Equation de transport non lin´eaire

sec:VlasovEqNL

Dans cette section on s’int´eresse au cas o`uB d´epend de l’inconnue, et plus pr´ecis´ement on suppose que B(t, y) =A(y, f(t, .)) avec

∀f ∈P(R^D) A(·, f)∈C¹(R^D);

eqtrans2hyp1 (7.3.9)

∀y, z∈R^D, ∀f, g∈P(R^D) |A(y, f)−A(z, g)| ≤L(|y−z|+W1(f, g)).

eqtrans2hyp2 (7.3.10)

Un exemple typique est A(y, f) =

Z

R^D

k(y, z)f(dz) k:R^2D →R^D r´egulier,

= a₀(y) + (a₁∗f)(y), a_i :R^D →R^D r´eguliers.

Exemple 7.3.6 L’exemple le plus classique d’´equation de Vlasov est le suivant. On prend D= 2d, y= (x, v)∈R^2d, A(y, f) = (v,(b ⋆ ρ)(x))∈R^2d, ρ(x) =

Z

R^d

f(x, v)dv, qui se met bien sous la forme pr´ec´edente en d´efinissanta₀(y) = (v,0) eta₁(y) = (b(x),0).

Si on suppose que

b∈C¹(R^d,R^d), k∇bkL^∞ ≤L, il est alors clair queA v´erifie bien (eqtrans2hyp1

7.3.9) et (eqtrans2hyp2

7.3.10) pour la constante max(L,1).

On s’int´eresse donc `a l’´equation de transport non lin´eaire (ou ´equation de Vlasov) eqtrans2

eqtrans2 (7.3.11) ∂f

∂t +∇(A(y, f)f) = 0 dans D^′((0, T)×R^D).

theo:Vlasov Th´eor`eme 7.3.7 On suppose (eqtrans2hyp1

7.3.9)et (eqtrans2hyp2

7.3.10). Pour toute donn´ee initiale f₀ ∈P(R^D) il existe une unique solution f ∈ C([0,∞);P(R^D)−w) `a l’´equation de Vlasov (^eqtrans27.3.11).

De plus, pour deux solutions f_t et g_t de cette ´equation de Vlasov, on a ineq:transpNL

ineq:transpNL (7.3.12) ∀t≥0 W₁(f_t, g_t)≤e^{2L t}W₁(f₀, g₀).

Preuve du Th´eor`eme theo:Vlasov

7.3.7. Pour f ∈ C([0,∞);P(R^D)−w) donn´e, on note Φ^f_t le flot associ´e `a l’´equation diff´erentielle

˙

y(t) =A(y(t), f(t)), et donc `a l’´equation de transport lin´eaire

∂_th+ div(A(x, f(t))h) = 0.

Etape 1. On commence par d´emontrer (ineq:transpNL

7.3.12). On fait la remarque suivante. Une solution f de (7.3.11) satisfait^eqtrans2

f_t= Φ^f_t♯f₀.

Cette ´ecriture peut paraˆıtre sans grand int´erˆet car Φ^f_t est un op´erateur compliqu´e, `a l’instantt, il d´epend de toute la trajectoire pass´ee (f<sub>s</sub>)<sub>0≤s≤t</sub>. Cependant, cette ´ecriture va nous permettre d’utiliser le r´esultat du Th´eor`eme ^theoCarac7.2.5 en remarquant que le champ de vecteurB(t, x) :=A(x, f(t)) satisfait

∀t, ∀x, y∈R^D |B(t, x)−B(t, y)|=|A(x, f(t))−A(y, f(t))| ≤L|x−y|. Puisque W₁ est une distance on a

W₁(f_t, g_t) = W₁(Φ^f_t♯f₀,Φ^g_t♯g₀)

≤ W1(Φ^f_t♯f0,Φ^f_t♯g0) +W1(Φ^f_t♯g0,Φ^g_t♯g0).

Le premier terme est born´e par

W₁(Φ^f_t♯f₀,Φ^f_t♯g₀)≤e^{t L}W₁(f₀, g₀) grˆace `a (ineq:transpNL

7.3.12). Concernant le second terme, par d´efinition de la mesure image, on a W₁(Φ^f_t♯g₀,Φ^g_t♯g₀) = sup

k∇ϕk≤1

Z

R^D

(ϕ◦Φ^f_t −ϕ◦Φ^g_t)dg₀

≤ Z

R^D|Φ^f_t −Φ^g_t|dg₀ =:λ(t),

et l’on va estimer λ(t) par un lemme de Gronwall. On calcule d

dtλ(t) ≤ Z

R^D

d

dtΦ^f_t − d dtΦ^g_t

dg0

≤ Z

R^D

A(Φ^f_tx, f_t)−A(Φ^g_tx, g_t) dg₀

≤ Z

R^D

A(Φ^f_tx, f_t)−A(Φ^g_tx, f_t) dg₀+

Z

R^D|A(Φ^g_tx, f_t)−A(Φ^g_tx, g_t)|dg₀

≤ L Z

R^D

Φ^f_tx−Φ^g_tx

dg₀(x) +L Z

R^D

W₁(f_t, g_t)dg₀

≤ L λ(t) +L W1(ft, gt)

Commeλ(0) = 0, on obtient par Gronwall la borne sur le second terme W1(Φ^f_t♯g0,Φ^g_t♯g0)≤λ(t)≤L

Z t 0

e^L(t−s)W1(fs, gs)ds.

