ReMath est un projet Européen comprenant huit équipes de recherche provenant de quatre pays : la France, l’Italie, la Grèce et l’Angleterre. Ses objectifs sont d’étudier les potentialités offertes par des artefacts numériques pour la représentation d’objets mathématiques ainsi que de rendre les recherches sur les TICE plus lisibles au plan international en reliant différents cadres théoriques utilisés et en élaborant des outils et langages communs. Dans le cadre de ce projet, les équipes ont développé six artefacts numériques dont Casyopée et treize scénarios pour l’utilisation pédagogique de ces artefacts. Nous avons participé à la conception et l’expérimentation d’un scénario pour l’apprentissage des fonctions avec le logiciel Casyopée. Les équipes impliquées dans le projet ReMath travaillent à partir d’une question initiale de recherche commune : comment les différentes représentations identifiées dans l’artefact permettent-elles d’atteindre les objectifs d’enseignement visés ?
5.1.2 Contexte d’expérimentation
Notre scénario a pour but de consolider chez les élèves la notion de fonction et de développer leur activité algébrique. Plus précisément, le scénario permet aux élèves de consolider :
Le sens attribué à la notion de variable et notamment la distinction entre variable et paramètre
Le fait qu’une même fonction pourrait avoir plusieurs expressions algébriques
La capacité de modélisation fonctionnelle de certaines situations géométriques. L’expérimentation du projet s’est déroulée au premier trimestre de l’année scolaire 2007-2008. Elle concerne deux classes de Première S de deux établissements distincts : le Lycée René Cassin à Montfort et le Lycée Maupertuis à Saint-Malo. Chaque classe se compose d’une vingtaine d’élèves. Les deux enseignants de ces classes sont expérimentés dans l’enseignement ainsi que dans le domaine des TICE. Ils participent au projet
Casyopée depuis le debut. La plupart des élèves ne sont pas encore familiers avec les logiciels de géométrie dynamique en classe ni avec Casyopée.
Toutes les séances ont eu lieu en salle informatique. Les élèves travaillent en binômes et nous avons fait des observations de quelques binômes tout au long des séances d’expérimentation.
5.1.3 Scénario
a. Principe de construction du scénario
Le scénario est construit en référence à la théorie des situations didactiques (Brousseau, 1998) et à l’approche instrumentale. C’est-à-dire qu’il y a une volonté de proposer aux élèves des situations d’apprentissage à potentiel a-didactique et pour cela les rétroactions du logiciel sont systématiquement explorées. De plus, conscient des difficultés nouvelles introduites par l’utilisation d’un artefact dans la réalisation des tâches, le scénario proposent des tâches mathématiques permettant une utilisation progressive de Casyopée. Le scénario propose une succession organisée de tâches mathématiques afin d’explorer le potentiel a priori offert par Casyopée pour approcher la notion de fonction, en particulier :
La modélisation fonctionnelle des situations géométriques
Le rôle joué par des paramètres pour l’étude d’une famille de fonctions
Le scénario met l’accent d’abord sur la construction de tâches et l’utilisation des différents feedbacks fournis par Casyopée. Les tâches construites permettent aux élèves de choisir différentes variables pour explorer des dépendances géométriques entre grandeurs et relier le Système physique (la géométrie) au monde des « Fonctions mathématiques » (l’algèbre). Cette connexion est soutenue par Casyopée grâce aux fonctionnalités de « Calcul géométrique » permettant d’exprimer symboliquement des dépendances fonctionnelles entre grandeurs. De plus, selon le choix des variables, l’expression algébrique obtenue d’une dépendance fonctionnelle peut avoir une complexité différente.
b. Plan du scénario
Le scénario de notre équipe se compose de six séances et est organisé en trois parties. Chaque partie a été conçue afin que les élèves apprennent des notions mathématiques en découvrant les capacités associées de Casyopée :
Figure 5.1. Scénario d’expérimentation du projet ReMath
Première partie : Fonctions associées
Cette partie a porté sur les fonctionnalités du module symbolique de Casyopée et sur des fonctions quadratiques. Son objectif est d’aider les élèves à se familiariser avec la manipulation de paramètres afin d’étudier des représentations algébriques des familles de fonctions en reconnaissant qu’une fonction quadratique peut avoir plusieurs expressions et que chaque coefficient dans ces expressions a un sens différent. Ces contenus sont nouveaux pour les élèves de la classe de Première. La tâche centrale est un jeu de « fonction cible » : trouver l’expression concrète d’une forme paramétrique donnée pour une fonction inconnue en pilotant des paramètres. Cette partie comprend trois séances9 :
Séance 1 : Introduction (fonctions associées)
Séance 2 : Fonctions cibles
Séance 3 : Différentes expressions d’une fonction.
Deuxième partie : Fonction et géométrie
Cette partie a d’abord pour objectif de consolider les connaissances des élèves sur des situations géométriques et de leur présenter les fonctionnalités du module géométrique, ce qui est une spécificité de Casyopée. La tâche centrale est de construire des calculs géométriques pour exprimer des relations de dépendances entre un point libre et l’aire. Elle a également pour but de présenter aux élèves la coordination de différentes représentations dans les deux cadres algébrique et géométrique par le moyen des problèmes concernant des calculs d’aires qui
peuvent être résolus en exportant une fonction et en résolvant une équation dans la fenêtre symbolique. Cette partie se compose de 2 séances :
Séance 4 : Introduction (découpages d’un triangle en surfaces d’aires égales)
Séance 5 : Applications (découpages d’un rectangle en surfaces d’aires égales).
Troisième partie : Problème d’optimisation
Finalement, les élèves doivent profiter de toutes les caractéristiques de Casyopée et activer toutes leurs connaissances algébriques pour résoudre un problème d’optimisation. Cette partie comprend une seule séance :
Séance 6 : Problème d’optimisation (trouver un rectangle d’aire maximale inscrit dans un triangle).
L’ensemble de ces six séances constitue une initiation à l’utilisation de Casyopée à travers une succession d’activités. L’accent est mis sur le potentiel a priori offert par Casyopée pour approcher des fonctions.
c. Observables et données recueillies
Les observables recueillies sont :
Les fiches élèves des séances. Chaque élève devait remplir une fiche dans chaque séance expérimentale.
Nos notes d’observation de classe
Les enregistrements audio des binômes observés
Les fichiers vidéo de capture d’écran, récupérés grâce à un logiciel.
Les fichiers Casyopée (log files).
Dans la suite, nous ne rendons pas compte de la totalité des observables du projet ReMath mais seulement de ceux qui s’avèrent pertinents et intéressants par rapport à notre objectif de recherche et notre expérimentation concernant :
Des difficultés mathématiques et instrumentales des élèves pendant la réalisation des tâches
Le processus d’instrumentation et d’instrumentalisation des élèves observés
L’exploitation des potentialités de Casyopée, en particulier de différents registres de représentations au cours et à l’issue de la genèse instrumentale.
Comme la séance 6 présente une situation géométrique dont la résolution demande aux élèves de profiter des caractéristiques de deux modules de Casyopée, nous nous limitons à cette dernière séance de la séquence expérimentale pour laquelle le problème et la
genèse instrumentale des élèves devraient permettre d’exploiter complètement les potentiels de Casyopée.
5.2 ANALYSE DE LA SEANCE 6