Les changements d'horloges périodiques

Les changements d'horloges périodiques ont été introduits par [8] sous forme initialement analogique. Leur étude sous forme numérique faisant défaut, nous présentons ici la dénition d'un PCC numérique. Puis, l'appartenance des changements d'horloges périodiques à la famille des ltres LPTV est mise en évidence ainsi que la caractérisation de ces PCC sous les diérentes représentations LPTV introduites dans le premier chapitre. Nous montrons ensuite que la famille des PCC numériques se confond avec un ensemble bien connu en communications numériques qui est l'ensemble des entrelaceurs périodiques. Nous illustrons enn cette équivalence par la

3.2. LES CHANGEMENTS D'HORLOGES PÉRIODIQUES 59

description LPTV de l'entrelaceur Q lignes/P colonnes. 3.2.1 Dénitions et notations

Un changement d'horloge numérique est une transformation dénie par une fonction f de Z dans Z telle que la sortie temporelle y(n) s'obtient en fonction de l'entrée x(n) selon la relation (3.1).

y(n) = x(n f(n)) (3.1)

Un changement d'horloge est dit N périodique si de plus la fonction f(n) est N périodique (3.2). La fonction f sera alors appelée fonction PCC et nous noterons PCCf le PCC associé à

cette fonction.

f(n + N) = f(n) 8 n 2 Z (3.2)

Un changement d'horloge PCCf de période N est entièrement déni par la connaissance de

sa fonction f. Néanmoins, pour la suite, il est utile de dénir les fonctions F; F et F dénies par (3.3) en fonction de f.

F (n) = n f(n) F (n) = F (n)N F (n) = F (n)_N (3.3) La N périodicité (3.2) de la fonction f se traduit alors par les relations (3.4), (3.5) et (3.6) respectivement pour les fonctions F; F et F .

F (n + N) = F (n) + N (3.4)

F (n + N) = F (n) + 1 (3.5)

F (n + N) = F (n) (3.6)

Ces propriétés liées à la périodicité de f nous permettent nalement d'écrire F (n) sous la forme suivante (3.7) pour tout n 2 Z.

F (n) = NnN + NF (n_N) + F (n_N) (3.7) A l'observation de ces diérentes fonctions introduites, il est facile de vérier qu'un PCC est entièrement déterminé par la connaissance de f, ou bien de F ou encore du couple (F ; F ) sur un intervalle de longueur N.

60 CHAPITRE 3. CHANGEMENTS D'HORLOGES ET ENTRELACEURS

3.2.2 Nature LPTV des changements d'horloges périodiques

Par identication des relations de ltrages (1.16) pour un ltre LPTV et la relation (3.1) qui dénit l'eet d'un changement d'horloge sur un signal x(n), il est facile de vérier qu'un PCC de fonction f est un ltre LPTV dont les fonctions de Green associées sont données par (3.8), (3.9) et (3.10).

h(n; m) = (n f(n) m) (3.8)

cn(m) = (m f(n)) (3.9)

rm(n) = (n f(n + m)) (3.10)

Il est donc possible de représenter un changement d'horloge périodique par toutes les répré- sentations commutées ou modulateurs introduites dans le premier chapitre. Parmi celles ci, il est utile pour la suite de remarquer que les ltres SIMO (Figure 1.5) associés à un PCC de fonction f sont donnés par (3.11). Ce résulat s'obtient en utilisant les expressions (3.9) et (1.25).

Cn(z) = z f(n) (3.11)

Parmi les représentations modulateurs du premier chapitre, il est alors possible de représenter un changement d'horloge d'après la gure 1.8. Les ltres Tp(z), comme TFD des ltres SIMO

d'après la relation (A.24), sont alors donnés par la relation (3.12).

Tp(z) = _N1 N 1_X

n=0

W_Npnz f(n) (3.12)

Il est intéressant, enn, de remarquer d'après la relation (3.12) que les ltres modulateurs sont nécessairement des ltres RIF ayant un nombre de coecients non nuls égal au nombre de valeurs distinctes de f(n).

3.2.3 Equivalence entre PCC numériques et entrelaceurs

3.2.3.1 Mise en évidence de l'équivalence entre entrelaceurs et PCC numériques Un entrelaceur est une transformation qui, à un signal d'entrée x(n), associe le signal de sortie y(n) selon la relation (3.13) où la fonction , appelée fonction d'entrelacement, est une fonction de Z dans Z.