En regroupant les deux estimations, il vient W₁(f_t, g_t)≤e^LtW₁(f₀, g₀) +L

Z _t

0

e^L(t−s)W₁(f_s, g_s)ds,

`

a quoi on peut encore appliquer le lemme de Gronwall et conclure `a (ineq:transpNL

7.3.12). En particulier, cette ´etape montre l’unicit´e de la solution de l’´equation de Vlasov (7.3.11).^eqtrans2

Etape 2. On montre succinctement comment modifier l’´etape 1 afin de montrer le r´esultat d’existence. On fixe f₀ ∈ P(R^D). On d´efinit l’op´erateur Λ : C([0, T];P(R^D) −w) → C([0, T];P(R^D)−w) qui `a f ∈ C([0, T];P(R^D)−w) associe F = Λ(f) la solution de l’´equation de transport lin´eaire

∂_tF+ div(A(x, f(t))F) = 0, F(0) =f₀.

On a doncF_t = Φ^f_t♯f₀. Une solution de l’´equation de Vlasov (^eqtrans27.3.11) est simplement un point fixe de l’application Λ, et donc il suffit d’´etablir que Λ est une application contrac-tante dans un espace m´etrique complet pour montrer l’existence de solutions `a l’´equation (7.3.11). Pour^eqtrans2 g ∈ C([0, T];P(R^D)−w) on note G = Λ(g). En reprenant le calcule du second terme, il vient

W₁(F_t, G_t) =W₁(Φ^f_t♯f₀,Φ^g_t♯f₀)≤ Z

R^D|Φ^f_t −Φ^g_t|df₀ =:λ(t), puis

d

dtλ(t)≤L λ(t) +L W₁(f_t, g_t).

Commeλ(0) = 0, on obtient par Gronwall W₁(F_t, G_t)≤λ(t)≤L

Z t 0

e^L(t−s)W₁(f_s, g_s)ds≤(e^{T L}−1) sup

s∈[0,T]

W₁(f_s, g_s),

et il suffit de choisir T >0 assez petit. ⊔⊓

7.4 Premi` ere strat´ egie : la m´ ethode de la mesure empirique

sec:VlasovMesureEmpirique

On consid`ere un syst`eme de particules identiques en interaction d´eterministe eq:flot

eq:flot (7.4.13)





Y(t) = (y₁(t), ..., y_N(t))∈E^N, E=R^D ou E = le tore, 1≤i≤N, y˙_i =A_i(Y), y_i(0) donn´e.

De l’hypoth`ese que les particules sont identiques (indistinguables), on d´eduit que A₁(y₁;y₂, ..., y_N) = fonction sym´etrique des y₂, ..., y_N

= A1



y₁; 1 N −1

X

j6=i

δyj





et, en ´echangeant les particules 1↔2, que

A₁(y₁;y₂, y₃, ..., y_N) =A₂(y₂;y₁, y₃, ..., y_N).

On peut donc ´ecrire eqFN

eqFN (7.4.14) 1≤i≤N y˙i =AN(yi; ˆYi) =AN

yi;µ^N_ˆ⁻¹

Yi

1≤i≤N,

o`u l’indiceN dansA<sub>N</sub> est maintenant l`a pour rappeler la d´ependance enN dans la limite N → ∞, ˆY_i=Y\{y_i}= (y₁, ..., y_i−1, y_i+1, ..., y_N), etA_N(y, .) est une fonction sym´etriques desN−1 derni`eres variables, donc s’´ecrit comme fonction d’une mesure empirique `aN−1 termes.

Exemple 7.4.8 L’exemple le plus classique est le suivant. On consid`ere un syst`eme de particules qui ´evolue suivant la loi fondamentale de la dynamique de Newton dans laquelle la force exerc´ee sur une particule d´erive d’un potentiel d’interaction cr´e´e par l’ensemble des particules, le potentiel globale ´etant lui-mˆeme la somme de potentiels d’interaction `a deux corps. Plus pr´ecis´ement, la dynamique est

E=R^2d, y= (x, v) et

eq:NewtonNparticules

eq:NewtonNparticules (7.4.15) ∀1≤i≤N x˙_i =v_i, v˙_i = 1 N

X

j6=i

(−∇V)(x_i−x_j).

On peut noter que cette dynamique est Hamiltonienne : en d´efinissant l’hamiltonien H(Y) := 1

2 XN i=1

|v_i|²+ 1 N

X

i<j

V(x_i−x_j), V(−z) =V(z), on a bien

∀1≤i≤N x˙_i =∂_viH(Y), v˙_i =−∂_xiH(Y) de sorte que

∀t∈R H(Y(t)) =H(Y₀).

En notant a0(y) = v et a1(y) = b(x) := −∇V(x), on peut bien ´ecrire (eq:NewtonNparticules

7.4.15) sous la forme (7.4.14)^eqFN avec

A_N(y, f) :=a₀(y) +N −1

N (a₁∗f)(y).

De plus, si b∈C(R^d), alors A_N(y_i;µ^N_Yi⁻¹) =

a₀(y)− b(0) N

+ (a₁∗µ^N_Y ) = ¯A_N(y, µ^N_Y).

Enfin, si V ∈ C²(R^d), kD²Vk ≤ L, alors A¯_N v´erifie bien les hypoth`eses de r´egularit´e (eqtrans2hyp1

7.3.9)-(eqtrans2hyp2

7.3.10).

ex:ChampVectChampMoyen Remarque 7.4.9 1) - Dans l’exemple pr´ec´edent, les hypoth`eses “d’interaction de type champ moyen” proviennent d’une part de la structure lisible par exemple sur (7.4.14)<sup>eqFN</sup> (une particule donn´ee interagit avec toutes les autres particules selon une r`egle identique) et d’autre part de la borne (eqtrans2hyp2

7.3.10) qui provient du scaling (mise `a l’´echelle) en 1/N (chaque particule ne subit pas trop l’action d’une autre particule quelconque, mais subit une action de “l’ordre de1” de l’ensemble du syst`eme).

