6 Conclusion
6.4 Perspectives
Puisque ce mémoire est une étude préliminaire, il soulève quelques nouvelles interrogations et ouvre la porte à de nouveaux défis. Certains de ces défis ont été relevés précédemment, soit:
1) la réalisation d’une étude de convergence sur des maillages de différentes tailles sur toute la durée de l’emballement;
2) l’insertion des effets de la boucle d’essai dans les simulations transitoires (à l’aide d’un modèle 1D, par exemple);
3) la réalisation de simulations transitoires avec un modèle de turbulence permettant de représenter plus en détails les phénomènes turbulents (exemple: modèle SAS); 4) l’étude de méthodes d’analyses fréquentielles transitoires pouvant être utilisées seules
ou en complément de l’analyse en ondelettes.
Il faudra aussi intégrer un modèle d’inertie permettant de calculer la vitesse de rotation de la roue à chaque pas de temps afin de rendre les simulations numériques totalement indépendantes des essais expérimentaux.
Du point de vue de la compressibilité du fluide, il faudra ré-évaluer l’importance de son impact sur les simulations en régime transitoire par rapport à la prise en compte d’autres phénomènes, tels la cavitation et l’oscillation de la colonne d’eau, grâce à la récente littérature sur le sujet. Si, à la lumière de ces nouvelles recherches, les simulations compressibles sont toujours incontournables, il faudra développer un code produisant la condition de non réflexion aux parois d’entrée et de sortie du domaine adapté à la réalité des simulations de turbines hydrauliques en régime transitoire.
139
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143
Annexe A: Application de la transformée en
ondelettes sur des signaux connus
Afin de tester le programme Matlab utilisé pour effectuer les transformées en ondelettes des signaux de pression acquis expérimentalement et simulés numériquement, des signaux connus lui ont été soumis. Les figures A.1 et A.2 illustrent les résultats de ce test.
x(t) x(t)=9000 sin(500∙2πt) pour 0s ≤ t ≤ 1s x(t)=200t∙ sin(10∙2πt) pour 1s < t ≤ 8s T 8s Δt 0,0002s η 0,0001 χ 0,95 a) b)
Figure A.1 a) Signal x(t) en fonction du temps, b) Transformée en ondelettes de x(t) où log(f) est en fonction du temps.
144 x(t) x(t)= 1 0,00001πe -(t-4)2 0,000012 T 8s Δt 0,0002s η 0,0001 χ 0,95 a) b)
Figure A.2 a) Signal x(t) en fonction du temps, b) Transformée en ondelettes de x(t) où log(f) est en fonction du temps.
145
Annexe B : Programme Matlab pour la transformée
en ondelettes
Cette annexe présente le programme Matlab utilisé tout au long de ce mémoire afin de réaliser les transformés en ondelettes. Ce programme est celui utilisé pour transformer les signaux de l’annexe A. %% Nettoyage close all; clc; clear all; close all;
%% Paramètre d'ajustement du temps et de la pression Soustraction_de_temps=130;
Division_de_pression=1000; %% Temps expérimental temps=(0:0.0002:8); %% Création des signaux
P{1}=((2*temps*100).*sin((518.7005/60*2*pi)*temps))'; z(1:5001)=((518.7005*0.38*2*pi)/(60*1))+(518.7005/60*2*pi); P{1}(1:5001)=1000*(sin(z(1:5001).*temps(1:5001))); z(5002:length(temps))=((518.7005*0.38*2*pi)/(60*1)*1)+(518.7005/60*2*pi); P{2}(5002:length(temps))=(sin(z(5002:length(temps)).*temps(5002:length(temps)))); P{2}=P{2}'; P{3}=(1/(0.01*pi))*exp((-(temps-4).^2)/0.01^2)'; temps=temps';
