1.3. La relation de subalternation selon l’objet et la méthode des mathématiques
1.3.4 Les possibles
Quant aux mathématiques, si on leur ôte la possibilité de la quantité, il semble qu’on leur ôte le fondement, sur lequel elles établissent leurs démonstrations et qu’elles ne peuvent
1 L’être de raison pourrait être considéré comme réel en tant qu’il est conçu objectivement par l’entendement [esse objectivum] ou en tant qu’il est connu [esse cognitum]. Mais, d’après Doyle, il ne peut être connu que d’une seule façon, à savoir une connaissance objective et non pas formelle. Suarez effectue une division des être des raisons en (i) négations, (ii) privations et (iii) relations de raisons avec leurs subdivisions respectives, distinctions qui ne sont pas incorporées dans les discours de Mersenne. Cf. John P. DOYLE, «Suarez on Beings of Reason and Truth»; Vivarium, 25, 1, 1987, p. 53.
2 Cependant, Mersenne, à la différence de Suarez, ne semble pas attribuer à l’être de raison un caractère fictif.
3 Et c’est dans ce sens que Mersenne signale, plus tard, l’utilité des mathématiques pour la physique. Cf. MERSENNE, Questions inouïes, Question XXIX, pp. 128 sqq.
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tout au plus user que de la moindre démonstration qu’on appelle a posteriori, quoique l’on puisse dire qu’il n’est pas nécessaire que leur sujet ou leur objet soit possible d’autant qu’elles peuvent procéder conditionnellement et conclure absolument : par exemple, encore qu’il eut point de quantité possible, les Mathématiciens peuvent dire, s’il était
possible de faire un triangle rectangle, c’est chose assurée que l’hypoténuse ou la soutendante de l’angle droit serait un carré égal aux carrés des deux autres côtés1.
Quand Mersenne affirme qu’« il n’est pas nécessaire que leur sujet ou leur objet soit possible », il interprète sans doute cette possibilité en termes d’existence réelle, matérielle ou sensible du triangle rectangle. Dans l’exemple du raisonnement du mathématicien, la vérité de sa conclusion semble dépendre de sa possibilité, dans la mesure où elle doit être conforme à la réalité. En effet, Mersenne soutient qu’il n’est pas nécessaire que l’objet des mathématiques « soit possible » et ajoute « s’il était possible de faire un triangle rectangle », les mathématiciens pourraient arriver à certaines conclusions véritables. Or pourrait-on associer le caractère conditionnel des mathématiques à une procédure hypothétique ? Les mathématiques perdraient-elles dans cette association la capacité de certitude dans leurs démonstrations ? Mersenne différencie les notions de l’hypothétique et du conditionné dans L’impiété des déistes où il s’agit de discuter à propos de l’action extérieure de Dieu et de déterminer sa nature « car elle peut être conditionnelle et hypothétique ou absolue2». De même, Aristote
évoque cette difficulté à propos de la géométrie :
Le géomètre ne fait pas non plus hypothèse de choses fausses, ainsi qu'on le prétend quelquefois. On dit en effet que bien qu'il ne faille jamais employer le faux, le géomètre pourtant en fait usage, en supposant qu'une ligne qui n'a pas un pied de long en a réellement
un, et qu'une ligne tracée est droite quand pourtant elle n'est pas droite. Mais on peut
répondre que le géomètre ne conclut rien de ce que cette ligne qu'il a tracée est de telle ou telle façon; il conclut seulement les choses dont ce sont là les représentations3.
