• Aucun résultat trouvé

sec:Entropie-Gibbs

Cette section est consacr´ee au passage `a la limite dans une suite de mesures de Gibbs en m´echanique statistique. Cette limite a ´et´e obtenue par Messer, Spohn MesserSpohn82

[45] et par Caglioti,

Lions, Machioro, Pulvirenti CLMP1,CLMP2

[11, 12]. La preuve que nous pr´esentons diff`ere l´eg`erement de celles que l’on peut trouver dans ces articles : elle est plus“´economique”(n´ecessite moins de bornes a priori) mais est ´egalement moins pr´ecise.

Avant de d´ecrire (tr`es succintement) le probl`eme physique, nous commen¸cons par

´etablir le r´esultat math´ematique cl´e qui permettra le passage `a la limite mentionn´e.

th:HFNtoHHpi Th´eor`eme 4.2.6 Soit E ⊂Rd. Soit (FN) une suite de Psym(EN) et π∈P(P(E))telles que FN → π faiblement au sens o`u FjN ⇀ πj faiblement dansP(Ej) et il existeC, a >0 tels quehF1N,|v|ai ≤C. Alors

ineq:HFNtoHHpi

ineq:HFNtoHHpi (4.2.9) H(π)≤lim inf 1

NHN(FN).

Preuve du Th´eo`eme th:HFNtoHHpi

4.2.6. Pour j ∈ N fix´e, on introduit la d´ecomposition Euclidienne

N =n j+ravec n∈N, 0≤r≤j−1. En it´erant l’in´egalit´e de suradditivit´e (ineg:additiviteEntrop

4.1.5), on a HN(FN)≥n Hj(FjN) +Hr(FrN).

D’apr`es la borne inf´erieure (ineg:LowerBdEntropie

4.1.6), l’hypoth`ese de bornitude des moments de FN et l’´equivalence des normes dans Er, 0≤r ≤j−1, on a ais´ement

Hr(FrN) ≥ Ca,rd− Z

Er

FrN|v|adv

≥ Ca,rd−Cr Z

E

F1N|v|adv ≥Ca,rd−CrC≥K >−∞, pour tout 0≤r≤j−1. On en d´eduit

1

N HN(FN)≥ n

N Hj(FjN) +K N et donc

lim inf 1

N HN(FN)≥ 1

jHjj)

pour toutj∈N puisque N/n→j lorsqueN → ∞,Hjj)≤lim infHj(FjN) et K/N → 0. On conclut grˆace au Th´eor`eme th:Rob&Ruelle

4.1.1. ⊔⊓

Dans la suite de cette section on suppose que E est une partie compact de Rd (ou seulement de mesure de Lebesgue finie). Pour des potentielsa1:E →Reta2 :E×E →R, on d´efinit l’Hamiltonien

a(N)(X) = 1 N

XN i=1

a1(xi) + 1 2N

XN i6=j=1

a2(xi, xj) et la mesure de Gibbs associ´ee

f(N)(X) = ea(N)(X)

Z(N) , Z(N) = Z

EN

ea(N)(X)dX.

Pour toutg∈Psym(EN) on d´efinit son ´energie V(N)(g) :=

Z

EN

a(N)g(dX)

et son ´energie libre

F(N)(g) :=V(N)(g) +H(N)(g),

o`u H(N) d´esigne (changement de notations) l’entropie sur EN. La mesure de Gibbs f(N) est l’´equilibre associ´e `a la fonctionnelle d’´energie libreF(N) (`a l’Hamiltonien a(N)).

lem:PbN Lemme 4.2.7 Pour tout N on a

F(N)(f(N)) = inf

gP(EN)F(N)(g).

Preuve du Lemme 4.2.7.lem:PbNUn premier argument est le suivant. Si g est un point de mini-mum pourF(N) sous la contrainte d’ˆetre d’int´egrale 1, alors il existe un multiplicateur de Lagrangeλ∈Rtel que

logg+ 1 +a(N)=λ,

d’o`u on obtientf(N). Un deuxi`eme argument, plus explicite, est le suivant. On ´ecrit pour toutg∈P(EN)

F(N)(g) = H(N)(g|f(N)) + Z

EN

(logf(N)+a(N))g(dX)

= H(N)(g|f(N)) + Z

EN

(logf(N)+a(N))f(N)(dX)

≥ H(N)(f(N)|f(N)) + Z

EN

(logf(N)+a(N))f(N)(dX) =F(N)(f(N)),

ce qui est bien l’in´egalit´e annonc´ee. ⊔⊓

On fait les hypoth`eses suivantes sur les potentiel ai,i= 1,2 : ai est mesurable,i= 1,2, a2 est sym´etrique, hyp:3 (4.2.10)

kai,kL ≤M<∞, i= 1,2, hyp:4 (4.2.11)

a1,+∈L(E), a2,+∈L1(E2).

hyp:2 (4.2.12)

On d´efinit l’´energie d’une densit´e de particules typiquesg∈P(E) par V(g) := 1

2 Z Z

E×E

a2(x, y)g(dx)g(dy) ∈R∪ {+∞}, et son ´energie libre par

F(g) :=H(g) +V(g)∈R∪ {+∞},

o`u H = H1 est l’entropie sur E. Il est classique de montrer qu’il existe au moins une solution ¯f ∈P(E) au probl`eme de minimisation

eq:PbMinE

eq:PbMinE (4.2.13) F( ¯f) = min

g∈P(E)F(g),

et en ´ecrivant l’´equation d’Euler correspondante, que ¯f v´erifie eq:EulerMinE

eq:EulerMinE (4.2.14) f¯(x) =Z1 exp Z

E

a2(x, y) ¯f(y)dy

, Z ∈R+.