%% Afficahge des signaux for y=1:3 w=figure; plot(temps,P{y}) hold on xlabel('t (s)'); ylabel('x(t)'); hold off % Mise en forme image_width = 13; % Largeur, en [cm] image_height = 4; % Hauteur, en [cm] font = 'Times New Roman';
font_size = 11; % Format de l'image
set(gcf,'paperunits', 'centimeters');
set(gcf,'papersize', [image_width, image_height]);
set(gcf,'paperposition', [0, 0, image_width, image_height]); % Format du texte
set(findall(w, 'type', 'text'), 'FontName', ... font, 'fontSize', font_size);
146 % Enregistrement de l'image
print ('-painters', '-djpeg', '-r1200', ['validation_wavelet_signaux_temporels' num2str(y) '.jpeg'] )
end
%% Pas de temps dt=temps(2)-temps(1);
%% Combler le signal avec des zéros pour atteindre une longueur de base 2. for i=1:3
puissance=log2(length(P{i})); puissance_arrondi=ceil(puissance); p{i}=zeros(1,2^puissance_arrondi); p{i}(1:length(P{i}))=P{i};
% Redéfinition du temps pour le signal allongé tmp=(1:length(p{i}))*dt;
%signal dans le domaine fourier signal_fft{i}=fft(p{i});
end close all
%%Wavelet analysis - utilisation d'une wavelet morlet
%% temps nondimensionnel d'une demi wavelet (pour la wavelet mère) étant 3 fois l'écart- type d'une wavelet morlet
T=3*0.941396;
%% paramètres obligatoires % paramètre de repliement n=0.0001;
% constante forçant le critère d'admissibilité à être répondu w_wavelet=5.5;
% niveau de résolution du calcul x=0.95;
% Constante de proportionnalité wd=-sqrt(-2*log(x));
% Constante k
k=w_wavelet/(wd+w_wavelet);
% Nombre minimum de point avec laquelle la wavelet doit -être
% échantillonnées afin d'éviter le repliement (obtenir une valeur impaire) Nm=(2*T)/pi*(w_wavelet+sqrt(-2*log(n)));
Nm=2*ceil((Nm+1)/2)-1; % Déterminer la valeur de a max freq_min=1;
a_max=((T.*w_wavelet)./(pi*dt*Nm))/freq_min; % Nombre maximum d'échelle qui peut être calculée i_maxx=log(a_max)/log(k)+1;
i_max=ceil(i_maxx);
% génération d'une matrice contenant tous les échelles utilisées for i=1:i_max
a((i))=k^((i)-1); end
%% Adaptation des paramètres pour une wavelet mise à l'échelle % Adaptation de la longueur T pour chacune des échelles
147 for g=1:length(a)
T(g)=TT*a(g); end
% Adaptation du nombre de point minimum pour chacune des wavelets pour % chaque échelle a (valeurs arrondies à l'entier impair le plus proche) for c=1:length(T)
NN(c)=(2*T(c))/pi*(w_wavelet+sqrt(-2*log(n))); N(c)=2*ceil((NN(c)+1)/2)-1;
%génération du pas de temps adimensionnel de la wavelet pour que 2T se fasse en N points dt_wavelet(c)=2*T(c)./N(c);
end
% Vecteur temps de la wavelet pour chaque échelle afin que t=0 concorde avec le point milieu de la wavelet (tous les p{i} ont la même longueur donc p{1} sera
% employé) for y=1:length(a) for w=1:length(p{1}) if lt(w,ceil(N(y)/2)) tt(1+length(p{1})+(w-ceil(N(y)/2)))=(w-ceil(N(y)/2))*dt_wavelet(y); else tt((w-ceil(N(y)/2))+1)=(w-ceil(N(y)/2))*dt_wavelet(y); end end t{y}=tt; end
% temps redéfini pour que l'échelle de temps de la wavelet commence à zéro for d=1:length(a)
temps_w(d,:)=0:dt_wavelet(d):dt_wavelet(d)*(length(p{1})-1); end
%% Définition de la zone d'incertitude % temps étudiés
temps=0:dt:(length(p{1})-1)*dt; % courbe d'incertitude de gauche Inc=((N-1)./2)*dt;