Les procédures conditionnées des mathématiques trouvent leur origine dans leur indépendance de l’existence actuelle de leurs objets. Et, précisément parce qu’elles ne dépendent aucunement de l’existence matérielle de la ligne tracée de telle ou telle façon, comme signale Aristote, elles procèdent par des démonstrations dont les conclusions sont absolues. Autrement dit, les mathématiciens peuvent tirer des conclusions
1 Ibidem, Question XVIII, pp. 72-3. Nous soulignons. 2 Marin MERSENNE, L’impiété des déistes…, II, 18, p. 309 3 ARISTOTE, Analytiques seconds, 77a. Nous soulignons
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concernant la matière intelligible sans qu’elle soit pour autant manifestée dans la matière sensible. Ses notions ne seraient pas des hypothèses, mais elles seraient des êtres de raison, c’est-à-dire, des notions de l’entendement qui permettent de faire des démonstrations avec totale abstraction de l’existence actuelle. C’est pourquoi la vérité de l’hypothèse du monde comme une tromperie de Dieu1 ou comme une illusion fabriquée par des anges2, n’empêche pas, par conséquent, que l’entendement se serve
des principes des mathématiques qui, soulignons le encore une fois, peuvent tirer des conclusions absolues, faisant abstraction de l’existence réelle, matérielle et sensible de leurs objets3. En dépit des défauts de la connaissance sensible, les mathématiques
peuvent continuer à raisonner de la sorte : s’il était possible de faire un triangle isocèle avec deux côtés égaux, l’on pourrait assurer que ses angles opposés seront aussi égaux. La force de la méthode des démonstrations a priori et la conception de quantité intelligible en tant qu’objet des mathématiques qui fait abstraction de l’existence matérielle assurent leur certitude. Alors Mersenne conclut :
...l’on peut dire que la pure mathématique est une science de l’imagination ou de la pure intelligence, comme la Métaphysique qui ne se soucie pas d’autre objet que du possible
absolu, conditionné; par exemple, l’une de ses conclusions ou de ses maximes est que s’il y a quelque être réel qu’il ne peut être et ne pas être tout ensemble...4
1 Marin MERSENNE, Questions inouïes, Question XVIII, pp. 70-1.
2 « ...les Anges peuuent donner le mesme mouuement aux nerfs, et aux muscles que celuy qu’ils
reçoiuent ordinairement des objets exterieurs: ou s’ils ne peuuent suppleer la presence de ces objects, c’est chose asseuree que Dieu la peut suppleer, et consequemment que nous ne pouuons sçauoir infailliblement si les objects que nous pensons voir, par exemple, si les sons et les concerts sont presens... » Marin MERSENNE, Harmonie universelle, contenant la théorie et la pratique de la musique, où il est traité de la nature des sons, & des mouvements, des consonances, des dissonances, des genres, des modes, de la composition, de la voix, des chants, & de toutes sortes d'instruments harmoniques, 2
vols., Paris, Sébastien Cramoisy, 1636-1637, Traité de la voix, p. 81.
3 R. Lenoble, A. Crombie et C. Buccolini ont analysé l’hypothèse de la présence de la conception d’animaux-machines chez Mersenne, surtout en faisant allusion à certains passages du traité de la voix de l’Harmonie Universelle. En particulier, Buccolini concentre son attention sur l’hypothèse présentée par Mersenne concernant, d’une part, la possibilité d’un Dieu trompeur qui produit des espèces intentionneles de sorte que les individus n’apperçoivent pas la réalité mais seulement des apparences et, d’autre part, la possibilité pour des entités angéliques d’agir sur les nerfs pour modifier ou altérer les processus d’audition ou de perception visuelle. Une hypothèse qui n’a pour fin, d’après Buccolini, que de défendre la certitude des processus logico-mathématiques de l’entendement contre les arguments sceptiques et qui par là se différencie de l’hypothèse cartésienne. Nous reprenons ici les conclusions de Buccolini pour mettre en avant la méthode mathématique qui procède de manière conditionnelle et qui détermine ainsi leur propre objet, à savoir les possibles. Cf. Claudio BUCCOLINI, «‘Animale-macchina’ e ‘genio malignio’. Due idee non cartesiane nell’Harmonie Universelle de Mersenne» in Lexicom Philosophicum.
International journal for the history of texts and Ideas, 2, 2014, pp. 301-314.
