∃(φ,ψ) ∈L2 tels que : • (ALT, , G ) L2 φ ≥iψ • a φ+ψ • b ψ+φ alors aGi0b (6.10)
6.3.4 Corollaire 2
D’apr`es la d´efinition (6.7), les formules φ ≥iψ et φ+ψ ≥iψ+φ ont le mˆeme sens : (ALT, , G ) L2 φ ≥iψ si et seulement (ALT, , G ) L2 φ+ψ ≥iψ+φ (6.11) On prouve que les formules φ ≥iψ et φ+ψ ≥iψ+φ ont le mˆeme sens en rempla¸cant dans la d´efinition s´emantique (6.7) de l’op´erateur de pr´ef´erence partielle ´etendue la formule φ par φ+ψ et la formule ψ par ψ+φ, et en remarquant que [φ+ψ]+[ψ+φ] est ´equivalent `a φ+ψ, et que [ψ+φ]+[φ+ψ] est ´equivalent `a ψ+φ et que de surcroˆıt ψ+φ ⇒ ψ et φ+ψ ⇒ φ.
6.3.5 Lien entre l’op´erateur ≥
iet la relation G
0iComme ´enonc´e dans la section (4.3.1), `a chaque alternative a de ALT est associ´ee une formule fa de L telle que pour chaque formule close α de L , de fa¸con exclusive, soit fa
subsume α, soit fa subsume ¬α et telle que seule l’alternative a est un mod`ele de cette formule (i.e. ∀b ∈ ALT, b fa ssi a = b). Par cons´equent, si un couple d’alternatives appartient `a une relation de pr´ef´erence partielle ´etendue alors les formules associ´ees sont reli´ees par l’op´erateur logique correspondant. De plus si deux formules repr´esentant chacune une unique alternative sont mises en relation par l’op´erateur logique ≥i alors les deux alternatives correspondantes appartiennent `a la relation de pr´ef´erence partielle ´etendue associ´ee. Formellement,
∀(a, b) ∈ ALT,2 aG0ib ssi (ALT, , G ) L2 fa≥ifb (6.12) Preuve imm´ediate en identifiant dans la d´efinition (6.7) les formules φ et ψ avec les formules fa et fb, et en remarquant de surcroˆıt que fa et fb ne sont pas ´equivalents `a ⊥, que fa+fb ´
equivaut `a fa et fb+fa ´equivaut `a fb (voir la propri´et´e(v) de la section 4.2.2).
6.4 Axiomatisation de l’op´erateur ≥
iAfin de « coller » au plus pr´es de la s´emantique de cet op´erateur, nous proposons l’axiomatisation suivante. Comme pour l’axiomatisation de l’op´erateur i, celle-ci n’est sˆurement pas compl`ete.
Section 6.4 : Axiomatisation de l’op´erateur ≥i
6.4.1 D´efaut (D)
Afin d’ˆetre en accord avec l’intuition, pour tout couple de formules (φ, ψ de L × L , par d´efaut, s’il n’est pas d´ej`a exprim´ee la formule φ est pr´ef´er´ee `a ψ alors la formule φ n’est pas pr´ef´er´ee `a une formule ψ. Formellement le d´efaut normal sans pr´erequis (`a la Reiter) suivant est valide dans le langage L2 :
> : ¬(φ ≥i ψ) → ¬(φ ≥i ψ) (6.13)
6.4.2 R`egles de construction de l’op´erateur ≥
iDans la pratique, chaque pr´ef´erence partielle ´etendue Gi0 est g´en´er´ee `a partir d’un en-semble des formules2 de L2 de la forme φ ≥i ψ, o`u φ et ψ sont des formules de L et i est le point de vue consid´er´e. Ces formules sont d´eduites des formules de L0 relatives `a l’op´erateur de la pr´ef´erence partielle primitive associ´ee de telle sorte que si on a ψ i φ alors on a ψ ≥i φ et que si on a ψ i φ mais pas φ i ψ et si φ ⇒ φ0 et ψ ⇒ ψ0 alors ψ0 i φ0. Formellement, les deux r`egles suivantes sont valides :
si `L1 φ iψ alors `L2 φ ≥iψ (6.14)
si CIi(φ, ψ) alors `L2 φ ≥iψ (6.15) Chaque op´erateur de pr´ef´erence partielle ´etendue est donc construit comme l’extension Ceteris Imparibus de l’op´erateur de pr´ef´erence partielle primitive associ´e au mˆeme point de vue.
