente. On d´efinit l’addition de deux

43

polynˆomesR1 etR2, respectivement associ´es aux fonctionsϕ1 ∈C(E^k1) et ϕ2 ∈C(E^k2), avec disonsk₁≤k₂, comme le polynˆome de degr´e au plusk₂ associ´e `a la fonction

ϕ(x₁, ..., x_k2) =ϕ₁(x₁, ..., x_k1) +ϕ₂(x₁, ..., x_k2).

On a bien ainsi Rϕ(m) =R1(m) +R2(m) pour tout m∈P(E). On d´efinit le produit de R₁ etR₂ comme le polynˆome de degr´e au plusk₁+k₂ associ´e `a la fonction

ψ(x₁, ..., x_k1, x_k1+1, ..., x_k1+k2) =ϕ₁(x₁, ..., x_k1)ϕ₂(x_k1+1, ..., x_k1+k2).

On a bien ainsiR_ψ(m) =R₁(m)R₂(m) pour toutm∈P(E). On noteP(P(E)) l’ensemble des polynˆomes qui a donc une structure d’alg`ebre unitaire.

lem:PpPEcCPE Lemme 2.1.2 SoitEun espace polonais localement compact. Alors P(P(E))⊂C_b(P(E)) Preuve du Lemmelem:PpPEcCPE

2.1.2. On fixeϕ∈C_b(E^k). D’une part clairementR_ϕest born´ee. D’autre part, ´etant donn´ee une suite (ρ_n) deP(E) etρ∈P(E) telles queρ_n⇀ ρfaiblement dans P(E), on a en particulier ρ^⊗_n^k ⇀ ρ^⊗k pour la dualit´e de C_c(E)^⊗k, donc pour la dualit´e de C_c(E^k) (ici on utilise le th´eor`eme A.2.2 de Stone-Weierstrass) et donc enfin pour la^thStoneW dualit´e de C_b(E^k) (ici on utilise le lemme lem:cvgcesPRd

1.6.42 d’´equivalence des convergences). On en

d´eduit R_ϕ(ρ_n)→R_ϕ(ρ). ⊔⊓

th:SWCPE Th´eor`eme 2.1.3 LorsqueE est compact, l’alg`ebre des polynˆomesP(P(E))est dense dans C(P(E)). Cela signifie que pour toute fonction U ∈ C(P(E)) il existe une suite de po-lynˆomes R_j = R_ϕj, avec ϕ ∈ C(E^j), (et j → ∞ si U n’est pas un polynˆome !) telle que R_j →U dans C(P(E)) :

sup

m∈P(E)|U(m)−Rj(m)| →0 lorsque j→ ∞.

Preuve du th´eor`eme2.1.3.^th:SWCPECommeE est compact, l’espace P(E) est compact.

Il est clair que P(P(E)) s´epare les points de P(E) : pour ρ₁ 6= ρ₂ ∈ P(E) il suffit de prendre une fonction ϕ ∈ C(E) telle que hρ₂, ϕi 6= hρ₁, ϕi. On applique le th´eor`eme de Stone-Weierstrass (mais cette fois sur le compact P(E)) et on obtient que l’alg`ebre

unitaireP(P(E)) est dense dans C(P(E)). ⊔⊓

•On noteM(P(E)) l’ensemble des monˆomes : ce sont les polynˆomes associ´es aux fonctions tensori´eesϕ=ϕ₁⊗...⊗ϕ_k,ϕ_i ∈C(E). LorsqueEest compact, on montre comme ci-dessus que l’alg`ebre engandr´ee par les monˆomes est dense dansC(P(E)). Cela explique pourquoi on peut se restreindre `a consid´erer des fonctions testes tensoris´ees lorsque l’on souhaite montrer des th´eor`emes de convergence. On reviendra sur ce point dans le chapitre suivant.

• Consid´erons φ:R² → R de classe C¹,φ(·,0) = 0 et S_t :P(R) → P(R) le semi-groupe de la chaleur surR. Comme S_t:P(R)→(L¹∩L^∞)(R),ρ7→ρ_t:=γ_t∗ρ, pour toutt >0, on peut d´efinir

Φ_t(ρ) :=

Z

R²

φ(x, ρ_t(y))dxdy,

et Φ_t∈C_b(P(R)). Il est `a noter que siφ(x, s) =ψ(x),ψ∈C<sub>c</sub>(R) alors Φ<sub>t</sub> est le polynˆome associ´ee `aψ∗γt. Dans le cas g´en´eral, Φt n’est pas un polynˆome.

