2 État de l’art, méthodes d’analyses fréquentielles des signaux en régimes permanent et
2.2 Méthodes d’analyse fréquentielle des résultats
2.2.3 Analyses fréquentielles de signaux instationnaires en régime transitoire
L’analyse du contenu fréquentiel à l’aide d’une transformée de Fourier ne révèle que les fréquences finies. L’apparition, la disparition ou la variation d’un phénomène par rapport au temps est impossible à détecter. La FFT est donc inadaptée à l’analyse de signaux transitoires. Deux types d’analyses sont présentées dans ce mémoire afin de garder l’information temporelle lors d’une analyse fréquentielle: la transformée de Fourier locale et la transformée en ondelettes.
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2.2.3.1 Transformée de Fourier locale
La transformée de Fourier locale (STFT), est une adaptation de la transformée de Fourier afin d’obtenir de l’information à la fois des domaines temporel et fréquentiel. La STFT découpe le signal temporel à analyser avec des fenêtres de longueur constante dont la position sur le signal indique la position temporelle des fréquences captées. La dimension de la fenêtre dicte le niveau de précision de l’analyse. Ainsi, chaque fenêtre peut analyser des fréquences entre 1/T ≤ f ≤ féch/2 sans qu’il y ait repliement.
Par conséquent, différentes longueurs de fenêtres doivent être essayées afin de déterminer la dimension la plus appropriée au contenu du signal. Ces fenêtres sont les mêmes que celles utilisées lors de transformée de Fourrier d’un signal discret en régime permanent (Hanning, rectangulaire, etc.). La figure 2.7 schématise le procédé de la STFT. Un spectrogramme est utilisé pour représenter cette analyse fréquence-temps.
Figure 2.7 Schématisation de la transformée de Fourier locale (STFT): la segmentation du signal temporel, l’analyse fréquentiel des sections du signal et la représentation de l’analyse fréquence-temps dans un spectrogramme. Image modifiée de: [39].
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La STFT est cependant une méthode d’analyse fréquentielle-temporelle limitée puisque la longueur des fenêtres analysées est uniforme pour toutes les fréquences à étudier. Une fenêtre courte offre une bonne résolution temporelle mais est incapable de capter les basses fréquences. Une fenêtre longue offre une bonne discrétisation fréquentielle mais une discrétisation temporelle moindre. Pour un signal contenant un large éventail de fréquences, une méthode d’analyse à fenêtres s’adaptant au contenu fréquentiel du signal avec le temps est préférable afin d’avoir une meilleure discrétisation fréquentielle et temporelle [40][41].
2.2.3.2 Transformée en ondelettes
La transformée en ondelettes est une technique de fenêtrage à dimension variable [40][41][16][42], tel que schématisée à la figure 2.8. Elle permet l’emploi de fenêtres sur un long intervalle de temps pour obtenir plus de précision à basse fréquence et sur un court intervalle de temps pour plus de précision à haute fréquence. Elle est utile pour l’analyse de signaux intermittents, car elle permet l’analyse localisée des variations de puissance d’une fréquence sur l’échelle temporelle. La transformée en ondelettes ne s’exprime pas à l’aide d’axes fréquence-temps, comme c’est le cas pour la STFT, mais avec des axes échelle-temps. Une fréquence peut être associée à chaque échelle à l’aide d’une relation mathématique.
Figure 2.8 Schématisation d’une transformée en ondelettes du signal temporel vers la représentation échelle-temps. Image modifiée de: [41].
Deux types de transformées en ondelettes existent: la continue et la discrète. La transformée continue en ondelettes est effectuée de façon continue sur toutes les échelles et à chaque temps du domaine du signal à analyser. La transformée discrète en ondelettes se fait sur une série d’échelles et de positions basées sur une puissance de 2 afin de réduire les besoins en ressources de calcul en diminuant la précision [41][16]. Dans le cadre de ce projet, la puissance de calcul disponible permet d’aller chercher la précision maximale en utilisant une transformée en ondelettes continue.
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Pour être admissible comme ondelette, une fonction doit avoir une valeur moyenne à zéro et doit n’être non nulle que sur une période finie dans les espaces temporel et fréquentiel. L’ondelette peut être irrégulière et asymétrique. Elle est classée dans deux catégories: orthogonale ou non-orthogonale. Une ondelette non-orthogonale est utilisée, car c’est la seule catégorie applicable aux transformés continues. Le choix s’est arrêté sur l’ondelette Morlet qui est la plus communément utilisée [16] et la plus présente dans la littérature. L’expression de l’ondelette Morlet mère dans le domaine temporel est présentée par:
ψ(t)=eiωψtadime-|tadim| 2
2 . 2.10
L’ondelette Morlet est donc une fonction complexe comme illustrée à la figure 2.9. Les paramètres d’une ondelette, comme le temps (tadim) ou la fréquence, sont adimensionnels et ne
correspondent pas à ceux du signal physique [40][16]. Afin de respecter la condition d’admissibilité disant que la valeur moyenne d’une ondelette doit être égale à zéro, la valeur de ωψ est fixée à 5,5. Ce facteur rend la valeur moyenne de l’ondelette Morlet négligeable par
rapport à l’erreur numérique sur le calcul d’une transformée en ondelettes.