On noteS ⊂P(E) l’ensemble des solutions ¯f de (4.2.13). Soulignons qu’en g´en´eral il n’yeq:PbMinE a pas unicit´e de la solution de (4.2.13), et donceq:PbMinE S n’est pas un singleton.

Pour π∈P(P(E)) on d´efinit son ´energie libre (de niveau 2) par F(π) :=V(π) +H(π),

o`u H est l’entropie de niveau 2 d´efinie dans la section pr´ec´edente et V est l’´energie de niveau 2 d´efinie par

V(π) :=

Z

P(E)

V(ρ)π(dρ).

theo:CvgcePbN Th´eor`eme 4.2.8 Il existe une sous-suite encore not´e f(N) et une probabilit´e de m´elange

¯

π∈P(P(E))v´erifiant suppπ¯⊂S telles quef(N)→π¯ faiblement. Plus pr´ecis´ement pour la premi`ere ´egalit´e et de mani`ere ´equivalente pour la seconde ´egalit´e, on a

theo:CvgcePbN0 toute la suite f(N) estf¯-chaotique.

On commence par un r´esultat reliant ´energie de niveau 1 et de niveau 2 dans l’esprit du Th´eor`eme th:Rob&Ruelle

4.1.1.

lem:Energie1&2 Lemme 4.2.9 Pour tout π∈P(P(E)) on a eq:EE&Ej de De Finetti, Hewitt et Savage.

Preuve du Lemme lem:Energie1&2

4.2.9. Puisque V est un “polynˆome” (au sens o`u cela a ´et´e introduit dans le chapitre chap:H&S

3) on a d’une part et par d´efinition V(π) =

ce qui implique bien que la deuxi`eme ´egalit´e dans (eq:EE&Ej

4.2.16). ⊔⊓

Preuve du Th´eor`eme theo:CvgcePbN

4.2.8. Etape 1 - Bornes a priori. Soit ϕ ∈ P(E) ∩L(E). Par d´efinition def(N) et l’hypoth`ese (4.2.12), on ahyp:2

ineq:CvgcePbN1

En reprenant la preuve du Th´eor`eme th:HFNtoHHpi

4.2.6, on a ineq:CvgcePbN2

ineq:CvgcePbN2 (4.2.18) 1

j+ 1H(j)(fj(N))≤ 1

NH(N)(f(N)) +K.

En d´efinissantV(N) `a partir dea2,, la preuve du lemme lem:Energie1&2

4.2.9 implique

Etape 2 - Passage `a la limite.D’apr`es le Th´eor`eme3.3.16 de compacit´e, on sait qu’il existetheoHS3 une sous-suite toujours not´eef(N) telle quef(N)→π¯ faiblement. Plus pr´ecis´ement, grˆace

`

a la borne (ineq:CvgcePbN4

4.2.20), on a pour tout j∈N limit:CvgcePbN5

limit:CvgcePbN5 (4.2.21) fj(N) ⇀π¯j faiblement dans L1(Ej).

On introduita2,ε := min(a2,1/ε) pour toutε >0, de sorte quea2,ε ≤a2 eta2,ε ∈L, et la fonctionnelle d’´energie Vε(N) associ´ee. On ´ecrit

ineq:CvgcePbN6

ineq:CvgcePbN6 (4.2.22) 1

N H(N)(f(N)) + 1

N Vε(N)(f(N))≤ 1

N F(N)(f(N)).

Toujours `a cause du mˆeme calcul effectu´e dans la preuve du lemme lem:Energie1&2

4.2.9, on a de sorte que grˆace `a (limit:CvgcePbN5

4.2.21) on d´eduit

Combinant (ineq:CvgcePbN6

4.2.22), (limit:CvgcePbN7

4.2.23) et le r´esultat du th´eor`eme th:HFNtoHHpi

4.2.6, on obtient H(¯π) + 1

2 Z

E2

a2,ε¯π2dxdy≤lim inf 1

N F(N)(f(N)).

pour toutε >0, et donc par convergence monotone ineq:CvgcePbN8

ineq:CvgcePbN8 (4.2.24) F(¯π)≤lim inf 1

N F(N)(f(N)).

Etape 3 - Identification de la limite.Soitϕ∈S. Comme alorsϕlogϕ∈L1eta2ϕ⊗ϕ∈L1, on v´erifie sans difficult´e que

lim 1

N F(N)N) =F(ϕ) =F(δϕ).

Or par ailleurs, pour tout N, 1

NF(N)(f(N))≤ 1

N F(N)N), de sorte que

ineq:CvgcePbN9

ineq:CvgcePbN9 (4.2.25) lim sup 1

NF(N)(f(N))≤lim 1

N F(N)N) =F(ϕ).

On a ´egalement pour tout π∈P(P(E)), l’in´egalit´e ineq:CvgcePbN10

ineq:CvgcePbN10 (4.2.26) F(π) = Z

P(E)

F(ρ)π(dρ)≥ Z

P(E)

F(ϕ)π(dρ) =F(ϕ).

En combinant (ineq:CvgcePbN8

4.2.24), (ineq:CvgcePbN9

4.2.25) et (ineq:CvgcePbN10

4.2.26), on en d´eduit F(ϕ) = inf

πP(P(E))F(π) ainsi que

F(¯π) = lim 1

NF(N)(f(N)) =F(ϕ) ce qui prouve (theo:CvgcePbN0

4.2.15). La condition de support provient du fait que si suppπ n’est pas

inclus dans S alorsF(π)> F(ϕ). ⊔⊓