2) - Le jeu de passage de µ^N_ˆ⁻¹

Yⁱ `a µ^N_Y est pr´ecis´ement ce qui coince dans le cas d’un potentiel non r´egulier ! Il n’est donc pas si anodin que cela.

L’id´ee de cette premi`ere m´ethode est de travailler sur (l’´equation satisfaite par) la mesure empirique associ´ee `a la dynamique g´en´er´ee par (7.4.14).^eqFN

propTransp1 Proposition 7.4.10 (Limite de champ moyen) 1) Soit AN ∈(C¹∩Lip)(E^N;E) un champ de vecteurs tel que pour touty∈E^N on aA_N(y, .)∈C_sym(E^N−1). Alors pour toute donn´ee initiale Y₀ ∈E^N le syst`eme d’´equations diff´erentielles (^eqFN7.4.14)admet une unique solution globale Y ∈C¹(R;E^N), on notera Φ^N_t (Y0) :=Yt.

2) On suppose de plus que pour une fonction A¯N ∈C(E×P(E)) on a hyp:134

hyp:134 (7.4.16) ∀y∈E, ∀Yˆ ∈E^N−1, AN(y,Yˆ) = ¯AN(y, µ^N_Y), Y = (y,Yˆ)∈E^N. Alors la mesure empirique associ´ee

f_N(t, dy) :=µ^N_YN(t)(dy) est solution faible de l’´equation de transport non lin´eaire TranspNL

TranspNL (7.4.17) ∂g

∂t +∇( ¯A_N(y, g)g) = 0.

3) On suppose enfin que A¯N =A satisfait (eqtrans2hyp2

7.3.10). Consid´erons une donn´ee initiale f₀ ∈ P₁(E) et notons f(t) ∈ C(R;P(E)−w) la solution de l’´equation (7.3.11). Alors^eqtrans2 pour toute suite (Y₀^N) de donn´ees initiales dans E^N telles que µ^N_YN

0 →f₀ faiblement dans P1(E) la suite des solutionsY_t^N = Φ^N_t (Y₀^N) des sytst`emes d’´equations diff´erentielles pour N particulesadmet une limite de champ moyen au sens o`u

∀t∈R f_t^N :=µ^N_YN

t → f(t) faiblement dans P(E).

Plus pr´ecis´ement, on a l’estimation d’erreur asovEstimErreur

asovEstimErreur (7.4.18) W₁(µ^N_YN(t), f(t))≤e^{L t}W₁(µ^N_YN(0), f(0)).

Preuve de la proposition propTransp1

7.4.10. Etape 1.C’est le th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz.

Etape 2. Avec la d´efinition pr´ec´edente def_N et pour toute fonction testϕ∈ D(R^D) on a l’´equation de transport non lin´eaire (^TranspNL7.4.17).

Etape 3. On calcule pourk≥max(p,1)

7.3.7 : l’estimation d’erreur (ineq:NewtontoVlasovEstimErreur

7.4.18) est une application directe de l’estimation (ineq:transpNL on peut encore ´etablir la limite de champ moyen d`es queµ^N

Y₀^N →f₀ faiblement dansP(E).

Il convient alors d’une part de montrer qu’il existeAsatisfaisant (eqtrans2hyp2

7.3.10)et une sous-suite

Il convient d’autre part d’´ecrire l’´equation satisfaite par f_N et de passer `a la limite dans celle-ci.

On se pose maintenant la question de la propagation du chaos, c’est-`a-dire, celle de savoir si partant d’un ´etat initial o`u les particules sont ind´ependantes (non corr´el´ees) elles le restent au cours du temps asymptotiquement lorsque le nombre de particules tend vers l’infini (rappelons que pour un syst`eme comportant un nombre fini de particules en interaction celles-ci sont toujours corr´el´ees (c’est la d´efinition de l’interaction !)). Intro-duisons la fonction de densit´eF<sub>0</sub><sup>N</sup> ∈P(E<sup>N</sup>) des particules `a l’instant initial. En reprenant la notation Φ^N_t : E^N → E^N pour l’application flot le long de la dynamique (7.4.13), la^eq:flot densit´e est alors transport´ee par ce flot selon la formule

∀t∈R F^N(t) := Φ^N_t ♯F₀^N ∈P(E^N), o`u de mani`ere plus explicite

eq:defFN0PhiNt

eq:defFN0PhiNt (7.4.20) ∀ϕ∈C_b(E^N) Z

E^N

ϕ(Y)F^N(t, dY) = Z

E^N

ϕ(Φ^N_t (Y))F₀^N(dY).

PropagationChaosVlasov Proposition 7.4.12 (Propagation du chaos) On suppose les hypoth`eses 3) de la Pro-positionpropTransp1

7.4.10 v´erifi´ees. SiF₀^N estf₀-chaotique alorsF^N(t)estf(t)-chaotique. De mani`ere plus pr´ecise, on a

PropChaosVlasovWW1

PropChaosVlasovWW1 (7.4.21) W1( ˆF^N(t), δ_f(t))≤e^LTW1( ˆF₀^N, δ_f0),

o`uW1 est la distance de transport MKW dansP(P(E)) d´efinie `a partir deW₁ la distance de transport MKW habituelle dans P(E).

Remarque 7.4.13 Une donn´ee initiale d´eterministe δ_YN

0 est rarement chaotique. En ef-fet, il faut d´ej`a qu’elle soit sym´etrique, ce qui implique Y₀^N = (y₁, ..., y_N) avec les y_i tous

´egaux `a un mˆeme y¯ : cela ne donne pas une dynamique tr`es int´eressante !

