G´en´eralisation ` a la sph`ere de Boltzmann de dimension N → ∞

puis donc

W_k.k_H−s( ˆF^N, δ_f)≤ 1 N^1/2, et ensuite (on perd ici)

WW2( ˆF^N, δ_f)≤ 1 N^γ/2, puis, (il faut g´en´eraliser cette partie au cadreW2)

W₂(F^N, f^⊗N)≤ WW2( ˆF^N, δ_f) + Ω_f(N)≤ 1

N^γ + 1 N^γ/2?

⊓

⊔

5.4 G´ en´ eralisation ` a la sph` ere de Boltzmann de dimension N → ∞

D´efinition 5.4.17 Lorsque E =R^d, d ≥2, on d´efinit la suite γ^N ∈ P(E^N) par γ^N :=

σ√^N−1

N la suite port´ee par la sph`ere des collisions de Kac S^N :=S√^dN−1

N ∩T0:={V ∈R^dN; 1 N

XN i=1

|vi|² = 1, 1 N

XN i=1

vi = 0}.

Voici une variante du r´esultat pr´ec´edent.

theo:ChaosQuantifPoincareBis Th´eor`eme 5.4.18 On note E=R^d. On d´efinit

5.4.18. On pr´esente les modifications `a apporter `a la premi`ere ´etape dans la preuve du Th´eor`eme theo:ChaosQuantifPoincare

5.1.4. On commence par d´efinir Sε^N :=n

N ,0 =γ^N. Comme cons´equence de la loi des grands nombres, nous allons prouver que pour tout ε∈(0,1/2), on a

de sorte que λ := p simplifier, mais le cas 2≤k≤N se traite ais´ement avec les modifications habituelles)

On termine la preuve de la mˆeme mani`ere que pr´ec´edement. ⊔⊓ theo:asymptotZNSN Th´eor`eme 5.4.19 Soitf ∈P(R^d)∩L^p_k(R^d) une mesure de probabilit´e v´erifant

Z Alors avec les notations pr´ec´edentes, on a

Z_N^′ (r) =

On a ainsi

Z_N(f;z,√

u) = h^(∗N)(z, u) µ^N(z, u) .

On d´efinit la fonction g(v, u) := ΣE^d/2h(E v, E+ Σu), de sorte que g∈P(R^d+1) et Z

R^d+1

g(y)y dy= 0, Z

R^d+1

g(y)|y|²dy = 1 theo:ChaosPoincareModif Th´eor`eme 5.4.20 Soit f ∈P(E)∩L¹_k(E) telle que

k≥4, Z

E

x f(x)dx= 0, Z

E|x|²f(x)dx= 1.

On d´efinit

S0^N :=n

X∈E^N; 1 N

XN i=1

x_i = 0, 1 N

XN i=1

|x_i|² = 1o ,

on note dγ^N la mesure de probabilit´e uniforme surS0^N, et, disons lorsque de plus 0< f ∈ C(E), la mesure de probabilit´ef^⊗N conditionn´ee `a S0^N

F^N = [f^⊗N]_SN

0 := 1

Z_N(f)f^⊗Nγ^N, o`u Z_N(f)>0 est une constante de normalisation.

Alors F^N est f-chaotique. Plus pr´ecis´ement, pour tout η ∈ (η_k,1/4], η_k ∈[0,1/4) ne d´epend que de k et η_k→0 lorsque k→ ∞, il existeCη ∈(0,∞) telle que

W₁(F^N, f^⊗N)≤ C_η N^1/2−η. Preuve du Th´eor`eme theo:ChaosPoincareModif

5.4.20.La preuve est quasiment identique `a la pr´ec´edente. On a donc s^N√

N ,0(dX) = 1

ZN(f)f^⊗Nγ^N =F^N.

