Politiques d’agr´ egation

(i.e. ∀b ∈ ALT, b  fa ssi a = b). Par cons´equent, si un couple d’alternatives appartient `a une relation de pr´ef´erence globale alors les formules associ´ees sont reli´ees par l’op´erateur lo-gique correspondant. De plus si deux formules repr´esentant chacune une unique alternative sont mises en relation par l’op´erateur logique ≥ alors les deux alternatives correspondantes appartiennent `a la relation de pr´ef´erence globale associ´ee. Formellement,

∀(a, b) ∈ ALT,² aGb ssi (ALT, , G )  fa ≥ f_b (7.6) Preuve imm´ediate en identifiant dans la d´efinition (7.1) les formules φ et ψ avec les formules f_a et f_b, et en remarquant de surcroˆıt que f_aet f_b ne sont pas ´equivalentes `a ⊥, que f_a+f_b ´

equivaut `a f<sub>a</sub> et f<sub>b</sub>+f<sub>a</sub> ´equivaut `a f_b (voir la propri´et´e(v)de la section 4.2.2).

7.4 Politiques d’agr´egation

7.4.1 Objectif

L’objectif dans ce chapitre est de proposer un moyen adapt´e au formalisme que nous avons pr´esent´e jusqu’ici afin de synth´etiser une relation binaire permettant de comparer n’importe quel couple d’alternatives (i.e. pouvoir dire, pour tout couple d’alternative (a,b), s’il est pr´ef´erable de choisir a `a b, s’il est pr´ef´erable de choisir b `a a ou s’il est indiff´erent de choisir a ou b). Il n’existe pas a priori de propri´et´es particuli`ere que cette relation doit v´erifier. En particulier elle n’est pas forc´ement transitive ni compl`ete et n’est donc pas un pr´e-ordre. Toutefois, il nous semble logique que cette relation soit synth´etis´ee `a partir des pr´ef´erences partielles ´etendues car intuitivement elle correspond `a l’agr´egation des points de vue de l’agent dans l’optique de la d´ecision. Plus pr´ecis´ement, le moyen que nous cherchons `

a proposer doit permettre de passer d’un ensemble de pr´ef´erences (les pr´ef´erences partielles ´

etendues) `a une unique pr´ef´erence (la pr´ef´erence globale). Informellement ceci peut se justifier car les premi`eres permettent d’exprimer des pr´ef´erences (i.e. des informations) tandis que la derni`ere permet d’effectuer un choix qui est par nature unique.

7.4.2 M´ethode envisageable

Dans notre approche, chaque point de vue est consid´er´e comme ind´ependant. Il peut donc ˆetre appr´ehend´e, dans une premi`ere approximation, comme un crit`ere de la th´eorie de l’utilit´e multi-crit`eres (voir la section2.2.2). Cependant, comme d’apr`es nos hypoth`eses les pr´ef´erences ne v´erifient pas l’hypoth`ese de cardinalit´e ni celle de compl´etude il n’est pas possible d’utiliser directement ce formalisme. Rappelons ici que le cadre d’application que nous envisageons est tel que (1) la relation de pr´ef´erence globale est g´en´eralement ni transitive, ni compl`ete et que (2) les crit`eres `a agr´eger ne sont pas forc´ement des pr´e-ordres (voir les remarques de la section 6.4.3).

7.4.3 M´ethode utilis´e

La pr´ef´erence globale G est obtenue par l’agr´egation de l’ensemble des pr´ef´erences partielles ´etendues. `A cet effet, les points de vue sont ici identifi´es aux agents d’un probl`eme de d´ecision multi-agents (Multi-Agent Decision Making en anglais). Par cons´equent, la s´emantique de l’op´erateur logique ≥ est relative `a une politique d’agr´egation donn´ee ; c’est-`

a-dire `a une fa¸con de regrouper l’ensemble des points de vue. En un sens, il y a autant de pr´ef´erences globales que de politiques d’agr´egation. Par exemple des politiques d’agr´egation possibles (et simples !) sont l’unanimit´e, la dominance et la dictature du point de vue j. Ces derni`eres peuvent ˆetre respectivement appr´ehend´ees intuitivement comme le vote `a l’unanimit´e, le vote refl´etant la pr´esence d’un « v´eritable argument » en mˆeme temps que l’absence de « v´eritable contre-argument » ainsi que la situation o`u le point de vue j d´etermine seul le r´esultat de l’agr´egation.

La politique unanimit´e : Une alternative a est pr´ef´er´ee (globalement) `a une alternative b (not´e aGAllb) suivant la politique unanimit´e si toutes les pr´ef´erences partielles ´etendues indiquent que l’alternative a est pr´ef´er´ee (de leurs points de vue respectif) `a b :

∀a, b ∈ ALT², aGAllb ssi ∀i, aG⁰_ib (7.7) La politique dominance : Une alternative a est pr´ef´er´ee (globalement) `a une alterna-tive b (not´e aG<sub>Dom</sub>b) suivant la politique dominance si elle est strictement pr´ef´er´ee pour au moins une pr´ef´erence partielle primitive et qu’aucune autre ne trouve b strictement pr´ef´er´ee `

a a :

∀a, b ∈ ALT², aGDomb ssi " ∃j, tel que aG0

jb∧¬(bG⁰_ja)^ ∀i, si i 6= j alors ¬bG0

ia∧¬(aG⁰_ib)^ #

(7.8)

La dominance traduit aussi une forme d’unanimit´e sur tous les points de vue. En effet, tous les points de vue indiquent entre autre que la seconde alternative n’est pas strictement pr´ef´er´ee `a la premi`ere. Elle est n´eanmoins un peu moins « stricte » que ne l’est la pr´ec´edente puisque qu’elle n´ecessite l’absence et non la pr´esence de pr´ef´erences.