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Dans cette conclusion, la notion du possible acquiert une signification complètement différente de celle utilisée précédemment, laquelle faisait allusion à l’existence réelle ou matérielle d’un triangle rectangle. D’après cette définition les mathématiques ne constitueraient pas une science d’êtres de raison, mais une science des possibles1. La possibilité est un concept défini par Aristote dans sa Métaphysique et qui subit différentes mutations quant à son acception, surtout à l’époque médiévale dans la pensée de Thomas d’Aquin, Henri de Gand, Duns Scot, Pierre Auriol et, plus tard, dans le milieu jésuite espagnol et au coeur de sa métaphysique, ayant comme représentant Francisco Suárez2. Pour s’en tenir à la référence aristotélicienne, il peut se
constater que, dans le livre V de la Métaphysique, la définition du possible est ancrée sur la notion de capacité ainsi que sur la conception de puissance et ses différents sens, à savoir comme principe ou capacité du mouvement ou du changement ou comme un principe ou capacité du changement vers un état particulier qui peut être plus ou moins favorable3. Dans le contexte du discours aristotélicien à propos de la puissance, le
possible ne peut pas enfreindre le principe de non contradiction ; principe qui, par conséquent, acquiert un caractère logico-ontologique : un homme a la capacité d’être assis ou d’être debout, mais non pas la capacité d’effectuer les deux mouvements en même temps, ce qui est impossible logiquement et effectivement, dans la réalité.
L’impuissance est la privation de la puissance, le manque d’un principe comme celui que nous venons de signaler, manque absolu, ou manque pour un être qui devrait naturellement le posséder, ou bien encore à l’époque où il serait dans sa nature de la posséder. (...) Impuissant, incapable se dit donc de l'impuissance de ce genre, mais, en un autre sens, c'est le possible et l'impossible. L'impossible est ce dont le contraire est nécessairement vrai ; par exemple, il est impossible que le rapport de la diagonale au côté du carré soit commensurable, car une telle proposition est fausse, et son contraire est non seulement vrai, mais encore nécessaire: la diagonale est incommensurable. Donc la commensurabilité non seulement est fausse, mais elle est nécessairement fausse. Le contraire de l'impossible, le possible, est ce dont le contraire n'est pas nécessairement
faux : par exemple, il est possible qu'un homme soit assis, car il n'est pas nécessairement
faux qu'il ne soit pas assis. Le possible, en un sens, comme il a été dit, signifie donc ce qui
1 Bien que Mersenne ne distingue pas explicitement ces des notions, mais plutôt celles du possible absolu et du possible conditionné.
2 Jean-François Courtine signale les filiations de la doctrine suarécienne du possible dans oeuvre Suárez
et le système de la métaphysique, Paris, Presses Universitaires de France, 1990, II, 5, pp. 298-303.
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n'est pas nécessairement faux ; en un autre sens, c'est ce de quoi il est vrai de dire qu'il est ; ou enfin, ce de quoi il est vrai de dire qu'il peut être1.
Mais comment peut-on entendre la possibilité comme objet des mathématiques chez Mersenne ? Examinons l’une des rares définitions du possible - mais non pas pour cela peu significative - présentée par Mersenne. Elle se trouve dans un discours du personnage du théologien dans L’impiété des déistes... qui répond au déiste à propos de la temporalité et la finitude de la science de Dieu. Dans ce contexte, le Minime énonce la définition du possible comme « tout ce qui n’enferme et ne contient aucune répugnance ou contradiction2». Or si l’objet des mathématiques et de la métaphysique
est le possible, d’après cette définition, ces deux sciences ont pour objet tout ce qui ne met pas en question le principe logique de non contradiction ; elles seraient, par conséquent, des sciences qui dépendent d’un principe logique ou plutôt logico- ontologique, comme nous l’avons signalé à propos du passage d’Aristote cité auparavant. En effet, dans La vérité des sciences..., Mersenne met sur un pied d’égalité les principes de la logique avec ceux de la métaphysique :
La Logique a également ses principes fortement assurés, car il est certain que le discours que l’on fait par la disposition des figures, qu’elle enseigne en premier lieu (qu’on appelle syllogismes de la première figure) est très bon et très certain: mais son grand principe est pareil à celui de la Métaphysique, savoir est que, ce qu’on dit d’une chose de laquelle on
parle est vrai ou faux et qu’il ne peut pas tout ensemble et selon une même considération être vrai et faux: car cependant qu’une chose est, il ne peut se faire qu’elle ne soit et
qu’elle soit un rien, cependant qu’elle est quelque chose...3
Ce principe logico-ontologique vient problématiser la différenciation des sciences par le partage de celui-ci. En effet, les mathématiques et la métaphysique partagent leur principe logique et leurs objets - les possibles - à certains égards. Or est- ce que le partage de ce principe suggère une subalternation des sciences mathématiques à la métaphysique ? Dans le Traité de l’harmonie universelle..., Mersenne fait référence à une quatrième espèce d’abstraction qui « s’élève par dessus de toute sorte de matière », y compris l’intelligible. Il s’agirait donc d’une abstraction qui ne prendrait pas en considération l’objet des mathématiques et par le biais de celle-ci vient se configurer,