a) Partie Réelle b) Partie imaginaire
Figure 2.9 Illustration de la partie réelle (a) et complexe (b) de l’ondelette Morlet mère. Images tirées de: [16]
Dans une analyse en ondelettes, des versions mises à l’échelle et décalées de l’ondelette mère sont employées et définies par l’équation suivante:
ψ𝑎,b= 1 √𝑎ψ(
tadim-b
𝑎 ) , 2.11
où 𝑎 est le facteur d’échelle et b représente le décalage. Le facteur 𝑎 dicte la dilatation ou la contraction de l’ondelette originale. Ce dernier est lié à une fréquence donnée par la relation qualitative décrite au tableau 2.3 [41]:
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Tableau 2.3 Comparaison des caractéristiques liées à l’utilisation d’un 𝑎 grand ou petit.
𝑎 petit ↓
Ondelette compressée ↓
Changements rapides de propriétés du signal analysé
↓
Représentation des hautes fréquences
𝑎 grand ↓
Ondelette dilatée ↓
Changements graduels des propriétés du signal analysé
↓
Représentation des basses fréquences
La transformée en ondelettes d’un signal est la projection de ce signal sur des versions mises à l’échelle et décalées de l’ondelette mère ψ𝑎,b* . Jordan et al. [16] traduisent cela
mathématiquement par: W(𝑎,b)= 1 √𝑎∫ x(t) ∞ -∞ ψ𝑎,b* (tadim-b 𝑎 ) dt, 2.12
où * représente le complexe conjugué et W(𝑎,b) est un coefficient d’ondelette. Le terme 1 √𝑎⁄ est une normalisation qui donne aux versions dilatées de l’ondelette mère la même énergie afin que chaque échelle soit directement comparable avec les autres [40][16]. À cause de la translation de l’ondelette, la transformée en ondelettes résulte en un produit de convolution entre le signal x(t) et l’ondelette d’échelle 𝑎.
La transformée en ondelettes Morlet rapide de Jordan [16][43] est résumée dans la figure 2.10. Le signal temporel, dont la moyenne mobile doit être nulle, est comblé avec des zéros jusqu’à une longueur 2n. Une ondelette d’échelle 𝑎 et contenant N données est générée et comblée par
des zéros jusqu’à la même longueur 2n que le signal. Le point central de l’ondelette est situé au
temps adimensionnel 0. Les FFT du signal x(t) et de l’ondelette sont effectuées avant d’être multipliées ensemble pour faire un produit de convolution dans le domaine fréquentiel. Une FFT inverse de ce produit est appliquée afin d’obtenir les coefficients W(𝑎,b) pour toutes les valeurs possibles de b avec un 𝑎 donné. Si 𝑎 n’est pas égal à 𝑎max, 𝑎 est augmenté et une autre ondelette est générée. Le cycle est alors recommencé jusqu’à l’obtention de 𝑎max.
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Figure 2.10 Diagramme illustrant la procédure d’une transformée en ondelettes [16].
Les équations 2.15 à 2.24, présentées dans le tableau 2.4, sont utilisées afin de définir plusieurs paramètres tels la longueur de l’ondelette, les fréquences associées à chaque valeur de 𝑎 ainsi que toutes les valeurs de 𝑎 calculées. Ces équations découlent principalement de la forme de l’ondelette dans le domaine fréquentiel qui est celle d’une fonction Gausienne (figure 2.11) [42][44]. L’ondelette forme alors un filtre passe-bande.
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Figure 2.11 Ondelette Morlet mère (𝑎=1) dans le domaine fréquentiel dimensionnel où fp est la fréquence crête et fN
la fréquence de Nyquist. Image tirée de: [16].
La fréquence crête, fp sous sa forme dimensionnelle, est liée à une valeur 𝑎 et permet de passer
des axes échelle-temps à fréquence-temps (équation 2.18). La fréquence de Nyquist fN de
l’ondelette est fixée grâce au facteur η et permet de déterminer le nombre de points N que doit contenir l’ondelette. Le facteur η est la proportion entre les normes de l’ondelette mère dans le domaine fréquentiel dimensionnel ψ(f) à fN et fp (équation 2.13). Dans leurs analyses
fréquentielles, Jordan et al. [16] posent η à 0,01 afin de fixer fN. La valeur de η imposée dans
ce projet est de 0,0001, puisque la ressource informatique disponible permettait d’atteindre cette précision.