3.2. LES CHANGEMENTS D'HORLOGES PÉRIODIQUES 61

Un entrelaceur est dit N périodique si la fonction d'entrelacement  vérie la relation suivante (3.14).

(n + N) = (n) + N 8 n 2 Z (3.14)

A partir des relations (3.13) et (3.1), il est évident qu'un entrelaceur de fonction d'entrelace- ment  est équivalent à un PCC de fonction f. Ces deux fonctions sont alors liées l'une à l'autre par la relation (3.15).

(n) = F (n) = n f(n) (3.15)

Ainsi, grâce à cette équivalence, un entrelaceur peut être représenté par n'importe quelle représentation introduite dans le premier chapitre. Ce résultat permet une approche originale d'un entrelaceur en tant que ltre LPTV particulier. Notamment, l'entrelacement d'un signal x(n) peut être réalisé par N ltrages suivis de modulations fréquentielles selon la gure 1.8. Ce résultat permet d'envisager une approche fréquentielle de l'étude des entrelaceurs puisque l'eet d'un entrelaceur peut être fréquentiellement exprimé par la relation (1.36).

3.2.3.2 Exemple de l'entrelaceur Q lignes/P colonnes

Nous allons illustrer l'équivalence précédente entre PCC numériques et entrelaceurs pério- diques en étudiant l'entrelaceur lignes/colonnes.

3.2.3.2-a Présentation de l'entrelaceur Q lignes/P colonnes

L'entrelacement d'un signal x(n) par l'entrelaceur Q lignes/P colonnes consiste à écrire le signal x(n) dans une matrice de dimension Q  P . L'écriture se fait colonne par colonne, puis le signal de sortie y(n) est obtenu par la lecture ligne par ligne du contenu de la matrice. Le principe de fonctionnement de cet entrelaceur qui est périodique avec une période N = P Q est présenté par la gure 3.1-a.

3.2.3.2-b Fonction PCC de l'entrelaceur Q lignes/P colonnes

En utilisant la décomposition suivante (3.16) sur la base (P; Q) de tout entier n de l'intervalle [0 : N 1], il est facile de vérier que la fonction PCC de l'entrelaceur Q lignes/ P colonnes est donnée par la relation (3.17).

n = P bP;Q(n) + cP;Q(n) avec cP;Q(n) = nP et bP;Q(n) = nPQ (3.16)

62 CHAPITRE 3. CHANGEMENTS D'HORLOGES ET ENTRELACEURS

Fig. 3.1  (a)-Principe de l'entrelaceur Q lignes/P colonnes (b)-Fonction PCC dans le cas (Q; P ) = (3; 4).

La gure 3.1-b propose la représentation de la fonction PCC de l'entrelaceur Q lignes/P colonnes avec (Q; P ) = (3; 4). Dans le cas général, la fonction PCC de l'entrelaceur Q lignes/P colonnes est constituée de Q fonctions anes successives sur des intervalles chacun de longueur P .

3.2.3.2-c Représentation modulateurs de l'entrelaceur Q lignes/P colonnes Il est possible d'après les résultats précédents de représenter l'entrelaceur Q lignes/P colonnes selon la représentation modulateurs de la gure 1.8. Les ltres modulateurs sont calculés à partir de la relation (3.12) et de l'expression (3.17) de la fonction PCC de l'entrelaceur lignes/colonnes. Nous obtenons alors l'expression (3.18) pour ces ltres modulateurs. Les détails de ce calcul se trouvent dans l'annexe C.1.

Tp(f) = exp(j p N) N sin(fP (Q 1)  Qp) sin(f(Q 1) _Np) sin(fQ(P 1)) sin(f(P 1) +_Qp) (3.18) Notons que l'expression (3.18) des ltres modulateurs est calculable par continuité pour les points où elle n'est pas dénie, à savoir les Q 1 valeurs de f qui annulent la fonction sinus au premier dénominateur et les P 1 valeurs de f qui annulent la fonction sinus du second dénominateur. En eet, on vérie que la limite du premier quotient vaut P lorsque le sinus

écriture x(0) x(Q) x(2Q) x(1) x(2) x(Q-1) x(Q(P-1)) x(PQ-1) Q P (a) (b) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -6 -4 -2 0 2 4 6 f(n) lecture n