4.2 La notation φ+ψ
Afin de sp´ecifier ais´ement dans notre mod`ele le principe d’expansion (voir le point (2.3.1) de la section2.3), nous introduisons et d´efinissons dans cette section une nouvelle notation : φ+ψ. Celle-ci sera utilis´ee par la suite pour d´efinir formellement les pr´ef´erences. Elle d´esigne la formule φ « augment´ee » si possible de la formule ¬ψ. Intuitivement, M est un mod`ele de la formule φ+ψ si, d’une part, il est un mod`ele de la formule φ et si, d’autre part, il valide, autant que faire se peut, la n´egation de ψ. Dans un contexte de r´evision des croyances, la formule φ+ψ peut ˆetre identifi´ee `a la formule ¬ψ r´evis´ee par la formule φ (voir la section
4.2.3).
4.2.1 D´efinition
Pour toutes formules closes φ et ψ, la notation φ+ψ d´enote la formule close φ de L si φ et ¬ψ sont inconsistantes et la formule close φ∧¬ψ sinon :
Si φ∧¬ψ ≡ ⊥ alors φ+ψ d´= φ, sinon φ+ψef d´= φ∧¬ψef (4.1)
Remarquons ici que la formule φ ∧ ¬ψ ≡ ⊥ est ´equivalente `a ¬(φ ∧ ¬ψ) c’est-`a-dire `a ¬φ∨ψ, soit encore `a φ ⇒ ψ.
4.2.2 Propri´et´es remarquables
Dans cette section nous listons quelques propri´et´es remarquables de la formule φ+ψ induites par la d´efinition (4.1). Afin de ne pas surcharger la lecture de ce document, nous ne listons ici que celles qui nous semblent les plus importantes. Le lecteur int´eress´e se r´ef´erer `a l’annexe (B.1) pour un compl´ement.
(i). φ+φ ≡ φ Preuve imm´ediate puisque φ∧¬φ ≡ ⊥.
(ii). φ+¬φ ≡ φ Preuve imm´ediate puisque φ∧¬(¬φ) ≡ φ∧φ ≡ φ.
(iii). Si φ ≡ φ0 et ψ ≡ ψ0 alors φ+ψ ≡ φ0+ψ0
Preuve imm´ediate puisque φ+ψ ≡ φ ou φ+ψ ≡ φ∧(¬ψ)
(iv). φ+ψ ⇒ φ En particulier, si φ ⇒ φ0+ψ0 alors pour tout ψ, φ+ψ ⇒ φ0+ψ0. Preuve imm´ediate puisque par d´efinition φ+ψ ≡ φ ou φ+ψ ≡ φ∧(¬ψ) (v). Si φ a un seul mod`ele alors, quel que soit ψ, φ+ψ ≡ φ.
Preuve : Quelle que soit la formule close ψ et quel que soit le mod`ele M , soit M ¬ψ, soit M 2 ¬ψ. En particulier, si M est le seul mod`ele de φ alors, soit M est un mod`ele pour ¬ψ, soit M n’est pas un mod`ele pour ¬ψ. Dans le premier cas cela implique que M est le seul mod`ele de φ∧¬ψ. Dans le second cas cela implique que φ ∧ ¬ψ n’a aucun mod`ele. En effet, pour qu’un mod`ele M soit un mod`ele de φ∧¬ψ, il faut que M soit un mod`ele de
φ et aussi de ¬ψ. Dans le premier cas cela implique que φ ⇒ ¬ψ et donc φ∧¬ψ ≡ φ et donc que φ+ψ ≡ φ. Dans le second cas, cela implique que φ et ¬ψ sont inconsitants (i.e. φ∧¬ψ ≡ ⊥) et donc aussi que φ+ψ ≡ φ. (vi). Si ψ ⇒ψ0 et φ∧¬ψ0 6≡ ⊥
alors φ+ψ0⇒ φ+ψ.
Preuve : Si ψ ⇒ ψ0 et φ ∧ ¬ψ0 6≡ ⊥, alors φ ∧ ¬ψ 6≡ ⊥. De plus, et par d´efinition, si φ∧¬ψ 6≡ ⊥ alors φ+ψ ≡ φ∧¬ψ. De mˆeme, par d´efinition, si φ∧¬ψ0 6≡ ⊥ alors φ+ψ0 ≡ φ∧¬ψ0.