1 Ibidem, 1019b 15-20.
2 Marin MERSENNE, L’impiété des déistes…, II, 16, p. 311. 3 Marin MERSENNE, La vérité des sciences..., I, p. 53
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d’après Mersenne, la particularité de l’objet de la métaphysique et sa distinction des mathématiques.
Or il y a autant de diverses abstractions et séparations intellectuelles, comme il y a de choses diverses à qui nous n’appliquons pas notre esprit, qu’on peut réduire à quatre points : premièrement on peut laisser la matière particulière; ce qui arrive quand on considère l’homme sans considérer l’individu (...) 2. quand on ne considère point le propre objet des sens, ou le propre sensible, comme si nous considérions l’homme, ou quelque autre chose, sans sa couleur, et sans les autres accidents qui lui sont propres et particuliers. 3. quand on laisse le sensible commun, c’est-à-dire les accidents qui conviennent aux autres choses (...) et quelques uns appellent cette abstraction imaginable. 4. quand on considère un sujet sans penser à aucune matière intelligible; car la troisième abstraction contemple la matière et la forme intelligible: mais la quatrième abstraction ne considère que la nature de chaque chose selon les degrés de l’être, et les propriétés métaphysiques1.
Le Minime définit la métaphysique comme une science qui « considère un sujet sans penser à aucune matière intelligible2», objet des mathématiques, et qui ne peut pas
enfreindre le principe logique de contradiction3. La distinction entre les mathématiques
et la métaphysique réside dans l’abstraction que fait cette dernière de la quantité intelligible. La définition ultérieure des mathématiques comme « science de l’imagination ou de la pure intelligence4 » peut expliquer également cette
différenciation en consonance avec les types d’abstractions présentées dans le Traité. Mais, nous considérons, particulièrement, que la différenciation établie par Mersenne entre possible absolu et possible conditionné sert de base et renforce cette distinction.
D’après Biancani, tel qu’il est repris par Mersenne, le possible peut exister dans l’entendement des mathématiciens en tant que nombres ou en tant que figures ; ne
1 Marin MERSENNE, Traité de l’harmonie universelle, I, Théorème I, p. 4. 2 Ibidem.
3 Il faut souligner que l’exposé concernant les différentes espèces d’abstraction de La vérité des sciences reçoit des succesives et ultérieures modification qui seront explicitées plus tard. A ce propos, N. Fabbri considère qu’à partir des années trente le Minime marque progressivement l’impossibilité de saisir l’essence divine, ce qui est en rupture avec le modèle du Traité. V. Carraud marque également les mutations du discours de Mersenne à propos des degrés d’abstraction qui résulte en une «césure définitive» entre la physique et les mathématiques et, plus tard, dans les Questions inouïes, en une identification de l’objet de la métaphysique et des mathématiques. Rappelons qu’une des thèses de Carraud consiste à affirmer l’identification entre les mathématiques et la théologie, faisant économie de la métaphysique. Cf. Natacha FABBRI, Cosmologia e armonia in Kepler e Mersenne : contrappunto a due
voci sul tema dell'Harmonice Mundi, Firenze, L. S. Olschki, 2003, pp. 152-154. V. CARRAUD,
«Mathématique et métaphysique: les sciences du possible» in Les études philosophiques, ½, 1994, pp. 145-159.
