Analyse variographique conjointe

Construction du variogramme croisé

Pour réaliser une estimation par cokrigeage (la version multivariable du krigeage), la connais-sance des covariances (ou des variogrammes) de chacune des variables n’est plus suffisante. La covariance croisée est alors définie par généralisation de la stationnarité de second ordre intro-duite dans le cas monovariable :

Le variogramme croisé vient alors compléter l’analyse variographique en s’intéressant à leur structure spatiale conjointe. Dans le cadre de l’hypothèse intrinsèque conjointe², il s’exprime sous la forme :

2 L’hypothèse intrinsèque conjointe est l’équivalent de l’hypothèse intrinsèque étendue au cadre multi-variable. Elle porte sur la stationnarité conjointe des accroissements des fonctions aléatoires. Les vario-grammes simples et croisés ne dépendent que du paramètre , distance entre les couples de points.

Contrairement à un variogramme simple, le variogramme croisé peut prendre des valeurs né-gatives dans le cas de variables anti-corrélées. Si le variogramme croisé est identiquement nul, les variables ne sont pas spatialement corrélées. Remarquons également que la définition donnée pour le variogramme croisé fonctionne également pour les variables simples, correspon-dant par exemple au variogramme simple de la première variable.

Le variogramme croisé correspond à la partie paire de la covariance croisée.

La suite de l’analyse variographique des données reste inchangée : nuée variographique, moyenne de la variabilité par classe de distance pour calculer le variogramme expérimental, etc.

Analyse variographique

La dissymétrie des données, tant massiques que surfaciques, conduit à travailler sur leurs transformées gaussiennes. Ici, ces transformations sont réalisées sur les 56 points de prélèvement et sur les 1617 mesures surfaciques. La comparaison avec une anamorphose des mesures surfa-ciques uniquement aux 56 points communs avec les points de prélèvement est présentée au Cha-pitre 8 §III.4.

La Figure 46 présente l’analyse variographique bivariable entre les deux grandeurs d’étude.

Elle reprend les variogrammes simples des mesures surfaciques et des activités massiques en ura-nium (prélèvements) ainsi que le variogramme croisé entre les deux grandeurs.

Figure 46 : Analyse variographique conjointe des transformées gaussiennes des activités massiques en ura-nium et des mesures surfaciques du rayonnement . En bleu, ajustement retenu. Indication du nombre de paires.

Chapitre 5 : Approche multivariable

Le variogramme des mesures est similaire à celui obtenu lors de l’analyse variographique du Chapitre 3. Le pas de calcul est un peu plus important compte tenu de la plus faible densité d’échantillonnage des points de prélèvement. En revanche, le variogramme expérimental des acti-vités massiques en uranium paraît beaucoup moins robuste : l’allure est plus oscillante et le nombre de couples de données qui composent chaque point du variogramme expérimental est relativement faible. L’information sur la variabilité pour une distance de 66 cm est obtenue grâce aux quelques points de sondages plus rapprochés (croix de sondages) qui contribuent également au second point expérimental aux alentours de 2 m.

Le variogramme croisé entre les deux grandeurs possède à peu près les mêmes caractéris-tiques que le variogramme simple des niveaux en uranium (allure, nombre de couples de points…). Il est bien positif, ce qui indique que les variables sont corrélées positivement. Globa-lement, cette analyse variographique conjointe montre que les grandeurs, ainsi que leur corréla-tion spatiale, possèdent la même allure variographique. Il va donc être intéressant et profitable de s’inspirer de la structure spatiale observée sur la donnée plus densément renseignée.

Modélisation : Modèle linéaire de corégionalisation

Les variogrammes simples et croisés d’un ensemble de fonctions aléatoires ne peuvent être modélisés indépendamment. La matrice des variogrammes simples et croisés est symétrique et doit être de type positif. En particulier, l’inégalité de Cauchy-Schwarz doit être respectée :

Pour respecter ces différentes contraintes, le modèle linéaire de corégionalisation est très sou-vent employé. Il généralise la superposition des structures élémentaires vue dans le cas monova-riable. Il impose que les variogrammes simples et croisés soient des combinaisons linéaires des mêmes structures symétriques de base :

est la matrice des variogrammes simples (en remarquant que ) et croisés. Les sont les matrices de corégionalisation qui sont les matrices des paliers des différentes structures de base. devant être une matrice symétrique de type positif pour tout , on impose dans le modèle linéaire de corégionalisation (condition suffisante) que chacune des matrices de corégionalisation soit symétrique de type positif.

Dans notre cas de deux variables, les paliers doivent respecter l’inégalité : Cette condition, toujours nécessaire, n’est suffisante que dans le cas bivariable.

Dans la pratique, les structures de base sont choisies et ajustées sur les variogrammes simples et en tenant compte de la connaissance du phénomène étudié. Le variogramme croisé est alors ajusté à partir des structures de base retenues en utilisant pour chacune d’elles, un palier vérifiant l’inégalité de Cauchy-Schwarz précédente. Sur le variogramme croisé de la Figure 46, l’enveloppe maximale du modèle linéaire de corégionalisation est représentée visuellement en tirets bleus. La modélisation retenue est très proche de cette enveloppe de corrélation maximale, ce qui traduit le lien spatial relativement fort entre les deux grandeurs.

Pour être complet, le modèle linaire de corégionalisation implique que les covariances croi-sées soient des fonctions paires. Sous cette simplification, covariance croisée et variogramme croisé sont liés par la même relation que dans le cas monovariable.