Dans la totalité de ce manuscrit, le processus d’auto-guidage sera envisagé uniquement
dans des gaz rares, en l’occurence l’argon et le krypton. Outre le fait qu’ils sont transparents,
condition sine qua non pour facilement mener des expériences, ils sont également
relative-ment facilerelative-ment modélisables numériquerelative-ment, comme nous allons le voir plus loin dans ce
Chapitre. De plus, les gaz rares possèdent un potentiel d’ionisation très élevé, du fait que toutes
leurs couches électroniques sont remplies, les rendant ainsi particulièrement stables. Au
mo-ment de considérer le transport d’éclairemo-ments de l’ordre de grandeur de ceux mis en jeu lors de
la filamentation, ceci constitue leur avantage majeur. Pour de tels gaz, aucun dipôle permanent
n’existe.
La polarisationP correspond alors à la séparation des barycentres de charges liées positives
et négatives. Du fait de leurs masses relatives, les noyaux sont considérés comme immobiles
vis-à-vis des électrons, et la polarisation exprime ainsi une quantité proportionnelle à la position du
nuage électronique, lié à l’atome par l’attraction coulombienne, par rapport au noyau.
Pour des champs électromagnétiques relativement faibles par rapport au champ
coulom-bien, la position du nuage électronique suit en bonne approximation une loi linéaire en champ,
c’est-à-dire que les charges peuvent être considérées comme des oscillateurs harmoniques.
Ce-pendant, la position du nuage électronique dévie fortement de sa position d’équilibre pour de
fortes valeurs de champ électrique : l’anharmonicité de la réponse optique doit être prise en
compte. Observable primordiale pour rendre compte de la réponse optique du milieu, elle est
habituellement décrite dans le cadre de l’approximation du champ faible, qui permet
d’expri-mer la polarisation en termes perturbatifs, comme nous le verrons plus loin. Cette écriture n’est
donc valide que si le champ électrique extérieur ne perturbe pas trop le système. La
polarisa-tion peut ainsi s’écrire comme la somme d’une contribupolarisa-tion linéaireP
Let d’une contribution
non-linéaireP
NL:
P =P
L+P
NL(1.24)
Signalons que l’origine de la polarisation est, pour le cas considéré ici (i.e., les gaz rares),
pu-rement électronique, à la différence des molécules, pour lesquelles il faudrait considérer des
contributions rotationnelle et vibrationnelle.
Pour les besoins des différentes études menées lors de cette thèse, nous développons ici
deux cas de figures quant au traitement de la polarisation : celui habituellement utilisé, plus
simple car considérant la susceptibilité non-linéaire comme indépendante de la fréquence ; le
deuxième, plus compliqué car tenant compte d’une dépendance vis-à-vis de la fréquence, que
nous devrons utiliser au moment de traiter de la filamentation résonante.
Il est par ailleurs plus aisé de mener les calculs dans le domaine réciproque (fréquences)
que dans le domaine temporel. Notamment dans celui-ci, l’équivalent d’une dérivée dans le
domaine temporel n’est rien d’autre qu’une multiplication, plus facile à traiter. La définition de
˜
P(r,ω), la transformée de Fourier deP(r,t), est :
˜
P(r,ω)=
∞Z
−∞P(r,t) e
iωtd t (1.25)
La polarisation linéaire, exprimée dans le domaine des fréquences, est alors [14] :
˜
P
L(r,ω)=ǫ
0χ
(1)(ω) ˜E(r,ω) (1.26)
oùχ
(1)est le terme du premier ordre de la susceptibilité, relié à l’indice de réfractionndu milieu
par la relation suivante :
n(ω)=
q
lui-même relié au module du vecteur d’ondek:
k(ω)=n(ω)ω
c (1.28)
La polarisation non-linéaire, quant à elle, correspond à la somme des termes non-linéaires
du développement de Taylor de la polarisation vis-à-vis du champ. Les gaz rares,
monoato-miques, étant des milieux centro-symétriques, les termes d’ordres pairs s’annulent :
˜
P
NL(r,ω)=
∞X
q=1˜
P
(2q+1)(r,ω) (1.29)
2.2.1 Cas général
En régime perturbatif, la polarisation non-linéaire (1.29) peut être décrite par un
dévelop-pement de Taylor du champ électrique [14] :
P
NL(t)=ǫ
0 ∞X
q=1Z
..
Z
R
2q+1¡
t
1, ..,t
2q+1¢
2Y
q+1 m=1E(t−t
m)d t
1..d t
n(1.30)
oùR
2q+1¡
t
1, ..,t
2q+1¢
est la fonction réponse d’ordre 2q+1 du milieu. Pour des raisons de
cau-salité, cette fonction est nulle pour chaque temps "négatif". Dans le but de simplifier les
cal-culs, contentons-nous de traiter seulement le troisième ordre de la polarisation, i.e. de dire que
P
NL≃P
(3):
˜
P
NL(ω)=ǫ
0ZZZZ
R(t
1,t
2,t
3)E(t−t
1)E(t−t
2)E(t−t
3) e
iωtd t d t
1d t
2d t
3(1.31)
En passant par la transformée de Fourier du champ électrique, on obtient :
˜
P
NL(ω)=ǫ
0ZZZZÑ
R(t
1,t
2,t
3) ˜E(ω
1) ˜E(ω
2) ˜E(ω
3) e
−i[ω1(t−t1)+ω2(t−t2)+ω3(t−t3)]e
iωtdω
1dω
2dω
3d t d t
1d t
2d t
3(1.32)
On définit alors :
χ
(3)(ω
1,ω
2,ω
3)=
Ñ
R(t
1,t
2,t
3) e
i(ω1t1+ω2t2+ω3t3)d t
1d t
2d t
3(1.33)
En remarquant ensuite que l’on peut faire apparaître la distribution de Dirac :
δ(ω−ω
1−ω
2−ω
3)=
Z
e
−i(ω1+ω2+ω3)td t (1.34)
qui assure à cette occasion la conservation de l’énergie durant les processus de mélange de
fréquences, on arrive à :
˜
P
NL(ω)=ǫ
0Ñ
que l’on peut simplifier comme suit :
˜
P
NL(ω)=ǫ
0Ï
χ
(3)[ω
1,ω
2,ω−(ω
1+ω
2)] ˜E(ω
1) ˜E(ω
2) ˜E[ω−(ω
1+ω
2)]dω
1dω
2(1.36)
En supposant désormais que la réponse du milieu est instantanée (par rapport à la durée de
l’impulsion), la fonction réponseRpeut être ré-écrite comme une fonction Dirac. Cela a pour
conséquence queχ
(3)(ω
1,ω
2,ω
3) est invariant en fréquence. Ainsi, et en considérant à nouveau
tous les termes non-linéaires d’ordres impairs, la polarisation non-linéaire peut finalement être
calculée suivant :
P
NL(r,t)=ǫ
0X
q≥1