Cependant, `a partir d’une condition initiale d´eterministe et de sa dynamique (toujours d´eterministe, c’estδ_ΦN

t (Y₀^N)) on peut construire la densit´e symm´etrique (les particules sont indistinguables)

F_t^N(dZ) := 1

♯(S_N) X

σ∈S_N

δ_σ−1♯Φ^N_t (Y₀^N)(dZ)

avec σ⁻¹♯Φ^N_t (Y₀^N) = (y_σ(1)(t), ..., y_σ(N)(t)) si Φ^N_t (Y₀^N) = (y₁(t), ..., y_N(t)). On voit alors que sous la condition F₀^N estf₀-chaotique, ce qui est ´equivalent `a

F₂^N(0, dz₁, dz₂) = 1 N(N−1)

X

1≤i6=j≤N

δ_xi(dz₁)δ_xj(dz₂) → f₀(dz₁)f₀(dz₂), alors F_t^N estft-chaotique.

Preuve de la Proposition PropagationChaosVlasov

7.4.12. On calcule W1( ˆF^N(t), δ_f(t)) =

Z

E^N

W₁(µ^N_Y, f(t))F^N(t, dY)

= Z

E^N

W₁(µ^N_Φt(Y), f(t))F₀^N(dY)

≤ e^LT Z

E^N

W₁(µ^N_Y, f₀)F₀^N(dY)

= e^LTW1( ˆF₀^N, δ_f0),

o`u on a successivement utilis´e des manipulations (´el´ementaires) pr´esent´ees dans la sec-tion subsec:QuantificationChaos

3.4.2, la d´efinition (eq:defFN0PhiNt

7.4.20), l’estimation d’erreur (ineq:NewtontoVlasovEstimErreur

7.4.18), puis `a nouveau les mˆemes manipulations de la section subsec:QuantificationChaos

3.4.2. ⊔⊓

PropagationChaosVlasovBis Corollaire 7.4.14 (Propagation du chaos) Sous les hypoth`eses de la PropositionPropagationChaosVlasov

7.4.12 et si de plus F₀^N := f₀^⊗N, f₀ ∈ P_k(E), k > 0, on obtient le taux de convergence vers le chaos

PropChaosVlasovWW1taux

PropChaosVlasovWW1taux (7.4.22) ∀t∈[0, T] sup

1≤j≤N

W₁(F_j^N(t), f(t)^⊗j), W1( ˆF_t^N, δ_ft)≤ C_k,T N^1/(d′+ε), avec d^′ := max(d,2) et ε=ε(k)→ ∞ lorsque k→ ∞.

Preuve du Corollaire PropagationChaosVlasovBis

7.4.14.Il suffit de combiner (PropChaosVlasovWW1

7.4.21) avec les bornes (estim:NousW1

3.4.22), (ineq:equivEstim0

3.5.30)

et la premi`ere in´egalit´e du Lemme3.5.30.^lem:W1F1F ⊔⊓

7.5 Deuxi` eme strat´ egie : la m´ ethode de couplage

sec:VlasovCouplage

L’id´ee de cette deuxi`eme m´ethode est d’introduire un probl`eme auxiliaire dans lequel les particules n’interagissent pas entre elles mais sont seulement transport´ees par le champ de vecteur obtenu par limite de champ moyen. Plus pr´ecis´ement, on commence par changer de notations et on noteX(t) = (x_i(t))_1≤i≤N la solution du syst`eme deN particules (<sup>eq:flot</sup>7.4.13) issue de la condition initialeX(0) = (x<sub>i</sub>(0))<sub>1≤i≤N</sub>. On d´efinit alorsY = (y<sub>i</sub>)<sub>1≤i≤N</sub>,y<sub>i</sub> ∈E, la famille des solutions des ´equations non homog`ene en temps

eq:VlasovCouplage1

eq:VlasovCouplage1 (7.5.23) y˙i =AN(yi, ft), yi(0) =xi(0),

o`u f est la densit´e de l’´equation de transport non lin´eaire sur la densit´e typique eq:VlasovCouplage2

eq:VlasovCouplage2 (7.5.24) ∂f

∂t +∇(A_N(y, f)f) = 0.

On fait l’hypoth`ese de structure suivante : hyp:Vlasov5

hyp:Vlasov5 (7.5.25) AN(xi;µ^N_Xi⁻¹) =A(xi;µ^N_X) et A(x, f) :=

Z

R^d

b(x, z)f(dz).

prop:VlasovCouplage1 Proposition 7.5.15 (Chaos par couplage) On suppose b∈W^1,∞(R^2d). On consid`ere f₀ ∈P(E) etf la solution de (eq:VlasovCouplage2

7.5.24)de condition initiale f₀, ainsi queF₀^N ∈P_sym(E) et F^N := Φ^N_t ♯F₀^N la densit´e transport´ee par le flotΦ^N_t associ´e `a l’´equation de Vlasov (<sup>eqFN</sup>7.4.14) pour laquelle on fait l’hypoth`ese de structure (hyp:Vlasov5

7.5.25). Alors, on a sup

[0,T]

W₁(F_t^N, f(t)^⊗N) ≤ C_T 1

√N +W₁(F₀^N, f₀^⊗N) .

Preuve de la proposition prop:VlasovCouplage1

7.5.15 . Etape 1.Pour tout couple (X₀, Y₀)∈E^N on note (X_t) la solution de (^eqFN7.4.14)-(hyp:Vlasov5

7.5.25) associ´ee `a une donn´ee initiale X₀ et (Y_t) = (Y_t¹, ..., Y_t^N) le

vecteur dont chaque coordonn´eeY_tⁱ est solution de l’´equation (eq:VlasovCouplage1

7.5.23) associ´ee `a la donn´ee initialeY₀ⁱ. Par d´efinition, on a

d En sommant cesN in´egalit´es il vient

d On peut r´e´ecrire cette in´egalit´e diff´erentielle sous la forme

ineq:VlasovCouplage1

Etape 2. Une premi`ere estimation d’erreur. On remarque que b_i,t ∈ W^1,∞(R^d) avec kb_i,tkLip ≤ k∇2bk∞, de sorte que pour tout 1≤i≤N

a_i(t)≤ kb_i,tkLipW₁(µ^N_Yt, f_t)≤ k∇2bk∞C_T W₁(µ^N_Y0, f₀),

o`u CT est la constante dans le terme de droite de (ineq:transpNL

7.3.12) et correspondant au fait quef etµ^N_Yt sont solutions de la mˆeme ´equation de transport lin´eaire

∂_tg+∇(A(x, f)g) = 0.

