∀(a,b) ∈ ALT2, si a φ+ψ b ψ+φ alors aG0jb (7.11)
7.5 Axiomatisation des politiques
Dans la pratique la relation de pr´ef´erence globale d’un agent est d´etermin´ee par l’op´ e-rateur ≥. C’est donc ce dernier qui r´esulte en premier lieu de l’agr´egation des pr´ef´erences partielles ´etendues. Plus pr´ecis´ement, dans notre approche ce sont les r´esultat des comparai-sons des pr´ef´erences partielles ´etendues qui vont ˆetre agr´eg´ees via un m´ecanisme d’´election afin de donner le r´esultat des comparaisons de la pr´ef´erence globale. Notre but est donc ici de d´eterminer par extension l’op´erateur de pr´ef´erence globale d’un agent en se basant sur les op´erateurs de pr´ef´erence partielle ´etendue. Dans cette approche, le r´esultat de la comparaison de deux formules par une pr´ef´erence partielle ´etendue est consid´er´e comme un vote en faveur du r´esultat qu’il indique.
Comme nous l’avons remarqu´e `a la section 7.4, chaque politique d’agr´egation donne a priori un r´esultat diff´erent des autres. Par cons´equent, chaque politique d’agr´egation est mise en oeuvre par une axiomatique particuli`ere. `A titre d’exemple, nous proposons dans ce qui suit une axiomatisation pour quatre m´ecanismes diff´erents : les politiques All, Dictature j, Lex et Maj. Afin de raccourcir les formules, nous introduisons une nouvelle notation : la notation incompi(φ, ψ) est l’abr´eviation syntaxique de la formule ¬(φ ≥i ψ) ∧ ¬(ψ ≥i φ). Elle indique intuitivement qu’il n’existe aucune information selon le point de vue num´ero i pour comparer φ et ψ.
7.5.1 Axiomatique de la politique All
La formule φ est pr´ef´er´ee globalement `a ψ au sens All (not´e φ ≥All ψ) si et seulement si toutes les pr´ef´erences partielles ´etendues de l’agent indiquent que, de leurs points de vue respectifs, la formule φ est pr´ef´er´ee `a ψ.
Ceci est ´equivalent au fait qu’il n’existe aucune pr´ef´erence partielle ´etendue de l’agent qui indique que, de son point de vue, une alternative v´erifiant la formule ψ est pr´ef´er´ee strictement `a une v´erifiant la formule φ (i.e. ψ >iφ) ou qu’elles sont incomparables (i.e. ¬(φ ≥iψ)∧¬(ψ ≥iφ)). Par cons´equent, le d´efaut et les r`egles de d´eduction suivants sont ajout´es `a la th´eorie :
> : φ ≥All ψ → φ ≥All ψ (7.12) si `L2 ψ >iφ alors `L3 ¬(φ≥Allψ) (7.13)
Section 7.5 : Axiomatisation des politiques
si `L2 incompi(φ, ψ) alors `L3 ¬(φ≥Allψ) (7.14)
7.5.2 Axiomatique de la politique Dictature j
La formule φ est pr´ef´er´ee globalement `a ψ au sens Dictature j (not´e φ >Dictj ψ), si et seulement si la pr´ef´erence partielle ´etendue relative au point de vue j indique que φ est pr´ef´er´ee `a ψ. Formellement la r`egle suivante est ajout´ee `a la th´eorie :
si `L2 φ ≥jψ alors `L3 φ ≥Dictjψ (7.15)
De la mˆeme fa¸con, les alternatives v´erifiant respectivement les formules φ ne sont pas pr´ e-f´er´ees au sens Dictature j aux alternatives ψ (not´e ¬(φ ≥Dictj ψ)), si et seulement si la pr´ef´erence partielle ´etendue jug´ee relative au point de vue j indique que les alternatives v´erifiant respectivement les formules φ ne sont pas pr´ef´er´ees au sens Dictature j aux alter-natives ψ (not´e ¬(φ ≥jψ)). Formellement la r`egle suivante est ajout´e `a la th´eorie :
si `L2 ¬(φ≥jψ) alors `L3 ¬(φ ≥Dictjψ) (7.16) Par cons´equent, du fait de la d´efinition de l’indiff´erence, il r´esulte de cette axiomatisation que les alternatives v´erifiant respectivement les formules φ et ψ sont indiff´erentes au sens Dictature j (not´e φ ∼Dictj ψ), si et seulement si la pr´ef´erence partielle ´etendue jug´ee relative au point de vue j indique que φ et ψ sont indiff´erents :
si `L2 φ ∼jψ alors `L3 φ ∼Dictjψ
si `L2 ¬(φ ∼jψ) alors `L3 ¬(φ ∼Dictjψ)
7.5.3 Axiomatique de la politique Lex
Dans cette partie de document, les pr´ef´erences partielles ´etendues sont suppos´ees ˆetre ordonn´ees par niveau d’importance. Par souci de simplicit´e, nous supposons ici que si i < j alors le point de vue i est plus important que le point de vue j. Cela ne r´eduit n´eanmoins pas la g´en´eralit´e de notre propos.
