3.4 Décompositions de PCC
3.5.2 Les PCC modulo
Etant donné P CCf 2 (N) et un entier M, nous dé nissons le PCC modulo dérivé de P CCf
sur l'intervalle IM = [0 : M 1] par les fonctions FM0 (n) (3.55) et fM0 (n) (3.56).
FM0 (n) = F (n)M (3.55)
f0
M(n) = n FM0 (n) (3.56)
La sortie y(n) du PCC modulo s'obtient alors en fonction de l'entrée x(n) du PCC modulo par la relation (3.57).
8n 2 IM; y(n) = x(n fM0 (n)) (3.57)
Si nous supposons que la longueur M du bloc à traiter est multiple de la période N du PCC, i.e M = mN, il est facile de véri er à partir de l'expression (3.7) que F0 a l'expression (3.58) en
fonction des grandeurs (F ,F ) du PCC initial.
FM0 (n) = N(nN + F (nN)m) + F (nN) (3.58) Nous allons voir à présent que le PCC modulo ainsi dé ni permet de supprimer totalement les eets de bords dans le cas d'un traitement bloc où la taille des blocs est multiple de la période du PCC.
3.5.2.2 Condition d'inversibilité
Nous considérons P CCf 2 (N) ainsi qu'un intervalle IM = [0 : M 1] où M = mN. Si
P CCf 2 e(N) alors la fonction FM0 est bijective de IM dans IM. La preuve de cette proposition
gure dans l'annexe C.12.
Ce résultat est très important puisqu'il signi e que s'il l'on dispose d'un PCC inversible, on sait que le PCC modulo associé sur n'importe quel intervalle IM = [0 : M 1] où M = mN est
bijectif.
D'autre part, nous savons que si un PCC est bloc alors sa fonction F est donnée par l'ex- pression (3.23). On déduit alors en utilisant la relation (3.58) que pour un PCC bloc, nous avons FM0 = F . Dans le cas d'un PCC convolutionnel, les relations (3.24) et (3.58) nous
3.5. EFFETS DE BORDS DANS LE TRAITEMENT BLOC 87
permettent d'écrire l'expression (3.59) de FM0 .
FM0 (n) = N(nN+ F (nN)m) + nN (3.59) Mais nous avons vu que tout P CCf de e(N) se décompose en la cascade P CCf = P CCfb
P CCfc avec (P CCfb; P CCfc) 2 eB(N) ~C(N). Les fonctions fb et fc sont données par les
relations (3.26) et (3.25). Ainsi, dans le cas d'un traitement sur un bloc IM = [0 : M 1] où
M = mN, seule la composante convolutionnelle du PCC est aectée par la dé nition du PCC modulo, la composante bloc restant inchangée. De plus, nous avons les deux résultats suivants pour la caractérisation de Ebord (3.60) et Ebord0 (3.61).
Ebord = n 2 IM = nN+ F (nN) =2 [0 : m 1] (3.60) E0 bord = n FM0 (n) = n 2 Ebord o (3.61) Nous avons ainsi, d'après (3.61), FM0 (Ebord) = Ebord0 . Le PCC modulo permet ainsi par une
opération bijective d'aecter aux valeurs de y(n), pour n 2 Ebord; les échantillons de x(p); pour
p 2 E0 bord.
Nous illustrons ces résultats en utilisant de nouveau le PCC linéaire utilisé au cours de ce chapitre dé ni par une fonction PCC f(n) = knN. Nous choisissons une période N = 5 et un facteur k = 3 qui nous assure l'inversibilité du PCC. Nous désirons travailler sur un intervalle ni I30= [0 : 29]. A n d'éviter les eets de bords, nous utilisons le PCC modulo dont la fonction
F0
30 vaut (3.62) en utilisant la relation (3.58) et où la fonction f0 vaut donc (3.63).
F300 (n) = 5(n5+ 4n556) + 4n5 (3.62) f300 (n) = n 5(n5+ 4n
55)6 4n5 (3.63)
Dans cet exemple, nous trouvons les ensembles (3.64) et (3.65) pour Ebord et Ebord0 .
Ebord = f19; 23; 24; 27; 28; 29g (3.64)
Ebord0 = f1; 2; 3; 6; 7; 11g (3.65)
Nous véri ons alors bien (3.66) que nous avons FM0 (Ebord) = Ebord0 .
FM0 (Ebord) = f1; 2; 6; 3; 7; 11g (3.66)
Les gures 3.14 et 3.15 représentent respectivement les couples de fonctions (F; F0
M) et (f; fM0 )
pour le cas du PCC linéaire f(n) = knN avec (k; N) = (3; 5) et le PCC modulo dérivé pour un traitement bloc sur un intervalle I30= [0 : 29].
