sec:Entropie-Gibbs
Cette section est consacr´ee au passage `a la limite dans une suite de mesures de Gibbs en m´echanique statistique. Cette limite a ´et´e obtenue par Messer, Spohn MesserSpohn82
[45] et par Caglioti,
Lions, Machioro, Pulvirenti CLMP1,CLMP2
[11, 12]. La preuve que nous pr´esentons diff`ere l´eg`erement de celles que l’on peut trouver dans ces articles : elle est plus“´economique”(n´ecessite moins de bornes a priori) mais est ´egalement moins pr´ecise.
Avant de d´ecrire (tr`es succintement) le probl`eme physique, nous commen¸cons par
´etablir le r´esultat math´ematique cl´e qui permettra le passage `a la limite mentionn´e.
th:HFNtoHHpi Th´eor`eme 4.2.6 Soit E ⊂Rd. Soit (FN) une suite de Psym(EN) et π∈P(P(E))telles que FN → π faiblement au sens o`u FjN ⇀ πj faiblement dansP(Ej) et il existeC, a >0 tels quehF1N,|v|ai ≤C. Alors
ineq:HFNtoHHpi
ineq:HFNtoHHpi (4.2.9) H(π)≤lim inf 1
NHN(FN).
Preuve du Th´eo`eme th:HFNtoHHpi
4.2.6. Pour j ∈ N∗ fix´e, on introduit la d´ecomposition Euclidienne
N =n j+ravec n∈N∗, 0≤r≤j−1. En it´erant l’in´egalit´e de suradditivit´e (ineg:additiviteEntrop
4.1.5), on a HN(FN)≥n Hj(FjN) +Hr(FrN).
D’apr`es la borne inf´erieure (ineg:LowerBdEntropie
4.1.6), l’hypoth`ese de bornitude des moments de FN et l’´equivalence des normes dans Er, 0≤r ≤j−1, on a ais´ement
Hr(FrN) ≥ Ca,rd− Z
Er
FrN|v|adv
≥ Ca,rd−Cr Z
E
F1N|v|adv ≥Ca,rd−CrC≥K >−∞, pour tout 0≤r≤j−1. On en d´eduit
1
N HN(FN)≥ n
N Hj(FjN) +K N et donc
lim inf 1
N HN(FN)≥ 1
jHj(πj)
pour toutj∈N∗ puisque N/n→j lorsqueN → ∞,Hj(πj)≤lim infHj(FjN) et K/N → 0. On conclut grˆace au Th´eor`eme th:Rob&Ruelle
4.1.1. ⊔⊓
Dans la suite de cette section on suppose que E est une partie compact de Rd (ou seulement de mesure de Lebesgue finie). Pour des potentielsa1:E →Reta2 :E×E →R, on d´efinit l’Hamiltonien
a(N)(X) = 1 N
XN i=1
a1(xi) + 1 2N
XN i6=j=1
a2(xi, xj) et la mesure de Gibbs associ´ee
f(N)(X) = e−a(N)(X)
Z(N) , Z(N) = Z
EN
e−a(N)(X)dX.
Pour toutg∈Psym(EN) on d´efinit son ´energie V(N)(g) :=
Z
EN
a(N)g(dX)
et son ´energie libre
F(N)(g) :=V(N)(g) +H(N)(g),
o`u H(N) d´esigne (changement de notations) l’entropie sur EN. La mesure de Gibbs f(N) est l’´equilibre associ´e `a la fonctionnelle d’´energie libreF(N) (`a l’Hamiltonien a(N)).
lem:PbN Lemme 4.2.7 Pour tout N on a
F(N)(f(N)) = inf
g∈P(EN)F(N)(g).
Preuve du Lemme 4.2.7.lem:PbNUn premier argument est le suivant. Si g est un point de mini-mum pourF(N) sous la contrainte d’ˆetre d’int´egrale 1, alors il existe un multiplicateur de Lagrangeλ∈Rtel que
logg+ 1 +a(N)=λ,
d’o`u on obtientf(N). Un deuxi`eme argument, plus explicite, est le suivant. On ´ecrit pour toutg∈P(EN)
F(N)(g) = H(N)(g|f(N)) + Z
EN
(logf(N)+a(N))g(dX)
= H(N)(g|f(N)) + Z
EN
(logf(N)+a(N))f(N)(dX)
≥ H(N)(f(N)|f(N)) + Z
EN
(logf(N)+a(N))f(N)(dX) =F(N)(f(N)),
ce qui est bien l’in´egalit´e annonc´ee. ⊔⊓
On fait les hypoth`eses suivantes sur les potentiel ai,i= 1,2 : ai est mesurable,i= 1,2, a2 est sym´etrique, hyp:3 (4.2.10)
kai,−kL∞ ≤M−<∞, i= 1,2, hyp:4 (4.2.11)
a1,+∈L∞(E), a2,+∈L1(E2).
hyp:2 (4.2.12)
On d´efinit l’´energie d’une densit´e de particules typiquesg∈P(E) par V(g) := 1
2 Z Z
E×E
a2(x, y)g(dx)g(dy) ∈R∪ {+∞}, et son ´energie libre par
F(g) :=H(g) +V(g)∈R∪ {+∞},
o`u H = H1 est l’entropie sur E. Il est classique de montrer qu’il existe au moins une solution ¯f ∈P(E) au probl`eme de minimisation
eq:PbMinE
eq:PbMinE (4.2.13) F( ¯f) = min
g∈P(E)F(g),
et en ´ecrivant l’´equation d’Euler correspondante, que ¯f v´erifie eq:EulerMinE
eq:EulerMinE (4.2.14) f¯(x) =Z−1 exp Z
E
a2(x, y) ¯f(y)dy
, Z ∈R+.
