Présentation des modèles isofactoriels

Les aspects théoriques des modèles isofactoriels et du krigeage disjonctif sont principalement issus de Emery (2001b). On pourra également se référer à Matheron (1976), Armstrong and Matheron (1986a et 1986b), Lajaunie (1993), Rivoirard (1994) et Chilès and Delfiner (1999). Des informations complémentaires sur le modèle bigamma sont présentées par Emery (2005), et par Hu et Lantuejoul (1988) pour le modèle de Laguerre.

II.1. Krigeage disjonctif en modèle isofactoriel

L’objectif est ici l’estimation d’une fonction de la variable en un site fixé à partir des données disponibles . Le krigeage disjonctif de , noté , est défini comme l’estimateur optimal (au sens de la minimisation de l’erreur quadra-tique moyenne) parmi la classe des toutes les combinaisons linéaires de fonctions monovariables sur les données (Chapitre 4) :

C’est un objectif intermédiaire entre le krigeage, qui n’utilise que des fonctions linéaires des données, et l’espérance conditionnelle, qui constitue une seule fonction multivariée. La connais-sance des distributions bivariables de est suffisante pour obtenir cette estimation. La résolution des équations du krigeage disjonctif est grandement simplifiée dans le cas particulier, et pourtant relativement général, des modèles isofactoriels (le plus connu étant le modèle bi-gaussien).

La propriété principale d’un modèle isofactoriel est l’existence d’une famille de fonctions , appelées facteurs, formant une base orthonormée par rapport à la densité marginale de . Ainsi, toute transformation peut se décomposer sous la forme :

Les facteurs , de covariance , sont non corrélés : leur krigeage disjonctif s’identifie à leur krigeage simple, de la forme :

Chapitre 9 : Structuration des valeurs extrêmes

Par linéarité du krigeage disjonctif vis-à-vis de la quantité à estimer, il vient :

Le modèle isofactoriel est donc spécifié lorsque les covariances sont connues. A noter que les , et donc les fonctions , dépendent de .

II.2. Cas particulier des facteurs polynomiaux

Pour certains modèles isofactoriels, les facteurs sont des polynômes orthogonaux associés à la distribution marginale considérée : polynômes d’Hermite pour une loi de Gauss, polynômes de Laguerre pour une loi gamma, pour ne citer que les deux modèles les plus courants. est alors un polynôme de degré et les coefficients sont liés aux moments d’ordre ( de la distri-bution marginale. La construction de systèmes de polynômes orthogonaux est ainsi particulière-ment adaptée à l’utilisation de modèles isofactoriels grâce au développeparticulière-ment polynomial de l’anamorphose. Les sont les coefficients du développement polynomial.

Le modèle purement diffusif est celui pour lequel les covariances sont de la forme . Une fonction aléatoire suivant une loi spatiale gaussienne possède par conséquent une distribution bigaussienne et entre dans le cadre du modèle purement diffusif. De manière plus générale, les covariances peuvent être vues comme les moments d’ordre d’une variable aléatoire :

Le support de la distribution doit être inclus dans l’intervalle autorisé pour les valeurs de , à savoir [-1,1] pour la distribution marginale gaussienne et [0,1] pour la distribution marginale gamma.

II.3. Structuration des valeurs extrêmes en modèle bêta

A partir de l’expression générale des covariances des facteurs, on retrouve le modèle purement diffusif avec une distribution concentrée sur la seule valeur : . Lorsque augmente, les coefficients tendent vers un effet de pépite.

Lorsque la distribution est concentrée sur les valeurs 0 et 1, avec des probabilités respecti-vement et , alors . Tous les facteurs ont la même covariance, à l’exception de l’ordre 0 pour lequel . C’est le modèle mosaïque.

Les deux cas particuliers présentés constituent les deux situations extrêmes : il y a déstructu-ration totale des valeurs extrêmes dans le modèle purement diffusif alors que, dans le modèle mosaïque, il n’y a aucune déstructuration.

Le modèle bêta permet de décrire des situations intermédiaires de structuration des valeurs extrêmes. Il consiste en un mélange de tous les modèles purs à coefficient de corrélation positif.

Plus précisément, la distribution suit une loi bêta de paramètres et , où est un paramètre positif. Les covariances s’écrivent alors sous la forme :

où est la fonction eulérienne gamma qui interpole la fonction factorielle.

A titre d’illustration, la Figure 82 présente, pour différentes valeurs du paramètre , la cova-riance du dixième facteur lorsque est une covariance exponentielle de palier unité et de por-tée 8 m. Le modèle mosaïque correspond à et le modèle purement diffusif est obtenu lors-que tend vers l’infini. Le modèle bêta permet donc une évolution continue entre ces deux bornes, modélisant ainsi la plus ou moins forte structuration des valeurs extrêmes.

Figure 82 : Covariance du dixième facteur pour différentes valeurs du paramètre . Les valeurs extrêmes, 0 et + , correspondent respectivement au modèle mosaïque et au modèle purement diffusif. , covariance du premier facteur, est une covariance exponentielle de portée 8 m.

Avec ce modèle bêta, l’inférence du paramètre est possible par la comparaison du mado-gramme et du variomado-gramme normés (respectivement et ) qui sont liés par la relation :

La Figure 83 présente le graphe de en fonction de pour différentes valeurs du paramètre . Pour les extrema du paramètre, 0 et + , on retrouve respectivement le modèle mosaïque et le modèle purement diffusif.

Chapitre 9 : Structuration des valeurs extrêmes

Figure 83 : Lien entre madogramme et variogramme normés en modèle bêta pour différentes valeurs du paramètre . Les bornes, 0 et + , correspondent respectivement au modèle mosaïque (lien proportionnel) et au modèle purement diffusif (lien en racine carrée).

II.4. Apports des modèles isofactoriels

L’utilisation des modèles isofactoriels ne se limite pas au krigeage disjonctif. La connaissance des distributions bivariables ponctuelles est une information riche qui permet l’estimation de grandeurs plus sophistiquées.

En particulier, la problématique du changement de support vise à estimer des grandeurs sur des blocs à partir de mesures ou d’échantillons ponctuels : distribution locale des valeurs des blocs, activité moyenne au-dessus d’un seuil, proportion de blocs dépassant un seuil fixé, etc. Un certain nombre de modèles isofactoriels permettent ainsi de répondre à cette problématique de changement de support. Ils sont notamment fondés sur la distribution gaussienne, avec le très répandu modèle gaussien discret, ou sur la distribution gamma (Chilès and Delfiner, 1999). Ils supposent que les distributions de points, de blocs ainsi que la distribution entre points et blocs suivent des lois isofactorielles. Ils nécessitent de déterminer la fonction d’anamorphose des blocs à partir de celle des points et d’un coefficient de changement de support. Ceci est obtenu en utilisant la relation de Cartier pour une position randomisée dans le bloc . Des hypothèses et des choix sont nécessaires pour expliciter les fonctions de covariance des différents ordres du développement polynomial, en particulier avec l’utilisation d’un modèle bêta. Cela permet finalement de réaliser le krigeage disjonctif des blocs.

Enfin, il est possible d’obtenir des simulations conditionnelles pour des fonctions aléatoires non gaussiennes, notamment par l’utilisation des simulations séquentielles isofactorielles (Emery, 2001b). Elles se basent, par analogie avec l’espérance conditionnelle, sur l’utilisation de la

pseu-do-densité du krigeage disjonctif :

Sous certaines conditions, comparables à celles mises en place pour le changement de sup-port, la méthode séquentielle isofactorielle permet la simulation directe des valeurs des blocs sans passer par des simulations ponctuelles.