5.5 Notes bibliographiques.

subsec:Entropie-bib

Il est bien connu que la suite (σ^N) est γ-chaotique. Ce r´esultat est parfois appel´e

“lemme de Poincar´e”, mais il serait en fait ant´erieur `a Poincar´e lui-mˆeme, et pourrait remonter `a un travail de Mehler[43] en 1866. Nous renvoyons `^Mehler aDiaconisFreedman1987,CCLLV

[20, 13] pour une discussion bibliographique concernant ce r´esultat classique. Le Th´eor`eme theo:Diaconis-Freedman

5.1.3 de taux de chaoticit´e de (σ^N) est dˆu `a Diaconis et Freedman DiaconisFreedman1987

[20]. La preuve pr´esent´ee ici a aimablement ´et´e

r´edig´ee par K. Carrapatoso. Le deuxi`eme taux de chaoticit´e pr´esent´e dans le th´eor`emetheo:ChaosQuantifPoincare

5.1.4 est adapt´e de la preuve de la[59, Proposition 3.1] qui ´etablit le mˆeme r´esultat, mais sans^S5 taux.

Le Th´eor`eme theo:localTCL

5.2.6 est une version pr´ecis´ee (mais un peu moins g´en´eral) de la [13,^CCLLV Proposition 26]. La preuve pr´esent´ee ici suit la d´emonstration de la [13, Proposition 26]^CCLLV et, de plus, utilise un argument tir´e de GoudonJT2002

[28, Lemme 3]. La remarque rem:BerryEsseen

5.2.7 pr´esente plu-sieurs autres versions du “th´eor`eme central limite local” ou “th´eor`eme de Berry-Esseen”

qui donne une estimation du taux de convergence dans le th´eor`eme central limite. Les premi`eres estimations d’erreur dans le th´eor`eme central limite sont dues `a A. C. Berry[6]^Berry1941 et C.-G. Esseen [25] qui ´etablissent le taux de convergence^Esseen1942 O(1/√

N) uniform´ement sur la fonction de r´epartion en dimensionD= 1, voir par exemple FellerBookII

[27, Theorem 5.1, Chapter XVI]. L’estimation (i) en distance W₂ est ´etablie par E. Rio dans ^Rio2009[52]. L’estimation (ii) est tir´ee deBobkov-BEth

[8] qui g´en´eralise un r´esultat obtenu dans Barthe&co2004

[4]. L’estimation (iii) est tir´ee de GoudonJT2002

[28]

qui reprend et pr´ecise certaines estimations d´ej`a pr´esentes dans LionsToscani1995

[37].

La caract`ere f-chaotique de la suite F<sup>N</sup> = [f<sup>⊗N</sup>]<sub>SKN</sub> est ´enonc´e (et d´emontr´e pour une densit´ef r´eguli`ere) dans l’article historique de M. Kac[34], puis d´emontr´e dans une^Kac1956 grande g´en´eralit´e (surf) dans[13]. Les th´eor`emes^CCLLV theo:[fotimesN]fchaos

5.2.10 sont des versions “quantifi´ees” des

CCLLV

[13, Theorem 4] et du r´esultat de chaos de[34, paragraphe 5] que l’on retrouve ´egalement^Kac1956 comme corollaire de[13, Theorem 9].^CCLLV

Le “chaos entropique” est formalis´e et ´etudi´e dans [13], qui renvoie ´egalement `<sup>CCLLV</sup> a des travaux de Ben Arous et Zeitouni et de Kosygina. Le th´eor`eme theo:EntropGammaCvgce

5.3.11 est tir´e de [13,^CCLLV Theorem 12]. Le th´eor`eme theo:EntropCvgceKac

5.3.14 est une version quantifi´ee du[13, Theorem 9].^CCLLV Le th´eor`eme theo:Kac+FisherToEntropy

5.3.15 permet de faire le lien entre chaos au sens de Kac et chaos au sens entropique. Je tiens `a remercier I. Gentil qui m’a rappel´e l’existence de l’in´egalit´e HWI (argument essentiel dans la d´emonstration du th´eor`eme theo:Kac+FisherToEntropy

5.3.15) prouv´ee dans OttoVillani

[49] et m’a soulign´e “qu’elle se comportait bien vis `a vis de la dimension”.

Le th´eor`eme theo:CarlenLiebBarthe

5.3.16 est dˆu `a E. Carlen, E. Lieb et M. Loss, voir CarlenLL2004

[15, Theorem 2], en ce qui concerne l’in´egalit´e sur l’entropie et `a F. Barthe, D. Cordero-Erausquin et B. Maurey, voir BartheCEM2006

[5, Theorem 2], concernant l’in´egalit´e sur l’information de Fisher.