Par cons´equent, comme ψ ⇒ ψ0 ´equivaut `a ¬ψ ∨ψ0, cela implique que ψ ⇒ ψ0 implique que ¬ψ∨ψ0∨¬φ, donc aussi que (¬ψ∧φ)∨ψ0∨¬φ, soit que (¬ψ∧φ) ⇐ (¬ψ0∧φ). Par cons´equent, si ψ ⇒ ψ0 et φ∧¬ψ0 6≡ ⊥ alors φ+ψ est impliqu´e par φ+ψ0.
(vii). Si φ⇒φ0
et φ0⇒ (φ∨ψ)
alors φ+ψ ⇒φ0+ψ.
Preuve en remarquant que si φ0⇒ (φ∨ψ) alors de trois choses l’une : – Soit φ∧¬ψ ≡ ⊥ et φ0∧¬ψ ≡ ⊥.
Dans ce cas, et par d´efinition φ+ψ ≡ φ et φ0+ψ ≡ φ0. Or comme par hypoth`ese φ ⇒ φ0, on a aussi φ+ψ ⇒ φ0+ψ.
– Soit φ∧¬ψ 6≡ ⊥ et φ0∧¬ψ ≡ ⊥.
Dans ce cas, et par d´efinition φ+ψ ≡ φ∧¬ψ et φ0+ψ ≡ φ0. Or comme par hypoth`ese φ ⇒ φ0, on a aussi φ∧¬ψ ⇒ φ0. Par cons´equent on a φ+ψ ⇒ φ0+ψ.
– Soit φ∧¬ψ 6≡ ⊥ et φ0∧¬ψ 6≡ ⊥.
Dans ce cas, et par d´efinition φ+ψ ≡ φ∧¬ψ et φ0+ψ ≡ φ0∧¬ψ. Or comme par hypoth`ese φ ⇒ φ0, on a aussi φ∧¬ψ ⇒ φ0∧¬ψ. Par cons´equent on a φ+ψ ⇒ φ0+ψ.
(viii). Si φ 6≡ ψ alors φ+ψ ⇒¬(ψ+φ) (et si φ ≡ ψ alors φ+ψ ≡ ψ+φ). Preuve en remarquant que de quatre choses l’une :
– Soit φ∧¬ψ 6≡ ⊥ et ψ ∧¬φ 6≡ ⊥
Dans ce cas, φ+ψ = φ∧¬ψ et ¬(ψ+φ) = ¬(ψ ∧¬φ) = ¬ψ ∨φ
Par cons´equent, comme φ∧¬ψ implique ¬ψ ∨φ, on a φ+ψ ⇒ ¬(ψ+φ). – Soit φ∧¬ψ ≡ ⊥ et ψ ∧¬φ 6≡ ⊥
Dans ce cas, φ+ψ = φ et ¬(ψ+φ) = ¬(ψ ∧¬φ) = ¬ψ ∨φ
Par cons´equent, comme φ implique ¬ψ ∨φ, on a φ+ψ ⇒ ¬(ψ+φ). – Soit φ∧¬ψ 6≡ ⊥ et ψ ∧¬φ ≡ ⊥
Dans ce cas, φ+ψ = φ∧¬ψ et ¬(ψ+φ) = ¬ψ
Par cons´equent, comme φ∧¬ψ implique ¬ψ, on a φ+ψ ⇒ ¬(ψ+φ). – Soit φ∧¬ψ ≡ ⊥ et ψ ∧¬φ ≡ ⊥
Dans ce cas, on a φ ⇒ ψ et ψ ⇒ φ et donc φ ≡ ψ. De plus, dans ce cas on a aussi, par d´efinition que φ+ψ ≡ φ et ψ+φ ≡ ψ.
Par cons´equent, on a φ+ψ ≡ ψ+φ. (ix). (φ+ψ)+(ψ+φ) ≡ φ+ψ.