Par d´efaut, si ce n’est pas contradictoire avec le reste de la pr´ef´erence partielle ´etendue, une formule φ de L n’est pas pr´ef´er´ee `a une formule ψ de L . Formellement le d´efaut normal sans pr´erequis (`a la Reiter) suivant est impos´e :
> : ¬(φ ≥Lex ψ) → ¬(φ ≥Lexψ) (7.17) De plus, la formule φ est pr´ef´er´ee globalement `a ψ au sens Lex (not´e φ ≥Lex ψ), si et seulement si la pr´ef´erence partielle ´etendue pertinente jug´ee la plus importante (i.e le plus petit i tel que ¬incompi(φ, ψ) ) indique que φ est pr´ef´er´ee `a ψ (i.e. φ ≥i ψ). Plus formellement, s’il existe n points de vue alors les n (sch´emas d’) axiomes suivant sont
impos´es :
si `L2 (φ ≥1ψ) alors `L3 φ ≥Lexψ (7.18) si `L2 incomp1(φ, ψ) ∧ (φ ≥2ψ) alors `L3 φ ≥Lexψ (7.19) si `L2 incomp1(φ, ψ) ∧ incomp2(φ, ψ) ∧ (φ ≥3ψ) alors `L3 φ ≥Lexψ (7.20)
...
si `L2 incomp1(φ, ψ) ∧ . . . ∧ incompn−1(φ, ψ) ∧ (φ ≥nψ) alors `L3 φ ≥Lexψ (7.21)
Il r´esulte de cette axiomatisation que les formules φ et ψ sont indiff´erentes au sens Lex (not´e φ ∼Lexψ), si et seulement si toutes les pr´ef´erences partielles ´etendues indiquent que les formules φ et ψ sont incomparables ou si la pr´ef´erence partielle ´etendue pertinente jug´ee la plus importante (i.e le plus petit i tel que ¬incompi(φ, ψ) ) indique `a la fois que φ est pr´ef´er´ee `a ψ et que ψ est pr´ef´er´ee `a φ (i.e. φ ≥iψ ∧ ψ ≥iφ).
7.5.4 Axiomatique de la politique Maj
Par d´efaut, si ce n’est pas contradictoire avec le reste de la pr´ef´erence partielle ´etendue, une formule φ de L n’est pas pr´ef´er´ee `a une formule ψ de L . Formellement le d´efaut normal sans pr´erequis (`a la Reiter) suivant est valide :
> : ¬(φ ≥M aj ψ) → ¬(φ ≥M aj ψ) (7.22) La formule φ est pr´ef´er´ee globalement `a ψ au sens Maj (not´e φ >M aj ψ) si et seulement si la majorit´e absolue des pr´ef´erences partielles ´etendues indique que les alternatives v´erifiant la propri´et´e φ sont pr´ef´er´ees `a celles v´erifiant ψ. S’il existe n points de vue, la majorit´e absolue est obtenue avec E(n2) + 1 points de vue distincts. Il existe alors k = CE(
n
2)+1
n
fa¸cons diff´erentes de choisir un ensemble de points de vue ayant la majorit´e absolue5. Par cons´equent, Nous imposons que les k (sch´emas d’) axiomes suivant sont valides. Chacun d’eux est relatif `a une des diff´erentes fa¸cons distinctes de choisir un ensemble de l = E(n2)+1 points de vue.
si `L2 φ ≥σ1,1ψ ∧ φ ≥σ1,2ψ ∧ φ ≥σ1,3ψ ∧ .... ∧ φ ≥σ1,lψ alors `L3 φ ≥Majψ (7.23) si `L2 φ ≥σ2,1ψ ∧ φ ≥σ2,2ψ ∧ φ ≥σ2,3ψ ∧ .... ∧ φ ≥σ2,lψ alors `L3 φ ≥Majψ (7.24)
. . .
si `L2 φ ≥σk,1ψ ∧ φ ≥σk,2ψ ∧ φ ≥σk,3ψ ∧ .... ∧ φ ≥σk,lψ alors `L3 φ ≥Majψ (7.25) o`u la notation σi,jd´esigne le j`eme´el´ement de la i`emecombinaison de l ´el´ements de l’ensemble {1, . . . , n}.
5E(x) repr´esente la partie enti`ere de x et Cnp repr´esente le nombre de combinaison de p ´el´ements pris parmi n.