5.2 ANALYSE DE LA SEANCE 6
5.2.2 Analyse a priori
a. Les tâches
Construction de la figure :
Dans les cinq séances précédentes de la séquence expérimentale, ces élèves se sont déjà familiarisés avec la notion de paramètre ainsi qu’avec les capacités correspondantes de Casyopée. De plus, au niveau de la classe de Première, les élèves devraient s’attaquer aux problèmes génériques qui vont au-delà des cas particuliers. Nous avons donc décidé de considérer le triangle générique ABC par le moyen de paramètres, c'est-à-dire que les élèves commenceront donc à travailler avec les trois sommets A, B, C déjà créés comme ci-dessus du triangle générique ABC.
Il est demandé aux élèves de charger le fichier Casyopée figinit.CAS dans lequel les trois paramètres a, b, c et les points A a( ;0), B(0; )b , C c( ;0) avaient été déjà créés et de construire la figure dynamique. Dans la fenêtre de géométrique dynamique, les élèves devraient construire les segments [OA], [AB], [BC], [OC], le point M libre sur le segment [OA], et finalement les sommets du rectangle MNPQ.
Figure 5.2. La figure construite dans la fenêtre de géométrique dynamique de Casyopée
Pour cette tâche de construction de la figure, nous portons essentiellement notre attention sur les deux activités suivantes :
La construction du point libre M
La construction du rectangle MNPQ à partir du point libre M.
Dans ces deux activités, les élèves pourraient avoir du mal à distinguer entre points libres et points dépendants ou points libres et points quelconques. Par exemple, certains élèves pourraient créer un point M quelconque, non libre sur le segment [OA], dans le plan ou bien construire un rectangle MNPQ « mou » (au sens de Healy (2000)). La tâche proposée dispose d’un potentiel a-didactique. En effet, la rétroaction du logiciel sur la déformation de la figure lors d’un déplacement du point M aide les élèves à ajuster leurs constructions géométriques.
Aspect mathématique relatif à cette tâche :
Les propriétés parallèles et perpendiculaires des côtés d’un rectangle Aspects instrumentaux relatifs à cette tâche :
Outils de créer un point quelconque, un point libre sur un segment, …
Outil de déplacement des points libre
Rétroactions du logiciel sur la déformation de la figure dynamique.
Explorations et conjectures :
Après la construction de la figure, les élèves peuvent explorer la transformation de la figure en déplaçant le point libre M sur le segment [OA]. Ensuite, ils peuvent créer dans l’onglet « Mesures » (Fig. 4.3) un calcul géométrique de l’aire du rectangle MNPQ, par exemple MNMQ et explorer la co-variation entre la position du point libre M et l’aire du rectangle MNPQ. La valeur numérique du calcul sera dynamiquement affichée quand l’élève déplace le point libre. Grâce à cette exploration numérique, ils peuvent émettre des conjectures sur la valeur maximale de l’aire.
Aspect mathématique relatif à cette tâche :
Calcul d’aire d’un rectangle
Aspects instrumentaux relatifs à cette tâche :
Outil de créer un calcul géométrique
Modélisation fonctionnelle :
Ensuite, les élèves peuvent choisir une grandeur associée à M, par exemple la distance OM ou l’abscisse xM comme variable et puis explorer la co-variation entre la valeur numérique de l’aire et celle de cette variable. Si la grandeur choisie n’est pas appropriée, par exemple elle ne dépend d’aucun point libre, Casyopée donnera une rétroaction sur ce choix. Par contre, si cette co-variation est une dépendance fonctionnelle, c’est-à-dire si le calcul géométrique de l’aire dépend correctement de la variable, Casyopée fournira une
rétroaction sur la possibilité d’exporter cette dépendance fonctionnelle dans la fenêtre algébrique pour obtenir une formule algébrique de la fonction. Il donnera également une rétroaction sur la structure de cette formule algébrique. Casyopée calcule automatiquement le domaine de définition et l’expression algébrique de la fonction obtenue.
Aspects mathématiques relatifs à cette tâche :
Capacité de distinguer entre co-variations et dépendances fonctionnelles Aspects instrumentaux relatifs à cette tâche :
Les rétroactions du logiciel sur le choix de variable et sur l’exportation de la fonction.