Section 4.2 : La notation φ+ψ
– Soit φ∧¬ψ 6≡ ⊥ et ψ ∧¬φ 6≡ ⊥
Dans ce cas, on a φ+ψ ≡ φ ∧ ¬ψ et ψ+φ ≡ ψ ∧ ¬φ. et donc, par d´ efi-nition, (φ+ψ)+(ψ+φ) ≡ (φ∧¬ψ)+(ψ ∧¬φ). De plus, comme (φ∧¬ψ) ∧ ¬(ψ∧¬φ) ≡ (φ∧¬ψ) ∧ (¬ψ ∨ φ) ≡ (φ∧¬ψ), on a (φ∧¬ψ)+(ψ∧¬φ) ≡ (φ+(ψ) Par cons´equent, (φ+ψ)+(ψ+φ) ≡ φ+ψ
– Soit φ∧¬ψ ≡ ⊥ et ψ ∧¬φ 6≡ ⊥
Dans ce cas, on a φ+ψ ≡ φ et ψ+φ ≡ ψ ∧ ¬φ. et donc, par d´ efini-tion, (φ+ψ)+(ψ+φ) ≡ (φ)+(ψ ∧¬φ). De plus, comme φ ∧ ¬(ψ ∧¬φ) ≡ φ ∧ (¬ψ ∨ φ) ≡ φ, on a (φ ∧ ¬ψ)+(ψ ∧¬φ) ≡ (φ+(ψ) Par cons´equent, (φ+ψ)+(ψ+φ) ≡ φ+ψ
– Soit φ∧¬ψ 6≡ ⊥ et ψ ∧¬φ ≡ ⊥
Dans ce cas, on a φ+ψ ≡ φ ∧ ¬ψ et ψ+φ ≡ ψ. et donc, par d´efinition, (φ+ψ)+(ψ+φ) ≡ (φ∧¬ψ)+(ψ). De plus, comme (φ∧¬ψ)∧¬ψ ≡ (φ∧¬ψ), on a (φ∧¬ψ)+(ψ) ≡ (φ+(ψ) Par cons´equent, (φ+ψ)+(ψ+φ) ≡ φ+ψ – Soit φ∧¬ψ ≡ ⊥ et ψ ∧¬φ ≡ ⊥
Dans ce cas, on a φ+ψ ≡ φ et ψ+φ ≡ ψ. et donc, par d´efinition, (φ+ψ)+(ψ+φ) ≡ φ+ψ.
(x). Si (φ+ψ) ∧ γ alors (φ∧γ)+ψ et donc aussi (φ∧γ)+(ψ∧γ) (Distributivit´e) Preuve en remarquant que de trois choses l’une :
– Soit φ∧¬ψ ≡ ⊥. Dans ce cas, φ+ψ = φ. De plus comme alors φ∧γ∧¬ψ ≡ ⊥, on a aussi que (φ∧γ)+ψ = φ∧γ. Par cons´equent, (φ+ψ) ∧ γ = φ∧γ = (φ∧γ)+ψ
– Soit φ ∧ ¬ψ 6≡ ⊥ et φ ∧ γ ∧ ¬ψ 6≡ ⊥. Dans ce cas, φ+ψ = φ ∧ ¬ψ et (φ∧γ)+ψ = φ∧γ∧¬ψ. Par cons´equent, (φ+ψ) ∧ γ = φ∧¬ψ∧γ = (φ∧γ)+ψ – Soit φ ∧ ¬ψ 6≡ ⊥ et φ ∧ γ ∧ ¬ψ ≡ ⊥. Dans ce cas, φ+ψ = φ ∧ ¬ψ et (φ∧γ)+ψ = φ∧γ. Par cons´equent, (φ+ψ) ∧ γ (qui ´equivaut `a φ∧¬ψ∧γ) implique (φ∧γ)+ψ (qui ´equivaut `a φ∧γ).
(xi). φ+ψ ≡ ψ+φ si et seulement si φ ≡ ψ.
Preuve en remarquant que deux quatre choses l’une :
– φ∧¬ψ 6≡ ⊥ et ψ ∧¬φ 6≡ ⊥ Dans ce cas φ+ψ ≡ φ∧¬ψ et ψ+φ ≡ ψ ∧¬φ et donc φ+ψ ≡ ψ+φ si et seulement si φ ∧ ¬ψ ≡ ψ ∧ ¬φ. Or ceci n’est possible que si φ∧¬ψ ≡ φ∧¬ψ ≡ ⊥, et ceci est en contradiction avec les hypoth`eses.