88 CHAPITRE 3. CHANGEMENTS D'HORLOGES ET ENTRELACEURS
Représentation des fonctions F et FM0 pour le PCC linéaire
Représentation des fonctions f et fM0 pour le PCC linéaire
3.6 Conclusion
Les changements d'horloge ont été introduits et étudiés par [8] sous forme analogique. Mais le comportement de ces transformations est assez mal connu lorsque l'on s'intéresse à leur forme numérique. Ce chapitre a donc consisté en un essai d'étude des PCC numériques. Une première propriété remarquable est alors qu'il s'avère que l'ensemble des PCC numériques est équivalent
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50
F(n)
F ’
M(n)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 -15 -13 -11 -9 -7 -5 -3 -11 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25f(n)
f ’
M(n)
3.6. CONCLUSION 89
à l'ensemble des entrelaceurs périodiques. D'autre part, nous avons montré que l'ensemble des PCC constituait un sous ensemble des ltres LPTV ce qui fait hériter à l'ensemble des PCC numériques de l'ensemble des propriétés et résultats associés aux ltres LPTV que nous avons présentés dans les deux premiers chapitres. Nous avons ensuite étudié l'inversibilité des PCC et avons pu montrer que l'inversibilité d'un PCC ne dépendait que de la fonction F associée. Ce résultat important nous a permis de proposer une méthode générale pour construire un PCC numérique inversible et de discuter l'inversibilité d'une famille de PCC que nous avons introduits : les PCC linéaires. Nous reviendrons sur cette famille de PCC dans le système d'accès multiple proposé dans le cinquième chapitre.
Nous avons ensuite proposé une étude de la loi de cascade qui constitue une loi interne sur l'ensemble des PCC. Il s'avère alors que l'ensemble des PCC inversibles, complètement caracté- risés par la condition sur F , muni de la loi interne a une nature de groupe. De plus, nous avons introduit et caractérisé deux sous ensembles de PCC que sont les PCC convolutionnels et les PCC blocs inversibles. Il est alors possible de montrer que ces deux sous ensembles munis de la loi interne constituent deux sous groupes de l'ensemble des PCC inversibles.
Ensuite, des considérations de décomposition de PCC ont été abordées. Dans un premier temps, nous avons montré que tout PCC de période N se décomposait en la cascade d'un PCC convolutionnel et d'un PCC bloc de même période N. Ce résultat indique d'une part que les deux groupes des PCC blocs et convolutionnels engendrent l'ensemble des PCC inversibles et d'autre part que l'inversibilité d'un PCC est équivalente à l'inversibilité de sa composante bloc dans cette décomposition puisque sa composante convolutionnelle est toujours inversible. Dans un second temps, nous avons cherché à caractériser la faisabilité de la décomposition d'un PCC N périodique en la cascade de deux PCC de périodes plus petites et premières entre elles. Une condition nécessaire et su sante pour cette décomposition a été trouvée à l'aide d'une étude fréquentielle du problème s'appuyant sur les ltres modulateurs associés à un PCC. Grâce à l'équivalence entre PCC numériques et entrelaceurs périodiques, nous avons ainsi pu décomposer l'entrelaceur Q lignes/P colonnes lorsque Q est premier avec P . Nous reviendrons sur l'intérêt pratique de cette décomposition dans le cinquième chapitre. En n, le cas de l'utilisation d'un PCC dans le cas d'un traitement bloc a été abordé. Un PCC modulo a été proposé pour pallier les eets de bords introduits par la contrainte d'un traitement sur un intervalle ni.
Pour clore ce chapitre, il est nécessaire de revenir sur l'équivalence introduite entre l'en- semble des PCC numériques et des entrelaceurs périodiques. Tout d'abord, cette équivalence a
90 CHAPITRE 3. CHANGEMENTS D'HORLOGES ET ENTRELACEURS
pour conséquence que certains résultats de ce chapitre ne sont pas nouveaux. C'est le cas de la décomposition de tout PCC en la cascade d'un PCC convolutionnel et d'un PCC bloc puisque nos recherches bibliographiques nous ont indiqué qu'un résultat similaire de décomposition a été démontré pour les entrelaceurs par [34]. Mais cette équivalence a aussi pour conséquence de nous fournir une approche originale des entrelaceurs périodiques comme des ltres LPTV. En particu- lier, la formulation fréquentielle de l'eet d'un entrelaceur est nouvelle et ore une nouvelle voie d'étude des entrelaceurs qui n'ont été étudiés que par une approche temporelle. Dans ce chapitre, nous avons ainsi pu caractériser l'entrelaceur lignes/colonnes par ses ltres modulateurs dans le premier paragraphe et nous avons aussi décomposé l'entrelaceur lignes/colonnes grâce à l'étude fréquentielle sur les PCC. Mais cette approche fréquentielle des entrelaceurs sera utile aussi dans le dernier chapitre où nous proposons un système d'accès multiple par étalement.
