L’approche instrumentale exposée au chapitre 2 incite à penser que l’usage des artefacts ne sera pas neutre pour la conceptualisation des élèves car ils ont un effet sur le fonctionnement cognitif des utilisateurs. Nous cherchons ici à étudier les potentialités et les limites de Casyopée quant à l’apprentissage des fonctions au lycée. Nous nous intéressons aux possibles genèses instrumentales associées. Nous portons notre attention sur l’articulation et l’implication, dans ces genèses, entre le développement de connaissances mathématiques sur les fonctions et de connaissances sur Casyopée. Nous soulignons particulièrement la période de temps dont les élèves ont besoin pour considérer Casyopée comme un instrument pour leurs activités mathématiques sur les fonctions, en examinant les capacités clés de cet environnement comme éléments de leurs connaissances mathématiques sur les fonctions.
4.3.1 Potentialités
Nous revenons maintenant sur le problème de la figure 4.4. Pour ce type de problème, Casyopée peut fournir des aides spécifiques pour le résoudre :
moyens pour créer des figures géométriques dynamiques
des calculs géométriques pour exprimer des grandeurs qui peuvent être considérées comme variables dépendantes
possibilités de choisir une variable indépendante comme une distance ou une abscisse concernant des points libres, et de fournir des feedbacks sur ce choix de la variable
moyens d’observer des co-variations numériques entre des points et des calculs, ou entre une variable indépendante et un calcul
moyens d’exporter une dépendance fonctionnelle entre une variable choisie et un calcul dans la fenêtre symbolique afin d’obtenir une formule algébrique de la fonction
moyens pour traiter cette forme algébrique dans plusieurs registres.
Pour ce problème, nous pouvons trouver l’aire du triangle IMN en papier/crayon en utilisant la propriété des triangles semblables. Dans l’environnement Casyopée, les élèves peuvent résoudre le problème de façon plus flexible. Dans la fenêtre géométrique, les élèves peuvent construire la figure dynamique et puis créer un calcul géométrique exprimant l’aire du triangle IMN. Ils peuvent ensuite explorer la co-variation entre le point libre M et la valeur numérique de l’aire. Ils peuvent également choisir une grandeur concernant le point libre M, par exemple la distance OM, comme une variable et continuent à explorer la co-variation entre cette variable et l’aire du triangle IMN. Si cette co-variation est une dépendance fonctionnelle, on peut exporter cette dépendance dans la fenêtre symbolique de Casyopée pour obtenir une formule algébrique de la fonction.
Après avoir exporté une fonction dans la fenêtre symbolique, les élèves peuvent travailler sur les différents registres de représentation. Par exemple, ils peuvent faire des transformations algébriques de l’expression algébrique de la fonction dans le registre symbolique. Ils peuvent également explorer la représentation graphique de la fonction dans le registre graphique, ainsi qu’un tableau de valeurs de la fonction. Nous pensons qu’en travaillant dans le cadre géométrique, les élèves comprendront le problème et les objets concernés, et après avoir basculé vers le cadre algébrique, cette compréhension les aidera à donner du sens aux objets et traitements dans les différents registres.
Dans le cas d’un instrument pour travailler ou apprendre les mathématiques comme Casyopée, la genèse instrumentale concerne les connaissances mathématiques sur les fonctions et les connaissances sur les fonctionnalités de Casyopée. Artigue (2002) a déjà montré comment cette genèse peut être complexe, même dans le cas d’une tâche simple telle que cadrer une fonction dans une fenêtre graphique. Plus généralement, beaucoup de fonctionnalités puissantes des outils CAS ont comme contrepartie la complexité de la genèse instrumentale associée (Guin & Trouche, 1999). Nous sommes donc conscients que nous devrions prendre en compte les genèses des élèves lors de l’introduction de Casyopée en classe. De plus, Casyopée offre une multiplicité de représentations dans deux cadres et dans plusieurs registres. La compréhension et la manipulation de ces représentations concernent des connaissances mathématiques variées. Les élèves doivent être introduits progressivement à ces représentations en prenant en compte le développement de leurs connaissances mathématiques.
4.3.2 Difficultés et contraintes
Dans la perspective de l’approche instrumentale, nous souhaitons analyser avec soin l’articulation et l’imbrication entre le développement de connaissances mathématiques des élèves sur les fonctions et les connaissances sur Casyopée pendant la genèse instrumentale. Les expérimentations que nous conduirons en Terminale, les contraintes existantes dans le logiciel, les liens entre représentations, les gestes ou actions nécessaires pour créer et définir des fonctions à partir de grandeurs géométriques imposent une construction avancée de la genèse instrumentale chez les élèves.
Par exemple, la compréhension par les élèves des messages renvoyés par le logiciel lors d’un refus de création de fonctions à partir de grandeurs géométriques, ne peut être assurée que si l’élève dispose de connaissances suffisantes pour interpréter les informations données dans le message. Un refus de création de fonction peut par exemple provenir du fait que la grandeur pressentie comme image dépende, en réalité, non seulement de la grandeur variable supposée, mais également d’une seconde grandeur non identifiée par l’élève dans un premier temps. L’impossibilité d’exprimer de façon univoque la grandeur indépendante dans l’expression de la grandeur dépendante peut être une autre cause d’échec dans le calcul de la fonction.