Combinant cette borne et (ineq:VlasovCouplage1

7.5.26), on obtient d

dt|X_t−Y_t| ≤α|X_t−Y_t|+β_T W₁(µ^N_Y0, f₀),

ce qui int´egr´ee en temps (lemme de Gronwall) donne une premi`ere estimation d’erreur sup

[0,T]|X_t−Y_t| ≤C_T (W₁(µ^N_Y0, f₀) +|X₀−Y₀|), C_T = β_T α e^{α T}.

On suppose queX₀ =Y₀ suit la loif₀^⊗N, et maintenant seulement on int´egre par rapport au choix de la donn´ee initiale ce qui donne

sup

[0,T]

E_N|X_t−Y_t| ≤C_T E_NW₁(µ^N_Y0, f₀),

o`uE<sub>N</sub> est une notation condens´ee pour d´esigner l’int´egrale surE<sup>N</sup> par rapport `a la loi de probabilit´ef₀^⊗N.

Etape 2. Une parenth`ese. En utilisant les in´egalit´es W₁(µ^N_Xt, µ^N_Yt) ≤ |X_t −Y_t|1, puis W₁(µ^N_Xt, f_t)≤W₁(µ^N_Xt, µ^N_Yt) +W₁(µ^N_Yt, f_t), on obtient

sup

[0,T]

E_NW₁(µ_Xt, f_t) ≤ C_T E_NW₁(µ^N_Y0, f₀) + sup

[0,T]

E_NW₁(µ_Yt, f_t)

≤ 2C_T E_NW₁(µ^N_Y0, f₀).

On conclut alors `a

sup

[0,T]W1( ˆF_t^N, δ_ft)≤2C_T W1( ˆF₀^N, δ_f0),

avecF₀^N :=f₀^⊗N etF_t^N =X_t♯F₀^N la densit´e probabilit´e transport´ee par le flot de l’´equation (7.4.14)-(^eqFN hyp:Vlasov5

7.5.25). On retrouve ainsi exactement le r´esultat de la proposition PropagationChaosVlasov

7.4.12.

Etape 2. Fin de la parenth`ese. On peut faire un mieux en commen¸cant par observer queE<sub>N</sub> est ´egalement l’int´egrale sur E<sup>N</sup>×E<sup>N</sup> par rapport `a la loi de probabilit´eπ₀(dX₀, dY₀) = δY0=X0(dY0)f₀^⊗N(dX0) ∈ Π(f₀^⊗N, f₀^⊗N) et est mˆeme le transport optimal (par exemple pour le coˆutd_Ej). En d´efinissant π_t := (X_t⊗Y_t)♯(f₀^⊗N ⊗f₀^⊗N) le mesure de probabilit´e transport´ee par les flots des ´equations, soit plus explicitement

Z

E^2N

Θ(X, Y)π_t(dX, dY) = Z

E^2N

Θ(X_t, Y_t)π₀(dX₀, dY₀) ∀Θ∈C_b(E^2N),

on constate ais´ement que π_t∈Π(F_t^N, f(t)^⊗N) puisqueF_t^N =X_t♯f₀^⊗N,f(t)^⊗N =Y_t♯f₀^⊗N, et donc

W₁(F_t^N, f(t)^⊗N)≤ Z

E^2N|X−Y|π_t(dX, dY) =E_N|X_t−Y_t| ≤C_T E_NW₁(µ^N_Y0, f₀).

Etape 3. Une deuxi`eme (cette fois-ci c’est la bonne !) estimation d’erreur. L’id´ee est de reprendre et adapter la preuve du Th´eor`eme 3.4.25, et ´egalement de commencer par^th:tauxD int´egrer par rapport au choix de la donn´ee initiale puis d’utiliser le lemme de Gronwall (et non pas l’inverse comme dans l’´etape 2). Avec les notations de l’´etape 2, on introduit la semi-norme des solutions des ´equations diff´erentielles (eq:VlasovCouplage1

7.5.23)-(hyp:Vlasov5

7.5.25) associ´ees aux donn´ees initiales y0,1, ..., y0,N. On introduit les notationsF₀^N :=f₀^⊗N etF_t^N := Ψ^N_t ♯F₀^N =f_t^⊗N, la derni`ere

´egalit´e ´etant une cons´equence du Th´eor`eme 7.2.5. On commence par remarquer que par^theoCarac d´efinition de la mesure imageF_t^N := Ψ^N_t ♯F₀^N, on a

Le calcul de la premi`ere ´etape de la preuve du Th´eor`eme3.4.25 donne^th:tauxD Z

Combinant ces deux derni`eres in´egalit´es, le lemme de Gronwall implique Z

et on conclut en minimisant le terme de droite par rapport `aπ^N₀ ∈Π(F₀^N, f₀^⊗N). ⊔⊓ On peut d´eduire de la Proposition prop:VlasovCouplage1

7.5.15 plusieurs autres estimations de type “propa-gation du chaos”.

cor:VlasovChaos Corollaire 7.5.16 (Propagation du chaos) On fait les mˆemes hypoth`eses que dans la Proposition prop:VlasovCouplage1

7.5.15, et on suppose de plus que F₀^N := f₀^⊗N avec f₀ ∈ P₁(E). Alors la densit´e de probabilit´e F_t^N = Φ^N_t ♯f₀^⊗N des trajectoires du syst`eme de N particules associ´e

