Modélisation conjointe aux points communs de données

Les nombres de mesures surfaciques et de mesures massiques sont relativement différents, respectivement de 1617 et 56. De plus, les prélèvements massiques investiguent plus particuliè-rement des zones où les niveaux d’activité sont variables ou élevés. Les mesures surfaciques ont une couverture homogène de l’ensemble de l’atelier. Il est donc nécessaire d’analyser cette diffé-rence d’information, notamment en ce qui concerne la modélisation des distributions par anamor-phose et l’effet sur les cartographies et les estimations.

En effet, l’anamorphose sur les mesures surfaciques peut être réalisée soit sur l’ensemble des données disponibles, soit sur les seuls points communs avec les prélèvements. Par commodité,

nous appellerons la première « l’anamorphose complète » et la seconde « l’anamorphose ré-duite ». La Figure 79 présente le nuage de corrélation entre les transformées gaussiennes complète ou réduite des mesures surfaciques. L’incidence sur l’estimation par krigeage simple sur la trans-formée gaussienne des données massiques est également présentée.

Figure 79 : Nuages de corrélation entre les transformées gaussiennes des mesures surfaciques (à gauche) et les estimations par krigeage de la transformée gaussienne des activités massiques (à droite) selon que l’anamorphose sur les mesures surfaciques est réalisée sur l’ensemble des données (abscisses) ou réduite aux points communs avec les données massiques (ordonnées).

Le nuage de corrélation des transformées gaussiennes des mesures montre que l’anamorphose réduite conduit à des valeurs gaussiennes plus faibles que l’anamorphose complète. Du fait du nombre réduit, les valeurs extrêmes sont également écrêtées aux valeurs gaussiennes maximale et minimale rencontrées aux points communs (en rouge sur la Figure 79). Quant à la sous-estimation, elle est relativement constante sur la gamme des valeurs, donc sans effet sur les résul-tats de cokrigeage, sauf pour les valeurs les plus faibles où un décrochage est visible sur les deux graphiques (en bleu).

L’incidence sur les estimations de terme source est nulle : de légères modifications des va-leurs faibles sont négligeables par rapport aux contributions des vava-leurs fortes qui restent inchan-gées. L’incidence sur les probabilités de dépassement de seuil est quasiment nulle également, sauf pour des valeurs de seuil extrêmement faibles. Cependant, l’échantillonnage par prélèvement em-ployé n’a pas été dimensionné pour investiguer avec précision les niveaux de contamination très faibles. Les incertitudes proviennent alors autant du problème des points communs entre mesures surfaciques et données massiques que de l’échantillonnage insuffisant dans les zones faibles.

Chapitre 9

Structuration des valeurs extrêmes

Les mesures surfaciques de l’atelier D des ATUE ont jusqu’alors été transformées par anamorphose gaussienne pour pouvoir utiliser des techniques de géostatistique non linéaire. Les polynômes d’Hermite permettent de réaliser le krigeage disjonctif des données sur la base du modèle isofactoriel associé.

Cependant, l’hypothèse du modèle bi-gaussien classique n’est pas vérifiée avec ces données : il existe une structuration des valeurs extrêmes. Les modèles isofactoriels hermitien et de Laguerre permettent alors une évolution continue du lien bivariable, du modèle mosaïque au modèle purement diffusif. Le paramètre de structuration des valeurs extrêmes est alors estimé en modèle bêta. Les résultats obtenus avec ce modèle isofactoriel sont comparés à ceux obtenus sous l’hypothèse bigaussienne.

I. Vérification de l’hypothèse multigaussienne

I.1. Rappel du contexte

Jusqu’à présent, les cartographies et les estimations ont été obtenues sous l’hypothèse d’une distribution multigaussienne de la transformée gaussienne de telle que

, étant la fonction d’anamorphose. Les données sont transformées en données . Ce cadre est notamment requis pour l’utilisation de l’espérance conditionnelle ainsi que pour la réalisation de certaines simulations géostatistiques. Par construction, la transformation par anamorphose permet d’obtenir une distribution marginale gaussienne (Chapitre 3). Cela ne garan-tit toutefois pas que la loi spatiale (multivariable) soit également gaussienne, c’est-à-dire que toute combinaison linéaire de ses valeurs suive une loi gaussienne.

La vérification du caractère multigaussien est extrêmement exigeante et difficile. Cette hypo-thèse requiert la connaissance de l’ensemble des lois de distribution multivariable, qui doivent donc être gaussiennes. Dans la pratique, cette vérification est impossible à réaliser à partir des

seules données expérimentales et l’on se contente généralement de confirmer le caractère gaussien des lois bivariables.

I.2. Tests de l’hypothèse bigaussienne

La loi bivariable décrit la distribution des couples de valeurs . Le modèle bigaussien suppose que toute combinaison linéaire de et suit encore une loi gaus-sienne. La densité de probabilité conjointe de et est caractérisée par leur coeffi-cient de corrélation linéaire et s’écrit :

Plusieurs tests permettent de vérifier la validité de cette hypothèse (Emery, 2001b).

Utilisation des nuages de corrélation différée

Sous l’hypothèse de binormalité, les courbes d’isodensité du couple sont des ellipses concentriques. Elles sont indépendantes de la position considérée du fait de l’hypothèse de stationnarité. Ainsi, le nuage de corrélation différée entre et doit avoir une forme elliptique, dont la forme exacte dépend de h.

Lorsque h est « grand » (par rapport à la structure spatiale du phénomène), les courbes d’isodensité sont circulaires du fait de l’absence de corrélation à des distances importantes. Lors-que h est « petit », le nuage de corrélation se resserre autour de la première bissectrice puis-qu’alors est de mieux en mieux corrélé avec . C’est ce que semblent indiquer les nuages de corrélation différée obtenus pour la transformée gaussienne des mesures surfaciques (Figure 80).

Figure 80 : Nuages de corrélation différée pour une distance de 0,66 m (à gauche) et de 5 m (à droite).

L’utilisation des nuages de corrélation différée pour de nombreuses distances permet le test le plus complet, mais est aussi le plus difficile à réaliser, pour vérifier le caractère bigaussien de la variable. En effet, ce travail fastidieux se heurte à une décision plutôt qualitative quant au