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s’agisant pas, par conséquent, d’une entité fictive produite par l’imagination; bien que cette faculté puisse intervenir ou pas dans le processus cognitif1. Autrement dit, Biancani considère que la quantité intelligible, terminée et finie, objet des mathématiques, est un esse possibile et interprète cette possibilité comme la capacité d’abstraction de la matière de la part de l’entendement du mathématicien2. La position de Biancani est conforme à ce qui, dans le Traité de l’harmonie universelle, permet de différencier l’objet des mathématiques et celui de la métaphysique, à savoir l’abstraction que les premières font de la réalité matérielle et l’abstraction que la deuxième fait de la quantité intelligible. Sous cette perspective, le possible conditionné comme objet des sciences mathématiques n’est pas déterminé par l’existence réelle des nombres et des figures planes ou solides dont elles font abstraction. En revanche, le caractère conditionné du possible mathématique peut être compris par son caractère relatif à un entendement fini et limité, dans la mesure où la conception du possible renvoie nécessairement à une capacité ou à une puissance3. L’entendement fini conçoit par le
biais du processus d’abstraction une quantité intelligible finie et terminée qui est l’objet des démonstrations mathématiques, mais il est incapable de mettre hors de sa considération la quantité intelligible.
En effet, le possible conditionné s’oppose à un possible absolu qui renvoie à la toute puissance divine, c’est-à-dire, à un entendement infini et éternel qui fait abstraction de la quantité intelligible :
...il faut faire distinction entre la puissance de Dieu et sa volonté (bien que toutes deux ne soient qu’une même essence divine), d’autant que leurs objets sont différents, car l’objet de la puissance divine est tout ce qui n’enferme et ne contient aucune répugnance ou contradiction (ce qu’on appelle possible) : mais l’objet de la volonté divine est le peu de
1 Ainsi, la définition du possible de Biancani se différencie de la conception d’être de raison chez Suarez. Dans la doctrine suarécienne, un possible pourrait être défini comme un être qui n’existe pas actuellement - et donc n’a pas été créé par Dieu - mais dont l’existence ne met en question le principe logique de non contradiction. La science divine ne peut pas avoir pour objet un être de raison car celui-ci peut être fictif, c’est-à-dire un produit de l’imagination, tandis que le possible est apte à exister sans générer aucune contradiction. Víctor SANZ, « Filosofía y teología en Francisco Suárez», Cuadernos del Anuario Filosófico», 241, Pamplona, 2011, pp. 89-10.
2 « Vitimo dici potest; haec entia esse possibilia, quis enim neget Angelum aut Deum, ea posse efficere ? Ad objectum autem scientiae fatis est esse possibile; scientia enim abstrahit ab existentia subjecti. » Giuseppe BIANCANI, De mathematicarum natura dissertatio, p. 7.
3 F. Courtine signale que la distinction thomiste entre deux types de possibles, à savoir le possible per
respectum ad adliqum potentiam et le possible absolutè, révèle que la toute puissance divine embrasse le
possible absolu dans la mesure où «le possible - telle ou telle possibilité dé-finie et déterminée - se dit par rapport à une puissance corrélative; le possible comme tel et dans son ensemble renvoie à la toute- puissance divine qui à son tour se dit eu égard au possible pris absolument…» J. F. COURTINE, Op. cit., pp. 303-306.
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chose lesquelles Dieu choisit, et qu’il veut créer entre une infinité de semblables, et de différentes, qu’il laisse dans la seule possibilité et dans la non-répugnance1.
La possibilité absolue, infinie et éternelle étudiée par la métaphysique est l’objet de l’entendement de Dieu et intervient dans la Création car « il n'est pas possible que