Les th´eor`emes theo:localTCL

5.2.6, theo:[fotimesN]fchaos

5.2.10, theo:EntropCvgceKac

5.3.14 et theo:Kac+FisherToEntropy

5.3.15 sont tir´es de HaurayMischler

[31].

Calcul diff´ erentiel sur P(E )

chap:CDiff

6.1 Quatre d´ efinitions possibles

sec:CDiff:4defs

Il existe un grand nombre de d´efintions de la notion de diff´erentiabilit´e et de classe de r´egularit´e possible. Nous en donnons quatre d´efinitions possibles, chacune pouvant conduire `a des variantes. Le point essentiel `a comprendre et qui explique la difficult´e de donner une seule d´efinition est que d’une part il existe de nombreuses distances topolo-giquement ´equivalentes mais non m´etriquement ´equivalentes, la notion de diff´erentiabilit´e d´ependra donc tr`es fortement du choix de la m´etrique consid´er´ee, et que d’autre part, pour une distance donn´ee il n’existe pas en g´en´eral de norme `a laquelle elle serait associ´ee.

Cela fait queP(E) poss`ede naturellement une structure de vari´et´e m´etrique et seulement parfois une structure de vari´et´e m´etrique plong´ee dans un espace vectoriel norm´e.

chapCdiff:def1 D´efinition 6.1.1 SoientO ⊂P(E) muni d’une distance D et U :O →R.

1. On dit que U est diff´erentiable en f ∈ O si pour tout chemin γ = (γ_t)_t∈[0,1] sur O optimal et de vitesse constante au sens de D et issu de f, on a

hDU(f),γ(0)˙ i:= lim

t→0

1

t {u(γ_t)−u(f)} existe.

Ici, le sens du terme de gauche est juste la limite d´efinie `a droite de l’´egalit´e. En particulier, on ne donne pas de sens pr´ecis au “vecteur tangent” γ(0)˙ ni `a la dualit´e h·,·i. Le sens `a donner au fait que γ soit un chemin optimal et de vitesse constante issu de f est que

∀0≤s < t≤1 D(γ_s, γ_t) = (t−s)D(f, γ₁), γ₀=f.

2. On dit que u est continˆument et uniform´ement diff´erentiable sur O, on note U ∈ U C¹(O), siU est diff´erentiable en tout point f ∈ O, pour toutf, g∈ Oil existe un unique chemin optimal γ =γ_f,g joignant f `a g (au sens o`u γ(0) =f et γ(1) = g), l’application O × O →R, (f, g)7→ hDU(f),γ˙_f,g(0)i est continue et

|U(g)−U(f)− hDU(f),γ˙_f,g(0)i| ≤Ω(D(f, g)), avec Ω(s)/s:=ω(s)→0 lorsque s→0.

La diff´erentiabilit´e au sens de la d´efinition chapCdiff:def1

6.1.1 est de loin la plus classique. Elle n’est rien d’autre que celle introduite par F. Otto et largement ´etudi´ee dans l’ouvrage[?] dans^AGS le cas D=W_p avec p∈(1,∞) ou p= 2 et avec O=P_p(E) ou O=L¹_p(E).

135

chapCdiff:def2 D´efinition 6.1.2 Soient un ensemble convexe E ⊂R^d, un ensemble convexe O ⊂ P(E) muni de la distance D:=W_p, 1≤p≤ ∞, etU :P(E)→R.

1. On dit que U est “diff´erentiable” enf ∈ O si U est “directionnellement diff´erentiable”

en f ∈ O, au sens o`u il existe un espace de probabilt´e (Ω,A,P) et une variable al´eatoire X0 ∈ L^p(Ω, E) telle que sa loi L(X0) satisfait L(X0) = f, tels que la fonction U : L^p(Ω, E) → R, Y 7→ U(Y) := U(L(Y)) admette des d´eriv´ees directionnelles en X0 : pour tout Y ∈L^p(Ω, E) on a

U^′(X0;Y − X0) := lim

t→0

1

t {U((1−t)X0+tY)− U(X0)} existe,

et tels que enfin il existe Ξ_X0 ∈L^p′ de sorte que U^′(X0;Y − X0) =E(hΞ_X0,Y − X0i) pour tout Y ∈L^p, o`u ici h.,i d´esigne le produit scalaire euclidien deE et Ed´esigne l’esp´erance associ´ee `a P.

