2.3.1 Cadres et registres de représentation sémiotique
La notion de cadre est introduite par Douady (1986). Elle utilise une définition des cadres qui inclut une forte dimension cognitive :
« Un cadre est constitué des objets d’une branche des mathématiques, des relations entre les objets, de leurs formulations éventuelles diverses et des images mentales associés à ces objets et ses relations. Ces images jouent un rôle essentiel dans le fonctionnement comme outils, des objets du cadre. Deux cadres peuvent comporter les mêmes objets et différer par les images mentales et la problématique développée ».
Ainsi la notion de cadre est à rattacher à une théorie mathématique. Nous distinguons donc les cadres géométriques, algébriques, numériques. Lorsque les élèves résolvent un problème, ils peuvent considérer ce problème dans différents cadres. Les changements de cadre jouent un rôle moteur : la traduction dans un autre cadre fait émerger de nouvelles questions, apporte de nouveaux outils, provoque des rééquilibrations et donc la construction de « nouveau » à partir de « l’ancien ». Passer d’un cadre à l’autre est important pour que les élèves progressent et que leurs conceptions évoluent. Ils peuvent réaliser ces changements de cadre spontanément ou avec l’aide de l’enseignant.
La notion de registre de représentation sémiotique (en abrégé : registre) est introduite par Duval (1993). Cette notion est associée à l’hypothèse que la conceptualisation mathématique passe par la capacité d’identifier un concept dans diverses représentations sémiotiques et qu’elle nécessite un travail spécifique sur l’articulation de ces registres. Duval souligne qu'un objet mathématique est généralement perçu et traité dans plusieurs registres de représentation. Il distingue deux types de transformations des représentations sémiotiques : les traitements et les conversions. Un traitement est une transformation interne à l'intérieur d'un registre. Une conversion est une transformation de la représentation qui consiste à changer un registre de la représentation, sans modifier les objets eux-mêmes. Il est important que les élèves reconnaissent les mêmes objets mathématiques dans des registres différents et qu’ils puissent effectuer les deux traitements et des conversions.
La théorie de la représentation sémiotique de Duval donne des outils pour travailler essentiellement sur les registres « standards » (le registre graphique, le registre symbolique et le registre numérique). Mais, particulièrement lorsque le processus d’apprentissage a lieu en environnements technologiques, il est nécessaire de prendre en compte des gestes et la coordination entre gestes, langages, et registres « standards ». Les travaux du courant « embodied cognition » (Nemirovsky & Borba, 2004 ;Lakoff & Nunez, 2000) ont complété cette approche sémiotique en soulignant les activités perceptives et motrices (perceptual-motor activity). L’idée est que les processus d’apprentissage en environnements technologiques peuvent amener à créer un premier
niveau de conceptualisation des notions mathématiques (par exemple la vitesse, l’accélération…) basées sur la perception et la motricité. Arzarello (Arzarello et al. 2009) appelle « semiotic bundle » des gestes, des langages, des mouvements et leurs coordinations avec les registres « standards » pendant les processus d’enseignement et d’apprentissage.
2.3.2 Représentation de la notion de fonction dans différents registres
La fonction est un objet complexe et est appréhendée à travers différents registres de représentation. On distingue souvent quatre registres auxquels le concept de fonction conduit à faire appel : registre symbolique des formules, registre graphique des courbes, registre numérique des tables de valeurs, et registre du langage. Une fonction dans le registre numérique met en jeu la relation de correspondance et se représente par un tableau de valeurs. Dans le registre graphique, une fonction est représentée par une courbe dans le plan muni d’un repère. Le registre symbolique fournit comme représentation d’une fonction, l’expression algébrique qui permet de calculer l’image f(x)
pour tout x appartenant à l’ensemble de définition de f. Finalement, la représentation d’une fonction dans le registre du langage met en jeu les descriptions verbales des relations fonctionnelles et des processus de communication.
Du point de vue cognitif, la conceptualisation de fonctions requiert la rencontre et l’articulation de plusieurs registres de représentation afin de permettre un détachement nécessaire de l’objet de ses représentations. Les TICE peuvent donner des apports significatifs pour cette articulation grâce aux potentialités de relier dynamiquement et de façon interactive ces registres.
2.3.3 Discussion de la problématique du point de vue des aspects sémiotiques
Les aspects sémiotiques décrits ci-dessus, en particulier celui de Duval, seront utilisés pour présenter l’environnement Casyopée et pour l’analyse des activités des élèves. Comme nous l’avons dit dans le chapitre 1, la fonction est un concept complexe. Différents résultats de recherche ont montré que les conversions (les passages) entre registres de représentation de fonction sont difficiles pour une grande partie des élèves (Dagher, 1996 ; Hitt, 1998).
Le développement rapide des TICE, particulièrement des environnements numériques d’apprentissage offrant un grand nombre des capacités de représentation, peut faciliter l’appropriation de la notion de fonction. Avec un nouvel environnement logiciel offrant multiples représentations des fonctions comme Casyopée (voir le détail dans le chapitre 4), nous nous posons des questions générales : comment exploiter ces fonctionnalités variées de représentation afin de développer une compréhension des élèves d’une dépendance fonctionnelle ? Comment concevoir des situations d’apprentissage et des tâches données aux élèves pour faciliter les traitements et les conversions entre registres ? Une approche sémiotique décrite ci-dessus nous fournit les éléments théoriques
permettant d’éclairer les potentialités de multiples représentations offertes par Casyopée et de comprendre comment Casyopée peut encourager une compréhension flexible sur les fonctions.