`

a la donn´ee initiale F₀^N est f_t-chaotique, et plus pr´ecis´ement, on a

∀1≤k≤N W₁(F_k^N(t), f_t^⊗k)≤C_T N^−1/2, chaosVlasov1 (7.5.27)

W1( ˆF_t^N, δ_ft)≤C_T N^−1/(d′)+, d^′ = max(d,2), chaosVlasov2 (7.5.28)

∀ϕ∈Lip₁(E) hFˆ_t^N,|R_ϕ(·)−R_ϕ(f_t)|²i ≤C_T N^−1/2, chaosVlasov5 (7.5.29)

∀ϕ∈Lip₁(E) hFˆ_t^N,|R_ϕ(·)−R_ϕ(f_t)|i ≤C_T min(N^−1/4, N^−1/(d′)+).

chaosVlasov6 (7.5.30)

Preuve du Th´eor`eme cor:VlasovChaos

7.5.16. L’estimation (chaosVlasov1

7.5.27) est une cons´equence de la Proposi-tion prop:VlasovCouplage1

7.5.15 et de la premi`ere in´egalit´e ´enonc´ee dans le Lemme lem:ChaosEquiv

??. L’estimation (chaosVlasov2

7.5.28) est une cons´equence de la Proposition prop:VlasovCouplage1

7.5.15 et du Lemme ^lem:W1F1F3.5.30. Pour ´etablir (chaosVlasov5

7.5.29), il suffit de reprendre la preuve des Th´eor`eme 3.4.25 et Lemme^th:tauxD 3.5.31, de remarquer que^lem:WWenHs l’application (x, y)7→ϕ(x)ϕ(y) est Lipschitzienne dans E², afin d’obtenir une estimation du type

hFˆ^N,|R_ϕ(·)−R_ϕ(f)|²i ≤C W₁(F₂^N, f^⊗2) + 1/N).

L’estimation (chaosVlasov5

7.5.29) se d´eduit alors de (chaosVlasov1

7.5.27). Concernant (chaosVlasov6

7.5.30), on obtient une premi`ere borne grˆace `a l’in´egalit´e de Cauchy-Schwartz et (chaosVlasov5

7.5.29). La deuxi`eme borne s’obtient en remarquant que l’application ρ7→ |R_ϕ(ρ)−R_ϕ(f_t)|est une fonction Lipschit-zienne surP(E) de sorte

hFˆ^N,|R_ϕ(·)−R_ϕ(f)|i ≤ hFˆ^N, W₁(·, f)i=W1( ˆF^N, δ_f), et on conclut grˆace `a (chaosVlasov2

7.5.28). ⊔⊓

rem:tildeW1parCouplage Remarque 7.5.17 1) Avec les hypoth`eses du Corollaire cor:VlasovChaos

7.5.16 et les notations de la preuve de la proposition prop:VlasovCouplage1

7.5.15, on a ´egalement sup

[0,T]

E_N(W₁(µ^N_Xt, µ^N_Yt)) ≤ sup

[0,T]

E_N(|X_t−Y_t|1) ≤ C_T

√N. Remarque 7.5.18 1) Avec les notations de l’introduction on a

E(W₁(µ^N_X(t), f(t))) =W1( ˆF^N(t), δ_f(t)).

2) La m´ethode de couplage permet d’obtenir un meilleur taux (taux en 1/√

N sur les distances W₁(F_k^N, f^⊗k)) que la m´ethode de la mesure empirique (taux en1/N^(d′)+).

3) Cependant, la m´ethode de couplage n´ecessite une donn´ee initiale chaotique (ce qui n’est pas n´ecessaire pour l’obtention d’une simple limite de champ moyen par la m´ethode de la mesure empirique) et des hypoth`eses de structure et de r´egularit´e plus fortes sur la dynamique (au moins dans la version simple pr´esent´ee dans ce chapitre).

7.6 Notes bibliographiques

Ce chapitre est tr`es fortement inspir´e des notes de cours [62] de C. Villani dans les-<sup>VillaniMF</sup> quelles sont pr´esent´ees quelques arguments classiques concernant la limite de champ moyen des mod`eles de Vlasov et McKean-Vlasov, et donc ´egalement du cours ^S5[59] de A.S. Sznit-man.

Les sections sec:VlasovEqLin

7.2 et sec:VlasovEqNL

7.3 sont extrˆemement classiques, et suivent pour l’essentiel les notes

VillaniMF

[62]. La m´ethode de la mesure empirique que nous pr´esentons dans la section sec:VlasovMesureEmpirique

7.4 est due

`

a Dobrusin [22]. Soulignons que Braun et Hepp dans^Dobrusin79 BraunHepp77

[10] ont ´etabli la mˆeme limite de champ moyen, par une m´ethode similaire (utilisant les mesures empiriques), mais sans taux de convergence. La premi`ere preuve de la limite de champ moyen pour ce mod`ele de Vlasov serait due `a Neuzert et Wick dans NeunzertWick1972

[48] (l’article est r´edig´e en allemand). La m´ethode de couplage pr´esent´ee dans la section sec:VlasovCouplage

7.5 reprend la preuve classique pour le mod`ele de McKean-Vlasov telle qu’elle apparaˆıt dans[59].^S5

Le mod` ele de McKean-Vlasov

sec:McKV

8.1 La m´ ethode de la martingale non lin´ eaire sans martin-gale non lin´ eaire

C’est un calcul que j’ai fait `a Toulouse durant le congr`es NBA. Il s’agit de faire une m´ethode de la mesure empirique ou plutˆot de calculer grˆace `a Itˆo

E(Φ(µ^N_Xt)) =...