2. On dit que U est continˆument et uniform´ement diff´erentiable sur O s’il existe existe ξ :P_p(E)×E → E continue telle que U est diff´erentiable en tout point f ∈ O, et pour tout X ∈ L^p(Ω), L(X) = f, l’application U d´efinie ci-dessus est diff´erentiable en X, Ξ_X =ξ(f,X) et

|U(g)−U(f)−E(hξ(f,X),Y − X i)| ≤Ω(D(f, g)).

Cette d´efinition est due `a P.-L. Lions ^PL2-?[?]. Il est assez instructif de la r´e´ecrire unique-ment en termes de mesures de probabilit´e. La notion de diff´erentiabilit´e devient : U est diff´erentiable en f ∈ O, si pour tout plan de transport π ∈P(E ×E) tel que le chemin (π_t) d´efini par

hπt, ϕi:=

Z

E×E

ϕ((1−t)x+t y)π(dx, dy) v´erifie π_t∈ Opour toutt∈(0,1], π₀ =f on a

1 t lim

t→0

1

t{u(π_t)−u(f)} existe.

De plus, si U est continˆument diff´erentiable, la notion de “d´eriv´ee directionnelle” peut se r´e´ecrire en termes de mesures de probabilit´es de la fa¸con suivante : pour toutf, g∈P_p(E), pour tout plan de transport π ∈ Π(f, g), et toutes variables al´eatoires X,Y ∈ L^p(Ω;E) ave L(X) =f,L(Y) =g, on a

U^′(X;Y − X) =E(hΞ_X,Y − X i) = Z

E²hξ(f, x), y−xiπ(dx, dy).

chapCdiff:def3 D´efinition 6.1.3 Soient un ensemble convexe E ⊂R^d, un ensemble convexe O ⊂ P(E) muni de la distance W_p, 1≤p≤ ∞, et U :P(E)→R.

2. On dit que U est continˆument et uniform´ement diff´erentiable sur O, on note U ∈ U C¹(O), si l’application u^N :E^N → R d’efinie par u^N(X) :=U(µ^N_X) est de classe C¹ et il existe une constante C telle que

|u^N(X+Y) +u^N(X−Y)−2u^N(X)| ≤Ω

D(µ^N_X, µ^N_X+Y) +D(µ^N_X, µ^N_X−Y) .

chapCdiff:def3 D´efinition 6.1.4 SoientE ⊂R^d, un ensemble convexe O ⊂P(E), G un espace vectoriel norm´e tel que O − O ⊂ G, et U :O →R.

2. On dit que U est continˆument et uniform´ement diff´erentiable sur O, on note U ∈ U C¹(O), s’il existeDU :O → G^′ telle que

|U(g)−U(f)− hDU(f), g−fi| ≤Ω(kg−fkG).

On peut commencer par un lemme facile qui permet de relier ces diff´erentes notions.

Lemme 6.1.5 0. SiU est diff´erentiable en un des sens ci-dessus pour une distance/norme alorsU est diff´erentiable dans le mˆeme sens pour toute distance/norme plus forte (au sens d’une in´egalit´e Lipschitz).

1. Si ϕ ∈ Lip(E^k) alors le polynˆome R_ϕ satisfait R_ϕ ∈ U C₍₄₎¹ (O) avec O := P₁(E), G:= (Lip0(E))^′.

2. Si U ∈U C₍₄₎¹ (O) alors U ∈U C₍₂₎¹ (O) et U ∈U C₍₃₎¹ (O).

3. Si U ∈U C₍₂₎¹ (O) alors U ∈U C₍₁₎¹ (O).

6.2 Deuxi` eme d´ efinition (rel` evement dans un espace de

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