η=|ψ(fN)𝑎=1| |ψ(fp)𝑎=1|
2.13
Une transformée en ondelettes continue implique une distribution continue de 𝑎. Or, en pratique, pour l’implémenter numériquement, des valeurs discrètes de 𝑎 sont utilisées. Le choix des valeurs 𝑎 dicte la résolution. L’espace adimensionnel Δωpi entre les filtres passe-bande, où
ωpi est la fréquence crête adimensionnelle pour un 𝑎 d’indexe i, n’est pas constant pour un Δ𝑎
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Figure 2.12 Ondelettes Morlet pour différentes valeurs de 𝑎 dans le domaine fréquentiel adimensionnel [16].
Le facteur χ indique le rapport entre la hauteur à laquelle la gaussienne d’un filtre passe-bande pour un 𝑎 d’indexe i croise ωpi+1 et la hauteur maximale de la gaussienne à ω
p
i (équation 2.14)
dans le domaine fréquentiel adimensionnel. χ=ψ(𝑎 iω p i+1) ψ(𝑎iω p i) 2.14
Une valeur de χ près de 1 indique une grande résolution tandis qu’un χ près de 0 indique une résolution pauvre. Dans un exemple visant à analyser les fluctuations de vitesses mesurées dans un sillage durant sa transition vers un régime turbulent, Jordan et al. [16] utilisèrent une valeur de χ égale à 0,9. Dans le cadre d’essais internes, il a été remarqué que cette résolution est satisfaisante face à celle obtenue à des valeurs supérieures de χ. Puisque la ressource information disponible dans le cadre de ce projet le permettait, la valeur de χ a été imposée à 0,95. En utilisant les équations 2.20, 2.22 et 2.24, toutes les valeurs de 𝑎 sont définies.
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Tableau 2.4 Équations utilisées dans la méthode de Jordan et al. [16] lors d’une transformée en ondelettes Morlet.
Variables Équations
Écart-type d’une ondelette Morlet dans le domaine
temporel σt=0,941396 2.15
Demi-durée adimensionnelle d’une ondelette T=3𝑎σt 2.16
Nombre de points contenus par l’ondelette Morlet (Arrondir à la valeur impaire supérieure)
N=2T
π (ωψ+√-2log(η)) 2.17
Fréquence crête dimensionnelle fp
(Δt est le pas de temps du signal physique) fp= Tωψ
πΔtN𝑎 2.18
𝑎max 𝑎max=fp pour 𝑎=1
fp minimum 2.19 𝜔𝑑 pour une ondelette Morlet ωd=-√-2log(χ) 2.20
𝜔𝑝1 pour une ondelette Morlet ωp1=ωψ=5,5 2.21
K K= ωp
1
ωd+ωp1
2.22
Nombre maximal d’échelles imax imax=
log(𝑎max)
log(K) +1 2.23
Valeurs de 𝑎 𝑎i=K(i-1) 2.24
Le spectre de puissance, ou la densité d’énergie, d’une analyse par ondelette est le carré de la norme du coefficient W(𝑎,b) [40][43]:
P(𝑎,b)=|W(𝑎,b)|2. 2.25
Les valeurs obtenues de ce spectre de puissance ne sont cependant pas équivalentes à celles obtenues à partir d’une transformée de Fourier.
Dans un graphique fréquence-temps, pour chaque fréquence, les (N-1)/2 premiers et derniers points ne sont pas représentatifs. Les zones comprenant ces temps sont exclues des représentations graphiques des résultats. La figure 2.13 b) montre ces zones, bornées de lignes noires, à l’aide d’un exemple de spectre de puissance réalisé à partir d’une analyse en ondelette pour un signal x(t) connu tracé en a).
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Figure 2.13 a) Signal temporel x(t), b) Spectre de puissance du signal x(t) réalisé à partir d’une analyse en ondelettes utilisant une ondelette Morlet dont les zones exclues de la représentation graphique sont bornées de lignes noires.
La figure 2.13 montre aussi une diffusion de l’énergie de la fréquence cible vers les fréquences voisines créée artificiellement par la méthode des ondelettes. Cet effet est lié à la plage de fréquence couverte par une ondelette, malgré que cette dernière soit associée à une seule fréquence, la fréquence crête fp (voir figure 2.11). À l’opposé, une fonction sinus peut
représenter qu’une seule fréquence.
x(t) x(t)=0 pour 0s≤t≤1s et 7s≤t≤8s x(t)=sin(30∙2∙π∙t) pour 1s<t≤8s T 8s Δt 0,0002s η 0,0001 χ 0,95 a) Zones exclues b)
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L’annexe A présente la transformée en ondelettes de signaux à fréquences connues afin de valider le programme Matlab procédant à l’analyse. L’annexe B présente le programme Matlab des transformées en ondelettes des signaux analysés à l’annexe A.