On voit qu’on arrive pas `a boucler comme dans le cas d´eterministe et que pour conclure il nous faut un th´eor`eme d’unicit´e dansP(P(E)).

8.2 La strat´ egie de l’argument de couplage : le mod` ele de McKean-Vlasov

Soit X= (X^N,1, ..., X^N,N)∈E^N la solution du syst`eme deN particules dXⁱ = 1

N X

j6=i

a(Xⁱ−X^j)dt+dB_tⁱ

= (a ⋆ µ^N_X)(Xⁱ)dt+dBⁱ_t,

o`u (Bⁱ) est une collection de mouvements Brownien ind´ependants et X₀^N est un vecteur al´eatoire dont les coordonn´ees sont ind´ependantes et de mˆeme loif₀ (ind´ependant deN).

• La limite de champ moyen est

∂_tf = 1

2∆f + div((a ⋆ f)f), et on peut montrer encore que

∀f₀, g₀ W₁(f_t, g_t)≤C_tW₁(f₀, g₀) ou ≤C e^{−λ t}W₁(f₀, g₀).

Le probl`eme ici est que µ^N_X n’est pas solution de l’EDP non lin´eaire et l’argument valable pour Vlasov ne tient plus.

161

• Mais on va faire mieux. On introduit la dynamique de particules fictives (pour les mˆemes mouvements Brownien)

dYⁱ = (a ⋆ f)(Yⁱ)dt+dB_tⁱ, Y₀ⁱ =X₀ⁱ,

et la formule d’Itˆo implique queL(Yⁱ) =f carL(Yⁱ) est solution de la mˆeme EDP (pour laquelle il y a unicit´e des solutions). On d´emontre (sous forme int´egrale) que

d dt

1 N

XN k=1

|X_t^k−Y_t^k| ≤2kakLip

1 N

XN k=1

|X_t^k−Y_t^k|+Y(t) avec Y(t) qui ne d´epend que de Y(t). On en d´eduit

d

dtE|X_t¹−Y_t¹| ≤2kakLipE|X_t¹−Y_t¹|+E(Y(t)).

Or on peut montrer queE(Y(t)) =O(1/√

N) : cela provient juste du fait que lesYⁱforme une suite de va i.i.d. et queE(Y(t)) est une mesure de l’erreur entre la loi d’une moyenne empirique desYⁱ et sa limite d´eterministe.

On en d´eduit d’une part que pour tout ϕ∈Lip(E)

|hf₁^N, ϕi − hf, ϕi|=|Eϕ(X_t¹)−Eϕ(Y_t¹)|=O(1/√ N), ce qui signifie bien quef₁^N =L(X₁)→f lorsqueN → ∞.

On en d´eduit d’une part que pour tout ϕ∈Lip(E^j)

|hf_j^N, ϕi − hf^⊗j, ϕi| = |Eϕ(X_t¹, ..., X_t^j)−Eϕ(Y_t¹, ..., Y_t^j)|

≤ kϕkLip

Xj k=1

E|X_t^k−Y_t^k| ≤jO(1/√ N), ce qui signifie quef^N est f-chaotique.

On remarquera que la mˆeme preuve implique le mˆeme r´esultat (propagation du chaos) pour le mod`ele de Vlasov (avec donn´ee initiale al´eatoire mais de coordonn´ees ind´ependantes).

Probl`eme 1. Peut-on ´etablir le mˆeme r´esultat en restant au niveau des lois des syst`emes de particules (X¹, ..., X^N) et (Y¹, ..., Y^N) ? Il faut bien sˆur faire attention `a quand prendre les marginales : le plus tard possible !

8.3 Propagation du chaos

• On consid`ere le syst`eme de particules dX_tⁱ =dB_tⁱ+ 1 N

XN j=1

F(X_tⁱ−X_t^j)dt

o`u lesBⁱsont des mouvements Browniens ind´ependants etF ∈(Lip∩L^∞)(R^d). En posant G(x) :=



 1 N

XN j=1

F(x¹−x^j), ..., 1 N

XN j=1

F(x^N −x^j)





on voit que la loi m^N de Xt r´esout

∂_tm^N = 1

2∆m^N − ∇ ·(G m^N).

• On consid`ere la solutionρ_t de l’´equation parabolique non lin´eaire eqMcKVnl

eqMcKVnl (8.3.1) ∂_tρ= 1

2∆µ− ∇ ·[(F∗ρ)ρ] R^d.

• On va mettre en place une strat´egie de couplage. On consid`ere Y_t¹, ..., Y_t^N des va ind´ependantes et solutions de l’´equation diff´erentiel stochastique

dY_tⁱ=dB_tⁱ+ (F∗ρt)(Y_tⁱ)dt, Y ∼ρ^⊗₀^N. Sa loiηⁱ est solution de

∂_tηⁱ= 1

2∆ηⁱ− ∇ ·[(F∗ρ)ηⁱ] R^d,

et commeρ est l’unique solution de (8.3.1) on a^eqMcKVnl ηⁱ=ρ pour touti= 1, ..., N. Proposition 8.3.1 (Couplage 1). On suppose F Lipschitzienne et born´ee. Alors PropCouplage1

sup

[0,T]

E|X_t¹−Y_t¹| ≤ C_T

√N. Preuve de la proposition PropCouplage1

8.3.1. Par d´efinition, on a en notantb(x, y) =F(x−y) d

dt(X_tⁱ−Y_tⁱ) = 1 N

XN j=1

b(X_tⁱ, X_t^j)− Z

R^d

b(Y_tⁱ, y)ρt(dy)

= 1

N XN j=1

[b(X_tⁱ, X_t^j)−b(Y_tⁱ, X_t^j)]

+1 N

XN j=1

[b(Y_tⁱ, X_t^j)−b(Y_tⁱ, X_t^j)]

+1 N

XN j=1

[b(Y_tⁱ, Y_t^j)− Z

R^d

b(Y_tⁱ, y)ρ_t(dy)], d’o`u la majoration

d

dt|X_tⁱ−Y_tⁱ| ≤ kbkLip|X_tⁱ−Y_tⁱ| +1

N XN j=1

kbkLip|X_t^j −Y_t^j|

+

1 N

XN j=1

[b(Y_tⁱ, Y_t^j)− Z

R^d

b(Y_tⁱ, y)ρ_t(dy)]

.