• Consid´eons S_t : P(R^d) → P(R^d), ρ 7→ ρ_t un semi-groupe non lin´eaire (par exemple celui obtenu en r´esolvant l’´equation de la Boltzmann ou une ´equation de la chaleur non

lin´eaire). Pour toutφ∈Cc(R^d), la fonction Φt(ρ) :=R_φ(ρt) appartient `a C_b(P(E)) mais n’est pas un polynˆome.

•La construction des polynˆomes ci-dessus nous a permis de d´efinir une application CENtoCPE

CENtoCPE (2.1.1) C_b(E^k)→C_b(P(E)), ϕ7→R_ϕ.

• L’application π_C^N. Inversement, ´etant donn´ee une fonction U ∈ C_b(P(E)), on d´efinit pout tout N une fonction sym´etrique sur E^N en posant

UtouNEgal

UtouNEgal (2.1.2) ∀X ∈E^N u^N(X) :=U(ˆµ^N_X).

Par exemple, pour un polynˆomeR=R_ϕ de degr´e 1, avec donc ϕ∈C_b(E), on calcule X= (x₁, ..., x_N) 7→ R_ϕ(µ^N_X) = 1

N XN

i=1

ϕ(x_i).

•Pour tout k, N ∈N^∗ en combinant (2.1.1) et on d´efinit une application^CENtoCPE (2.1.3) C_b(E^k)→C_sym(E^N), ϕ7→ϕ¯^(N)(X) =R_ϕ(µ^N_X).

Plus pr´ecis´emment, pour toutϕ∈C_b(E^k) et toutX ∈E^N, on a R_ϕ(µ^N_X) =

Z

E^k

ϕ(y₁, ..., y_k) 1 N

XN i1=1

δ_xi

1

!

(dy₁)...



 1 N

XN i_k=1

δ_xik



(dy_k) barphi (2.1.4)

= 1

N^k XN i1,...,ik=1

ϕ(x_i1, ..., x_ik) = ¯ϕ^(N)(X).

D’autre part, pour une fonction ψ ∈ C(E^N) notons ˜ψ la ”fonction sym´etris´ee de ψ”, c’est-`a-dire celle obtenue en posant

ψ(X) :=˜ 1

♯(S_N) X

σ∈S_N

ψ(x_σ(1), ..., x_σ(N)).

Le r´esultat suivant ´etablit que pourψ =ϕ⊗1^N−k, ϕ∈C_b(E^k), on a ˜ψ ∼ϕ¯ asymptoti-quement lorsqueN → ∞.

lemGrunbaum Lemme 2.1.4 Soit E un espace m´etrique quelconque et soit ϕ∈C_b(E^k). Alors inegfondC1

inegfondC1 (2.1.5) sup

X∈E^N/S_N

|ϕ⊗^1^⊗(N−k)(X)−R_ϕ(ˆµ^N_X)| ≤ 2k² N kϕk∞

et donc

inegfondC2

inegfondC2 (2.1.6) lim sup

N→∞ kϕ⊗^1^⊗(N−k)kL^∞(E^N)≤ sup

ρ∈P(E)|R_ϕ(ρ)|.

Preuve du lemme lemGrunbaum

2.1.4. D’une part, par d´efinition ϕ⊗^1^⊗(N−k)(X) = 1 ce qui prouve bien (2.1.5). On en d´eduit^inegfondC1

kϕ⊗^1^⊗(N−k)kL^∞(E^N) ≤ sup

X∈E^N

R_ϕ(µ^N_X) + 2k²

N kϕkL^∞(E^k)

et (2.1.6) `^inegfondC2a la limiteN → ∞. ⊔⊓

Dans le document Cours de l’Ecole doctorale EDDIMO : Une introduction aux limites de champ moyen pour des syst`emes de particules - VERSION PROVISOIRE - (Page 58-62)