6.4.3 Remarques
La condition ¬(ψ i φ), sp´ecifi´ee dans la d´efinition (6.2) de la notation CIi, permet de « bloquer » la r`egle de construction lorsque les formules φ et ψ sont tout aussi pr´ef´erables par rapport `a la pr´ef´erence partielle primitive associ´ee. Sans cette condition, l’existence d’une telle r`egle entraˆınerait l’indiff´erence entre toutes les formules et donc entre toutes les alternatives. En effet, dans cette configuration il existe un « contre-argument » trivial : > i>. Preuve en consid´erant la version alors « simplifi´ee » de l’hypoth`ese Ceteris Impa-ribus et en remarquant que la formule > est toujours pr´ef´er´ee `a elle-mˆeme du fait de la r´eflexivit´e de l’op´erateur i(voir l’annexeA.3.1).
L’op´erateur de pr´ef´erence partielle ´etendue ne doit pas ˆetre transitif. En effet, si tel ´
etait le cas, n’importe quelle alternative v´erifiant une formule φ serait pr´ef´er´ee (pour la relation de pr´ef´erence associ´ee `a cet op´erateur) `a une autre alternative v´erifiant ψ d`es lors qu’il existerait deux formules φ1 et ψ1 telles que φ ≥iφ1 et ψ1≥iψ. (voir l’annexeA.3.2
pour une preuve).
Les relations binaires induites par les op´erateurs i et ≥i sont diff´erentes. Alors que la premi`ere (Gi) est transitive et r´eflexive, la seconde (G0i) n’est que r´eflexive. Cela peut
2Ces formules n’induisent pas forc´ement des ensembles de pr´ef´erences coh´erents : elles peuvent sp´ecifier `
se justifier par le fait que Gi permet d’interpr´eter les donn´ees d’entr´ee et que G0i permet d’exploiter ces informations pour la d´ecision.
6.4.4 Expansion (E)
L’axiomatique sp´ecifi´ee jusqu’ici implique que l’op´erateur de pr´ef´erence partielle ´ eten-due v´erifie partiellement la propri´et´e d’expansion (E). Plus pr´ecis´ement, avec une telle axiomatique, les formules du type φ ≥iψ impliquent les formules du type φ+ψ ≥iψ+φ :
Si `L2 φ ≥iψ alors `L2 φ+ψ ≥iψ+φ (6.16) Preuve en remarquant que, comme c’est le cas pour l’op´erateur de pr´ef´erence partielle primitive, c’est aussi le cas pour l’op´erateur de pr´ef´erence partielle ´etendue (voir l’annexe
A.3.4).
La r´eciproque n’est toutefois pas v´erifi´ee. Aussi, afin de rester en accord avec le corollaire (6.11) de la section (6.3) relative `a la s´emantique de la pr´ef´erence partielle ´etendue, nous imposons qu’une formule du type φ ≥iψ est ´equivalente logiquement `a la formule φ+ψ ≥i ψ+φ en ajoutant `a l’axiomatique le r`egle suivante :
Si `L2 φ+ψ ≥iψ+φ alors `L2 φ ≥iψ (6.17)
6.5 Propri´et´es remarquables
La d´efinition axiomatique pr´ef´erence induit des propri´et´es int´eressantes pour chaque op´erateur logique de pr´ef´erence partielle ´etendue. Nous listons ici celles qui nous semblent les plus remarquables.
6.5.1 Comportement de l’op´erateur ≥
iavec l’´equivalence logique
Si deux formules sont logiquement ´equivalentes alors toute occurrence de l’une dans une pr´ef´erence partielle ´etendue peut-ˆetre substitu´ee par une occurrence de l’autre et in-versement. Formellement,
Si ` φ1⇔ φ2 et ` ψ1⇔ ψ2
alors `
L2 φ2≥iψ2 ssi `L2 φ1≥iψ1 (6.18) Preuve en remarquant que c’est le cas pour l’op´erateur de pr´ef´erence partielle primitive et que si ` φ1⇔ φ2 et ` ψ1⇔ ψ2 alors CIi(φ1, ψ1) est ´equivalent `a CIi(φ2, ψ2).
6.5.2 R´eflexive (R)
Toute formule de L non inconsistante est pr´ef´er´ee `a elle mˆeme :
si 0 ¬φ alors `L2 φ ≥iφ (6.19) C’est pourquoi une indiff´erence existe toujours entre une propri´et´e et elle-mˆeme. Preuve en remarquant que c’est le cas pour l’op´erateur de pr´ef´erence partielle primitive. Ceci entraˆıne que chaque relation binaire de pr´ef´erence partielle primitive associ´ee Gi est r´eflexive.