En sommant ces N in´egalit´es il vient

En prenant l’esp´erance et en utilisant la sym´etrie des lois deX_tetY_tpar rapport `a l’indice des particules (L(X_tⁱ) =L(X_t^j) et L(Y_tⁱ) =L(Y_t^j) =ρ_t pour touti, j), il vient

Nous allons maintenant estimer le terme A(t). Par in´egalit´e de Cauchy-Schwarz et en d´eveloppant enti`erement on obtient (j, k) ∈B, les quatre termes intervenant dans la somme sur l’ensembleB sont ´egaux (ils vallent toushρ<sup>⊗2</sup>, bi) et cette somme est donc nulle, et o`u le cardinal deB^c vaut 3N −2. De plus, le lemme de Gronwall appliqu´e `a l’in´egalit´e diff´erentielle

u^′ ≤α u+β, u(0) = 0

implique u(t)≤ _α^βe^{α t}. On obtient ainsi le r´esultat avec C_T = ²_kb^k_k^bk∞

Lip e^2kbkLipT. ⊔⊓ Proposition 8.3.2 (Propagation du chaos). On suppose F Lipschitzienne et born´ee.

PropChaos1

Preuve de la Proposition 8.3.2.^PropChaos1On s´epare en deux morceaux grˆace `a la proposition PropCouplage1

8.3.1. On se rappelle maintenant que Y_t ∼ρ^⊗_t^N et en reprenant le premier point de la preuve du th´eor`eme 3.18 du chapitre 1 on a

ce qui donne ´egalement une contribution en 1/√

N pour le second terme. ⊔⊓

8.4 Estimation W

_p

du flot associ´ e ` a McKean-Vlasov

Proposition 8.4.1 (distance W₁).On suppose F Lipschitzienne et born´ee. On a PropW1

W₁(ρ_t, η_t)≤C_T W₁(η₀, ρ₀).

Soient ρ₀, η₀ ∈ P(R^d) et soient ρ_t, η_t ∈ C([0,∞);P(R^d)) les solutions de l’´equation non lin´eaire de McKean-Vlasov :

∂_tρ= 1 pour un mˆeme mouvement BrownienB_t. On ´ecrit alors (form´element)

d

dt(Y_t−X_t) = (F∗η_t)Y_t−(F∗ρ_t)X_t, et donc

d

dt|X_t−Y_t| ≤ |F ∗η_t| |Y_t−X_t|+|F∗η_t−F∗ρ_t| |X_t|,

puis sur un intervalle de temps [0, T] d

dtE|X_t−Y_t| ≤ AE|Y_t−X_t|+B sup

z∈R^d

|(F∗η_t)(z)−(F ∗ρ_t)(z)|

≤ AE|Y_t−X_t|+B sup

z∈R^d

E

Z

R^d

[b(Y_t, z)−b(X_t, z)]dz

≤ AE|Y_t−X_t|+BkbkLipE|Y_t−X_t|. Le lemme de Gronwall implique alors

E|Y_t−X_t| ≤C_T E|Y₀−X₀|.

En faisant parcourir `a (X₀, Y₀) l’ensemble des couplages de (ρ₀, η₀) possibles, on d´eduit W₁(ρ_t, η_t)≤ min

(X0,Y0)E|Y_t−X_t| ≤C_T min

(X0,Y0)E|Y₀−X₀|=C_T W₁(η₀, ρ₀).

8.5 Notes bibliographiques

A second une breve revue des resultats precedents : Kac [34]-^Kac1956[35] pour son modele^Kac1957 simplifie 1d (pas de conservation du moment), McKean [41] pour maxwellien, Grunbaum^McKean1967

Grunbaum

[29] (source d’inspiration importante mais incomplete), Snitzmann [60] (dire un peu plus^S6 precisement son resultat). Parler aussi de l’approche generale de Lions. Voir egalement le cours de Meleard Meleard1996

[44] (plus a jour mais important) et celui de Cedric[62]. Voir egalement^VillaniMF pour citer les nouvelles refs que tu as rajoutee plus recemment Stephane (dans les versions 5 et 6).

Much more are known about the so-called McKean-Vlasov model introduced by McKean Voici une biblio sommaire (source = Francois Bolley) :

1) McKean −>LGN ( ^McK2,McK3[40, 42]F is bounded and Lipschitz and σ_i?) 2) Tanaka −>TLC

3) Snitzmann : tout est resume dans le cours (les articles sont anterieurs) − >LGN avec taux, methode de couplage

4) Leonard, Dawson, ... 80^′ : Grandes deviations 5) Meleard

6) D. Talay (Analyse Num., il a un cours, discretisation en temps)

7) Benachour, Roynette, ...−>pourd= 1 obtention d’un taux (N^−1/2) uniformement en temps.

8) Malrieu −>pour d≥2 obtention d’un taux (N^−1/2) uniformement en temps.

9) Malrieu, Catiaux, Villani, Bolley, Guillin, ....

Introduction ` a la m´ ethode de la

hi´ erachie BBGKY et au mod` ele de Boltzmann-Kac

chap:BBGKY

9.1 Les trois mod` eles

Nous consid´erons dans ce chapitre un syst`eme de N particules qui est d´ecrit (point de

Nous consid´erons dans ce chapitre un syst`eme de N particules qui est d´ecrit (point de

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