Chapitre 4
Filtres LPTV et communications
numériques
4.1 Introduction
Ce quatrième chapitre ouvre le volet des applications des ltres LPTV en communications nu- mériques. Celles ci sont nombreuses et se distinguent selon qu'elles utilisent explicitement ou implicitement l'outil LPTV. Les applications implicites couvrent un très large éventail de do- maines si nous considérons la riche famille de transformations qu'englobe la nature LPTV. Nous avons, par exemple, eu l'occasion de voir dans les chapitres précédents que tout entrelacement temporel était déclinable sous la vision LPTV. Il en est de même, encore, pour les applications liées au traitement multicadence du fait de la nature LPTV des opérations de décimation et d'interpolation. Nous choisissons, dans le cadre bibliographique de ce travail, de ne pas dévelop- per ces utilisations implicites de ltres LPTV et de focaliser notre attention sur les utilisations explicites de ces ltres. Ce choix étant fait, nous proposons de présenter ces applications selon que l'utilisation du ltre LPTV relève d'une approche fréquentielle, temporelle ou bien duale. Dans chacune de ces trois parties, nous rappelons brièvement les applications existantes recensées pour ensuite proposer notre contribution personnelle dans la catégorie associée.
Ainsi, la première partie est consacrée aux applications des ltres LPTV associées à une approche fréquentielle. Après avoir introduit la représentation bifréquentielle d'un ltre LPTV, nous présentons brièvement comment celle ci permet d'expliquer l'utilisation de ltres LPTV pour le scrambling fréquentiel ([36], [13]) et comme outil d'étalement spectral quand le ltre est
92 CHAPITRE 4. FILTRES LPTV ET COMMUNICATIONS NUMÉRIQUES
appliqué à un signal suréchantillonné. Cette capacité d'étalement spectral en fait ainsi une solu- tion potentielle pour réaliser un système d'accès multiple par étalement ( [7], [45]) comme nous le verrons dans le dernier chapitre. Notre première contribution dans ce paragraphe fréquentiel est de proposer un système d'étalement sur une large bande tout en excluant une sous bande à la position adaptable. Ce système, en cours de brevet CNES, permet de se prémunir d'interférences volontaires (brouillage à bande étroite) ou involontaires (présence d'autres signaux dans le plan de fréquences de la bande d'étalement). Nous étudions aussi le comportement vis à vis d'un canal additif à bruit blanc gaussien (canal AWGN) des deux familles de ltres LPTV inversibles que nous avons caractérisées dans le second chapitre pour réaliser de l'étalement spectral.
La seconde partie de ce chapitre s'intéresse aux applications des ltres LPTV relevant d'une approche temporelle. Il est un résultat connu [46] que le ltrage d'un signal stationnaire par un ltre LPTV résulte en un signal cyclostationnaire. Cette propriété est exploitée pour l'esti- mation de canal ([39], [40], [41], [43]) à partir de la connaissance de la réponse impulsionnelle du ltre LPTV. Notre contribution personnelle consiste à proposer deux méthodes de réduc- tion de PAPR (Peak to Average Power Ratio) par utilisation des ltres LPTV-LL dans le cas d'un système OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplex). La première méthode suggère d'utiliser une famille de ltres LPTV-LL, et de sélectionner à chaque symbole le ltre donnant le plus faible PAPR. Les résultats sont comparés à une méthode récente similaire qui utilise une famille d'entrelaceurs aléatoires [51] et à la technique de Selective Mapping (SM), ([56], [57]), en terme de réduction PAPR, mais aussi en terme de TEB sur un canal sélectif en fréquence avec bruit additif blanc gaussien. La seconde méthode consiste à insérer un ltre LPTV-LL et un fenêtrage déterministe avant la mise en forme OFDM. La technique de fenêtrage [52] a été proposée récemment comme moyen de diminuer le PAPR, mais au prix d'une dégradation des performances en TEB. L'insertion d'un ltre LPTV-LL conduit aux mêmes performances en terme de réduction de PAPR tout en conduisant à des performances en TEB diérentes pour un canal AWGN. En n, nous proposons une nouvelle formulation LPTV des techniques utilisées traditionnellement dans la réduction de PAPR.
La troisième et dernière partie est, quant à elle, consacrée à l'utilisation des ltres LPTV relevant d'une approche duale, temporelle et fréquentielle à la fois. Cette partie sera abordée très brièvement car nous ne proposons aucune contribution liée à cette approche temps/fréquence.