La politique dictature du point de vue j : Une alternative a est pr´ef´er´ee (globale-ment) `a une alternative b (not´e aG_dictjb) suivant la politique dictature, si elle est pr´ef´er´ee pour la pr´ef´erence partielle primitive relative au point de vu j :

∀a, b ∈ ALT², aGdictjb ssi aG⁰_jb (7.9) Afin de r´ealiser la phase d’agr´egation, il existe bien entendu d’autres politiques d’´ elec-tions envisageable que les trois que nous venons de pr´esenter. Par exemple des politiques bas´ees sur la majorit´e (Condorcet) ou sur un ordonnancement des crit`eres (Bordas). Cha-cune d’elles donne a priori un r´esultat diff´erent des autres car elles ont peu de contraintes `a v´erifier. Nous avons propos´e d’utiliser des m´ethodes d’agr´egation ´el´ementaires car ce sont

Section 7.4 : Politiques d’agr´egation

celles qui viennent `a l’esprit imm´ediatement lorsque l’on est confront´e `a un probl`eme de vote. Il existe n´eanmoins une litt´erature abondante sur le sujet que ce soit dans les do-maines de la fusion d’informations (voir par exemple [Everaere et al., 2005]), de la th´eorie du choix social (d´ecision multi-agent) et de la d´ecision multi-crit`eres (voir en particulier [Vincke, 1989] pour une introduction). `A ce sujet le lecteur int´eress´e pourra regarder [ Du-bois and Prade, 2004] pour une discussion pointant sur les champs potentiels d’application des techniques d’agr´egation. En ce qui concerne les techniques utilis´ees dans le champs la d´ecision multi-crit`eres, les m´ethodes de « surclassement » pourrait ˆetre utilis´ees mais n´ecessitent une adaptation importante car ces derni`eres n´ecessitent de savoir comparer les diff´erents ensembles possibles de points de vue (ceci est r´ealis´e g´en´eralement par une pon-d´eration des diff´erents points de vue) et surtout supposent que les pr´ef´erences `a agr´eger v´erifient l’hypoth`ese de cardinalit´e ce qui n’est pas le cas ici. Elles suivent toutefois le mˆeme esprit : comparer les alternatives avec chaque pr´ef´erence partielle puis agr´eger les r´esultats. Enfin, les m´ethodes « it´eratives », tr`es pris´ees dans le domaine de l’aide `a la d´ecision (voir [Vincke, 1989] et [Bouyssou et al., 2002]), ne correspondent pas du tout `a notre approche car elles n´ecessitent une participation active d’un d´ecideur de r´ef´erence durant la d´ecision. En tout ´etat de cause, il en r´esulte `a chaque fois que la s´emantique de l’op´erateur ≥ peut-ˆetre exprim´ee en fonction des relations de pr´ef´erences partielles primitives. Pour ex-pliciter notre propos, nous pr´esentons ci-dessous la s´emantique de l’op´erateur ≥ pour deux politiques particuli`ere : les politiques All et Dictature j.

Pour la politique All, dire que la formule φ est pr´ef´er´ee `a la formule ψ via la pr´ef´erence globale signifie que les alternatives qui v´erifient les propri´et´es d´ecrites par la formule φ et, si cela est coh´erent, le contraire de celles d´ecrites par la formule ψ, sont pr´ef´er´ees (sans la restriction Ceteris Paribus), suivant tous les points de vue, aux alternatives qui v´erifient les propri´et´es d´ecrites par la formule ψ et, si cela est coh´erent, le contraire de celles d´ecrites par la formule φ : (ALT, , G ) _L3 φ ≥ ψ ssi • _{2 ¬φ} et 2 ¬ψ •       ∀(a,b) ∈ ALT², si a  φ+ψ b  ψ+φ

alors, pour tout i, aG⁰_ib       (7.10)

Pour la politique Dictature j, dire que la formule φ est pr´ef´er´ee `a la formule ψ via la pr´ef´erence globale signifie que les alternatives qui v´erifient les propri´et´es d´ecrites par la formule φ et, si cela est coh´erent, le contraire de celles d´ecrites par la formule ψ, sont pr´ef´er´ees (sans la restriction Ceteris Paribus), suivant le point de vue j, aux alternatives qui v´erifient les propri´et´es d´ecrites par la formule ψ et, si cela est coh´erent, le contraire de

celles d´ecrites par la formule φ. (ALT, , G ) _L3 φ ≥ ψ ssi • _{2 ¬φ} et 2 ¬ψ •       ∀(a,b) ∈ ALT2, si a  φ+ψ b  ψ+φ alors aG⁰_jb       (7.11)