– φ∧¬ψ 6≡ ⊥ et ψ ∧¬φ ≡ ⊥ Dans ce cas φ+ψ ≡ φ∧¬ψ et ψ+φ ≡ ψ et donc φ+ψ ≡ ψ+φ si et seulement si φ∧¬ψ ≡ ψ. Or ceci n’est possible que si φ∧¬ψ ≡ ψ ≡ ⊥, et ceci est en contradiction avec les hypoth`eses. – φ ∧ ¬ψ ≡ ⊥ et ψ ∧ ¬φ 6≡ ⊥ Dans ce cas φ+ψ ≡ φ et ψ+φ ≡ ψ ∧ ¬φ et
donc φ+ψ ≡ ψ+φ si et seulement si φ ≡ ψ ∧¬φ. Or ceci n’est possible que si φ ≡ ψ ∧¬φ ≡ ⊥, et ceci est en contradiction avec les hypoth`eses. – φ∧¬ψ ≡ ⊥ et ψ ∧¬φ ≡ ⊥ Dans ce cas φ+ψ ≡ φ et ψ+φ ≡ φ et donc
(xii). φ+ψ ≡ (¬ψ)+¬φ
Preuve : d’apr`es la propri´et´e ((xxx)) de l’annexeB.1, on a φ+ψ ⇒ (¬ψ)+¬φ et en particulier (en renommant les variables et prenant leur n´egation) ¬(ψ)+¬φ ⇒ (¬¬φ)+¬¬ψ soit ¬(ψ)+¬φ ⇒ (φ)+ψ
4.2.3 Notation φ + ψ et op´erateur de r´evision des croyances
Dans un contexte de r´evision des croyances, la formule φ+ψ peut ˆetre identifi´ee `a la formule ¬ψ r´evis´ee par la formule φ. Plus pr´ecis´ement, si ◦ est un op´erateur de r´evision des croyances au sens de Katsuno et Mendelzon [Katsuno and Mendelzon, 1991], l’´egalit´e suivante est v´erifi´ee :
φ+ψ =d´ef(¬ψ) ◦ φ (4.2) En effet, l’op´erateur ◦ ainsi d´efini v´erifie alors les six propri´et´es suivantes :
1. φ ◦ µ implique µ Preuve :
D’apr`es la d´efinition (4.2), on a φ ◦ µ ≡ µ+¬φ. De plus, d’apr`es la propri´et´e
(iv), on a aussi µ+¬φ implique µ. Par cons´equent, on a donc aussi que φ ◦ µ implique µ.
2. si φ∧µ est satisfiable alors φ ◦ µ ≡ φ∧µ Preuve :
D’apr`es la d´efinition (4.2), on a φ◦µ ≡ µ+¬φ. De plus, d’apr`es la d´efinition (4.1), si φ∧µ est satisfiable alors µ+¬φ ≡ φ∧µ. Par cons´equent φ ◦ µ ≡ φ∧µ. 3. si µ est satisfiable alors φ ◦ µ est aussi satisfiable.
Preuve :
D’apr`es la d´efinition (4.2), on a φ ◦ µ ≡ µ+¬φ. De plus, d’apr`es la propri´et´e
(xxi), si µ est satisfiable, alors µ+¬φ est satisfiable. Par cons´equent, si µ est satisfiable, alors φ ◦ µ est satisfiable.
4. si φ1 ≡ φ2 et µ1 ≡ µ2 alors φ1◦ µ1 ≡ φ2◦ µ2
Preuve :
D’apr`es la d´efinition (4.2), on a φ1 ◦ µ1 ≡ µ1+¬φ1 et φ2 ◦ µ2 ≡ µ2+¬φ2. D’autre part, d’apr`es la propri´et´e(iii), si φ1 ≡ φ2et µ1 ≡ µ2alors µ1+¬φ1 ≡ µ2+¬φ2. Par cons´equent, si φ1 ≡ φ2 et µ1 ≡ µ2 alors φ1◦ µ1 ≡ φ2◦ µ2. 5. (φ ◦ µ)∧ψ implique φ ◦ (µ∧ψ)
Preuve :
D’apr`es la d´efinition (4.2), on a (φ ◦ µ) ∧ ψ ≡ (µ+¬φ) ∧ ψ et φ ◦ (µ ∧ ψ) ≡ (µ ∧ ψ)+¬φ. De plus, d’apr`es la propri´et´e(x), (µ+¬φ) ∧ ψ implique (µ ∧ ψ)+¬φ. Par cons´equent, (φ ◦ µ)∧ψ implique φ ◦ (µ∧ψ).
6. si (φ ◦ µ)∧ψ est satisfiable alors φ ◦ (µ∧ψ) implique (φ ◦ µ)∧ψ Preuve :