L’appropriation des retours et réactions de l’environnement passe par une maîtrise de l’environnement en tant qu’instrument pour définir par exemple des gestes d’explorations numériques qui, en déplaçant les points libres sur la figure, vont permettre, en acte, de repérer le comportement de l’expression géométrique supposée dépendante ou les effets d’autres grandeurs sur celui-ci.
4.3.3 Spécificité de notre approche des fonctions
Comme nous l’avons présenté ci-dessus, Casyopée offre une variété des fonctionnalités et des représentations différentes. Dans l’environnement Casyopée, une dépendance fonctionnelle entre deux mesures ou grandeurs peut être représentée dans plusieurs cadres et registres différents : enactif-iconique, graphique, symbolique et numérique. Avec le type de tâche de modélisation fonctionnelle des situations géométriques, les élèves peuvent profiter des potentialités variées de Casyopée pour résoudre les problèmes donnés : explorer des co-variations et des dépendances géométriques entre grandeurs ou mesures dans le cadre géométrique ; modéliser ces relations de dépendances par fonctions mathématiques ; explorer leurs modèles algébriques dans le cadre algébrique avec plusieurs registres différents…
Notre approches’appuie d’abord sur les fonctions comme modèles de dépendance dans le cadre géométrique. La modélisation fonctionnelle permet ensuite de relier ce cadre aux autres cadres et représentations des fonctions. Nous pensons que les activités fondées sur l’étude des dépendances entre grandeurs ou mesures permettent aux élèves de comprendre les fonctions comme modèles de ces dépendances. Ces activités s’inscrivent dans les dialectiques « locale-globale » et « processus-objet » que nous avons présentées dans le chapitre 1.
Dans le cadre géométrique, les fonctions sont considérées comme des processus dynamiques en tant que co-variations entre grandeurs ou mesures. La modélisation fonctionnelle (l’action de choisir une variable et d’exporter une fonction) permet un passage d’une conception processus à une conception objet où la fonction est exprimée dans le cadre algébrique. Plus précisément, dans le cadre géométrique, les activités de type enactive-iconique avec Casyopée peuvent aider à développer la conception « processus » et à préparer un passage à la conception « objet » sur les fonctions. Les fonctions sont considérées ici comme des processus dynamiques ou des co-variations entre grandeurs ou mesures. Par exemple, dans l’exemple ci-dessus, les élèves peuvent explorer le processus de co-variation entre la valeur du segment
oM
et celle du calcul d’aire 12IMMN en faisant bouger le point mobile M. Lorsque les élèves choisissent une variable, par exemple la distance oM, Casyopée donne une représentation symbolique de la dépendance fonctionnelle exprimée par la formule pré-algébrique
MN IM
oM
2 1
comme nécessaire et préparant le passage d’une conception « processus » à une conception « objet » où la fonction est exprimée par une formule symbolique.
L’exportation de la fonction dans la fenêtre algébrique de Casyopée correspond à un changement du cadre géométrique au cadre algébrique. Dans ce cadre, une fonction peut être représentée dans trois différents registres : symbolique, graphique et numérique. Le registre symbolique de Casyopée encourage plutôt la conception « objet » des fonctions, tout en conservant des écritures qui gardent la trace d’une conception « processus ». Les élèves peuvent travailler sur l’expression algébrique de la fonction en la factorisant, développant ou calculant sa dérivée. Dans le registre graphique, les activités avec Casyopée peuvent encourager à la fois les deux conceptions « processus » et « objet ». Une conception « processus » est liée à la considération de la correspondance numérique entre abscisse et ordonnée d’un point mobile sur le graphe. Une conception « objet » considère des propriétés globales du graphe de la fonction. Nous nous attendons à ce que les élèves considèrent une grande variété d’usage des représentations, les comprennent et fassent des liens entre elles.
Avec la possibilité de relier les deux fenêtres géométrique et algébrique, nous pensons que les activités avec Casyopée peuvent aider à développer ces deux conceptions sur les fonctions et à favoriser les passages entre eux.
Conclusion
Nous avons présenté dans ce chapitre les spécificités de l’environnement Casyopée et avons discuté les problèmes concernant le contexte et des cadres théoriques dans la conception du logiciel. Nous avons analysé les objets et registres impliqués dans le type de tâche de modélisation fonctionnelle des situations géométriques et la mise en œuvre de la typologie d’activités dans l’environnement Casyopée. Cette analyse nous permis de dégager a priori les problèmes d’instrumentation et d’instrumentalisation de Casyopée. Elle nous a également aidés à préciser notre approche pour l’enseignement et l’apprentissage des fonctions au lycée.
Chapitre 5
Expérimentation pendant l’année de
Première S
Introduction
Ce chapitre est consacré à la présentation de la séquence expérimentale en classes de Première S au sein d’un projet Européen que nous allons présenter. A travers l’analyse des séances d’observation nous en ressortirons des premiers résultats et formulerons les questions pour une seconde expérimentation ciblée sur notre projet de thèse.
5.1 PRESENTATION DE LA SEQUENCE EXPERIMENTALE