% Courbe d'incertitude de droite Inc2=temps(length(P{1}))-Inc;
%% Génération des fréquences et de leur valeur normalisée % fréquence de pointe
for b=1:length(a)
fp(b)=(T(b).*w_wavelet)./(pi*dt*N(b)*a(b)); end
% fréquence de pointe normalisée fp_norm=log(fp);
%% Génération de la wavelet morlet dont le centre se trouve au temps adimensionnel de zéro morlet=zeros(1,length(p{1})); for k=1:3 for i=1:length(a) tp=t{i}; tw=temps_w(i,:);
148 %génération de la wavelette for w=1:length(p{1}) morlet(w)=(a(i)^-(1/2))*exp(complex(0,w_wavelet*((tp(w))/a(i))))*exp(- (abs(((tp(w))/a(i)))^2)/2); end
%Disposer la wavelet de façon que son centre, à t=0, soit le premier point %de la matrice morlett(1:ceil(N(i)/2))= morlet(1:ceil(N(i)/2)); morlett((length(morlet)-ceil(N(i)/2)-1):length(morlet))= morlet((length(morlet)- ceil(N(i)/2)-1):length(morlet)); % Faire la fft de la wavelet morlet_fft=fft(morlett);
% multiplier avec la fft du signal
multiplication=signal_fft{k}.*morlet_fft;
% retour dans le domaine temporel - stockage des coefficients coefficient(i,:)=ifft(multiplication); end c=(abs(coefficient).^2); cc=c(1:length(a),1:length(P{k})); for j=1:length(fp_norm) for i=1:length(temps(1:length(P{k}))) if le(temps(i),Inc(j))||ge(temps(i),Inc2(j)) cc(j,i)=NaN; end end end
%% Réalisation des figures
h=figure('Colormap',[0 0 0.53125;0 0 1;0 0.0769230797886848 1;0 0.15384615957737 1;0 0.230769231915474 1;0 0.307692319154739 1;0 0.384615391492844 1;0 0.461538463830948 1;0 0.538461565971375 1;0 0.615384638309479 1;0 0.692307710647583 1;0 0.769230782985687 1;0 0.846153855323792 1;0 0.923076927661896 1;0 1 1;0.0188679248094559 1 0.981132090091705;0.0377358496189117 1 0.962264180183411;0.0566037744283676 1 0.943396210670471;0.0754716992378235 1 0.924528300762177;0.0943396240472794 1 0.905660390853882;0.113207548856735 1 0.886792480945587;0.132075473666191 1 0.867924511432648;0.150943398475647 1 0.849056601524353;0.169811323285103 1 0.830188691616058;0.188679248094559 1 0.811320781707764;0.207547172904015 1 0.792452812194824;0.22641509771347 1 0.77358490228653;0.245283022522926 1 0.754716992378235;0.264150947332382 1 0.73584908246994;0.283018857240677 1 0.716981112957001;0.301886796951294 1 0.698113203048706;0.320754706859589 1 0.679245293140411;0.339622646570206 1 0.660377383232117;0.3584905564785 1 0.641509413719177;0.377358496189117 1 0.622641503810883;0.396226406097412 1 0.603773593902588;0.415094345808029 1 0.584905683994293;0.433962255716324 1 0.566037714481354;0.452830195426941 1 0.547169804573059;0.471698105335236 1 0.528301894664764;0.490566045045853 1 0.50943398475647;0.50943398475647 1 0.490566045045853;0.528301894664764 1 0.471698105335236;0.547169804573059 1 0.452830195426941;0.566037714481354 1 0.433962255716324;0.584905683994293 1 0.415094345808029;0.603773593902588 1 0.396226406097412;0.622641503810883 1 0.377358496189117;0.641509413719177 1 0.3584905564785;0.660377383232117 1
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151
Annexe C: Analyses des vitesses dans un canal inter-
aube selon les triangles de vitesses
La première analyse effectuée sur les résultats numériques dans la roue en régime permanent au BEP se rapporte à la théorie des triangles de vitesses, rappelée à la figure C.1.