Difficultés : il faut savoir où sont les boutons « Choisir une variable » et « Exporter une fonction » ; l’adaptation aux feedbacks de Casyopée.
Preuve algébrique :
Finalement, les élèves peuvent rédiger une preuve algébrique en papier/crayon avec l’aide de Casyopée. Ils peuvent utiliser les outils de Casyopée pour travailler sur l’expression algébrique de la fonction et trouver la solution.
Il est aussi important que les élèves considèrent la fonction dans le contexte géométrique. C’est dans cette intention que la fiche élève insiste également sur la visualisation géométrique après la preuve algébrique.
b. Co-variations et représentation des dépendances fonctionnelles
Dans le cadre géométrique, un élève peut explorer la variation de l’aire du rectangle
MNPQ de différentes façons correspondant aux différents registres de représentation. Par exemple, il peut observer la co-variation entre le point libre M et l’aire, en regardant les valeurs numériques du calcul géométrique de l’aire qui sont affichées dans le petit onglet « Mesures » :
Figure 5.3. Exploration des co-variations dans la fenêtre géométrique
Lorsque l’élève déplace le point M du point A à l’origine O, la valeur de l’aire augmente puis diminue, avec une valeur maximale lorsque M se situe au milieu de segment [OA]. Il est possible d’observer la co-variation entre une mesure concernant le point libre M, par exemple la distance OM ou l’abscisse de M, et l’aire. Nous nous attendons aussi des élèves une conjecture sur la position du point M pour laquelle la valeur de l’aire est maximale. Finalement, il peut choisir une variable indépendante concernant M et observer la dépendance fonctionnelle entre cette variable et l’aire.
Figure 5.4. Choix de la variable OM et le feedback correspondant
L’action d’exporter une fonction avec Casyopée correspond à un changement du cadre géométrique au cadre algébrique.
Figure 5.5. Forme d’exportation de la fonction
Dans ce cadre, un élève peut appliquer différentes techniques à la forme algébrique de la fonction pour trouver une preuve. La formule obtenue après l’exportation reflète la structure du calcul. Les élèves ont besoin de développer cette formule afin de reconnaître une fonction quadratique.
Figure 5.6. La fenêtre symbolique
Ensuite, ils peuvent utiliser leurs connaissances sur les fonctions pour prouver le maximum. Ce n’est pas peut-être facile pour eux car il y a trois paramètres concernés. Les élèves peuvent également utiliser le registre graphique dans ce cadre algébrique pour explorer la courbe et compléter les explorations qu’ils ont faites dans le cadre géométrique : la parabole est familière aux élèves et ils peuvent reconnaître la valeur optimale comme l’abscisse de son sommet ou encore, remarquer que le maximum est situé sur l’axe de symétrie et en déduire facilement son abscisse.
La situation est partiellement a-didactique. Dans chaque cadre, les élèves travaillent librement avec Casyopée et utilisent des feedbacks pour comprendre la situation. Néanmoins, quelques points clés comme le passage d’une co-variation vers une dépendance fonctionnelle est difficile pour les élèves de manière prévisible, bien que l’action correspondante (choisir une variable indépendante) a été présentée dans les séances précédentes. Le passage d’un cadre à un autre est également attendu comme difficile pour les élèves. Les actions correspondantes dans Casyopée (exporter une fonction dans la fenêtre symbolique, interpréter une valeur symbolique en termes de position d’un point) ont été présentées avant, mais c’était la première fois que les élèves devaient les faire eux-mêmes.
Les élèves peuvent choisir leur propre variable indépendante parmi différentes possibilités (par exemple la distance OM, l’abscisse de M, la distance AM, …) avec différentes conséquences pour la formule algébrique de la fonction. Ils peuvent les faire par eux-mêmes, mais quelques aides des enseignants peuvent être nécessaires dans ce cas-là. Il est également possible qu’ils changent leur choix de variable pour obtenir une formule algébrique plus simple pour la fonction.
Dans notre stratégie didactique, nous attendons une grande variété d’usage des registres reflétant des interactions libres des élèves avec la situation. Quelques élèves pourraient explorer longtemps des co-variations et avoir besoin des médiations d’enseignant pour passer à une dépendance fonctionnelle, tandis que des autres pourraient passer plus rapidement au cadre algébrique. Dans ce cadre, ils peuvent explorer des graphes ou travailler sur des expressions algébriques.