On noteS ⊂P(E) l’ensemble des solutions ¯f de (4.2.13). Soulignons qu’en g´en´eral il n’yeq:PbMinE a pas unicit´e de la solution de (4.2.13), et donceq:PbMinE S n’est pas un singleton.
Pour π∈P(P(E)) on d´efinit son ´energie libre (de niveau 2) par F(π) :=V(π) +H(π),
o`u H est l’entropie de niveau 2 d´efinie dans la section pr´ec´edente et V est l’´energie de niveau 2 d´efinie par
V(π) :=
Z
P(E)
V(ρ)π(dρ).
theo:CvgcePbN Th´eor`eme 4.2.8 Il existe une sous-suite encore not´e f(N) et une probabilit´e de m´elange
¯
π∈P(P(E))v´erifiant suppπ¯⊂S telles quef(N)→π¯ faiblement. Plus pr´ecis´ement pour la premi`ere ´egalit´e et de mani`ere ´equivalente pour la seconde ´egalit´e, on a
theo:CvgcePbN0 toute la suite f(N) estf¯-chaotique.
On commence par un r´esultat reliant ´energie de niveau 1 et de niveau 2 dans l’esprit du Th´eor`eme th:Rob&Ruelle
4.1.1.
lem:Energie1&2 Lemme 4.2.9 Pour tout π∈P(P(E)) on a eq:EE&Ej de De Finetti, Hewitt et Savage.
Preuve du Lemme lem:Energie1&2
4.2.9. Puisque V est un “polynˆome” (au sens o`u cela a ´et´e introduit dans le chapitre chap:H&S
3) on a d’une part et par d´efinition V(π) =
ce qui implique bien que la deuxi`eme ´egalit´e dans (eq:EE&Ej
4.2.16). ⊔⊓
Preuve du Th´eor`eme theo:CvgcePbN
4.2.8. Etape 1 - Bornes a priori. Soit ϕ ∈ P(E) ∩L∞(E). Par d´efinition def(N) et l’hypoth`ese (4.2.12), on ahyp:2
ineq:CvgcePbN1
En reprenant la preuve du Th´eor`eme th:HFNtoHHpi
4.2.6, on a ineq:CvgcePbN2
ineq:CvgcePbN2 (4.2.18) 1
j+ 1H(j)(fj(N))≤ 1
NH(N)(f(N)) +K−.
En d´efinissantV−(N) `a partir dea2,−, la preuve du lemme lem:Energie1&2
4.2.9 implique
Etape 2 - Passage `a la limite.D’apr`es le Th´eor`eme3.3.16 de compacit´e, on sait qu’il existetheoHS3 une sous-suite toujours not´eef(N) telle quef(N)→π¯ faiblement. Plus pr´ecis´ement, grˆace
`
a la borne (ineq:CvgcePbN4
4.2.20), on a pour tout j∈N∗ limit:CvgcePbN5
limit:CvgcePbN5 (4.2.21) fj(N) ⇀π¯j faiblement dans L1(Ej).
On introduita2,ε := min(a2,1/ε) pour toutε >0, de sorte quea2,ε ≤a2 eta2,ε ∈L∞, et la fonctionnelle d’´energie Vε(N) associ´ee. On ´ecrit
ineq:CvgcePbN6
ineq:CvgcePbN6 (4.2.22) 1
N H(N)(f(N)) + 1
N Vε(N)(f(N))≤ 1
N F(N)(f(N)).
Toujours `a cause du mˆeme calcul effectu´e dans la preuve du lemme lem:Energie1&2
4.2.9, on a de sorte que grˆace `a (limit:CvgcePbN5
4.2.21) on d´eduit
Combinant (ineq:CvgcePbN6
4.2.22), (limit:CvgcePbN7
4.2.23) et le r´esultat du th´eor`eme th:HFNtoHHpi
4.2.6, on obtient H(¯π) + 1
2 Z
E2
a2,ε¯π2dxdy≤lim inf 1
N F(N)(f(N)).
pour toutε >0, et donc par convergence monotone ineq:CvgcePbN8
ineq:CvgcePbN8 (4.2.24) F(¯π)≤lim inf 1
N F(N)(f(N)).
Etape 3 - Identification de la limite.Soitϕ∈S. Comme alorsϕlogϕ∈L1eta2ϕ⊗ϕ∈L1, on v´erifie sans difficult´e que
lim 1
N F(N)(ϕ⊗N) =F(ϕ) =F(δϕ).
Or par ailleurs, pour tout N, 1
NF(N)(f(N))≤ 1
N F(N)(ϕ⊗N), de sorte que
ineq:CvgcePbN9
ineq:CvgcePbN9 (4.2.25) lim sup 1
NF(N)(f(N))≤lim 1
N F(N)(ϕ⊗N) =F(ϕ).
On a ´egalement pour tout π∈P(P(E)), l’in´egalit´e ineq:CvgcePbN10
ineq:CvgcePbN10 (4.2.26) F(π) = Z
P(E)
F(ρ)π(dρ)≥ Z
P(E)
F(ϕ)π(dρ) =F(ϕ).
En combinant (ineq:CvgcePbN8
4.2.24), (ineq:CvgcePbN9
4.2.25) et (ineq:CvgcePbN10
4.2.26), on en d´eduit F(ϕ) = inf
π∈P(P(E))F(π) ainsi que
F(¯π) = lim 1
NF(N)(f(N)) =F(ϕ) ce qui prouve (theo:CvgcePbN0
4.2.15). La condition de support provient du fait que si suppπ n’est pas
inclus dans S alorsF(π)> F(ϕ). ⊔⊓