C: vitesse absolue de l’écoulement [m/s]; W: vitesse relative de l’écoulement [m/s];
U: vitesse circonférentielle locale d’une aube [m/s];
Cθ, CR et Cz: composantes tangentielle, radiale et axiale de la vitesse absolue [m/s];
Wθ, WR et Wz: composantes tangentielle, radiale et axiale de la vitesse relative [m/s].
Figure C.1 Rappel des triangles de vitesses.
Étant donné que les écoulements incompressible et compressible donnent des résultats très similaires, seules les différentes vitesses obtenues dans un canal inter-aube pour la simulation incompressible sont présentées. La valeur employée pour la normalisation des vitesses, Créf, est
décrite par l’équation C.1, où Agorge est l’aire de passage le plus petit de la turbine.
Créf=
Q
Agorge C.1
La figure C.3 présente l’évolution des vitesses relatives radiale WR, circonférentielle Wθ et
axiale WZ selon la position circonférentielle en degrés dans un canal inter-aube sur trois
positions radiales (définies en fonction de l’envergure) et deux positions axiales, situées près de l’entrée et de la sortie des aubes (définies par Haube représentant la hauteur de l’aube au
moyeu). La variation des valeurs de ces vitesses est normalisée suivant l’équation C.2: Vnorm(%)=
Wi-Créf
Créf ×100. C.2
La vitesse relative W est la norme des composantes radiale WR, circonférentielle Wθ et axiale
WZ. L’angle 0 représente approximativement la position de l’extrados et l’angle 60 la position
U2 U = U1 = U2 W1θ W2θ C1θ C2θ C1z C2z C1 W1 C2 W2 β1 β2 U1
152
de l’intrados. WR négatif signifie que l’écoulement se dirige vers le moyeu de la roue. WZ
négatif signifie que l’écoulement se dirige vers la sortie de l’aspirateur. Wθ négatif signifie que
l’écoulement tourne dans le sens antihoraire. Les lignes de courant associées à un espace inter- aubes étant à rayon relativement constant dans la roue (figure C.2), l’analyse des triangles de vitesses permet de poser que :
U1=ωR1=U2=ωR2. C.3
Figure C.2 Distribution de lignes de courant dans la roue.
Lignes de courant
153
a) b)
c)
d)
Figure C.3 Profils de vitesses (a et b) pour trois positions radiales (c) et deux positions axiales (d.) Il y a un marqueur sur les courbes à chaque cinq données.
W Wθ WR WZ W Wθ WR WZ
ext. int. ext. int.
1/4×envergure
1/2×envergure 3/4×envergure
0,08Haube
154
L’équation d’Euler, permettant de calculer la puissance extraite d’une turbine, est définie comme suit:
Puissance=ṁ (U1C1θ-U2C2θ). C.4
Au BEP, pour extraire une puissance maximale, C2θ doit être nulle. Cependant, afin de
diminuer les risques de décollement de la couche limite aux parois de l’aspirateur, une certaine quantité de rotation résiduelle C2θ est parfois conservée dans le fluide. Cette faible rotation
résiduelle est ignorée dans le prochain raisonnement afin de faciliter la démarche. La vitesse de l’aube U, constante sur un même rayon, suit alors l’égalité exposée à l’équation suivante:
U=C1θ-W1θ=-W2θ. C.5
Cette équation signifie que:
C1θ=W1θ-W2θ. C.6
Dans le cas d’AxialT, la roue tourne dans la même direction que l’écoulement dans le distributeur, ce qui signifie que U et Cθ sont de même direction. Au BEP, la vitesse de l’aube
U est plus élevée que Cθ1 (U > Cθ1) à l’endroit des trois positions radiales à l’étude. Les vitesses
W1θ et W2θ sont donc de direction opposée à Cθ1 et U afin de respecter l’équation C.5. Pour
obtenir C1θ de direction inverse à W1θ et W2θ, l’équation C.6 impose l’inégalité Wθ2 > Wθ1. Les
vitesses Wθ de la figure C.4 sont donc plus élevées à 0,77Haube qu’à 0,08Haube. Cela se traduit
par une augmentation de Wθ en direction axiale.
Une valeur de U plus grande entraine l’augmentation de la valeur absolue de W2θ, suivant
l’équation C.5. La vitesse U augmente avec le rayon, c’est pourquoi Wθ est plus élevé pour
3/4×envergure que pour 1/2×envergure ou 1/4×envergure.
La vitesse axiale à l’entrée et à la sortie d’un canal inter-aube est théoriquement constante (C1Z
= C2Z). Relativement aux triangles de vitesse, W, en entrée et en sortie de roue, peut-être définie
selon l’équation suivante:
W=√CZ2+Wθ2. C.7
Sachant que C1Z et C2Z sont égaux et que Wθ2 est plus grand que Wθ1, cela induit une valeur W
plus élevée en sortie de roue qu’à l’entrée (W2 > W1) au BEP. C’est pourquoi W est plus grand
à la hauteur 0,77Haube qu’à 0,08Haube.
Conformément à ces triangles, pour un même point d’opération, si la vitesse circonférentielle de l’aube U augmente, toutes les vitesses des triangles augmenteront proportionnellement à U aussi afin de conserver les angles β1 et β2. Par conséquent, la vitesse relative W augmentera
aussi. Sachant que la vitesse circonférentielle de l’aube U augmente avec le rayon, la vitesse relative W augmente aussi avec le rayon. La vitesse relative W de la figure C.4 est donc plus élevée à 3/4×envergure qu’à 1/2×envergure ou 1/4×envergure.
De par leur définition, l’extrados a une pression plus faible que l’intrados. Cela engendre une vitesse de l’écoulement plus élevée à l’extrados qu’à l’intrados. La vitesse W est donc plus élevée près de 0° (extrados) que de 60° (intrados).
La vitesse Wz est du même ordre de grandeur pour les deux différentes hauteurs étudiées. En
effet, les triangles de vitesse indiquent que CZ et WZ sont égaux. Donc, tout comme pour CZ,
W1Z = W2Z. Cette égalité n’est pas totalement respectée dans la figure C.3. Bien que W1Z soit
du même ordre de grandeur que W2Z, les deux vitesses n’ont pas exactement les mêmes valeurs
près de l’intrados et de l’extrados. L’explication par triangles de vitesses peut donner une idée de l’évolution des vitesses dans la roue. Cependant, elle a une précision limitée vu son application a un écoulement complexe tandis qu’elle a été élaborée pour un écoulement simplifié.
155
La vitesse Wz est répartie plus uniformément sur la largeur du canal près du bord de fuite, c’est-
à-dire plus près de 0,77 Haube, que près du bord d’attaque. Cette vitesse se montre aussi
156
Annexe D: Analyses de cohérence entre les
fréquences des signaux expérimentaux
Fonctions de cohérence entre les signaux de pression captés sur l’extrados de l’aube 6 et le signal capté par C7:
C 1 et C 7 C 2 et C 7
Figure D.1 Fonctions de cohérence entre les signaux de pression captés par C1 et C2 sur l’extrados de l’aube 6 et par C7.
157 C3 et C 7 C 4 et C 7 C 5et C 7
Figure D.2 Fonctions de cohérence entre les signaux de pression captés par C3, C4 et C5 sur l’extrados de l’aube