Dans le cas d'un ltre LIT, la condition d'inversibilité est bien connue et se caractérise par l'absence de racines pour la transformée en z sur le cercle unité. Le ltre inverse est alors stable si de plus aucune racine ne se trouve à l'extérieur de ce cercle. Dans le cas d'un ltre LPTV, nous allons voir que cette condition scalaire se transforme en une condition matricielle ([25], [24]).
2.2.1 Caractérisation de l'inversibilité d'un ltre LPTV numérique
Nous choisissons de présenter le problème de l'inversibilité d'un ltre LPTV en utilisant sa représentation modulateurs (Figure 1.9), puis nous généraliserons le résultat obtenu aux autres représentations dé nies dans le premier chapitre. Rappelons que nous avons vu dans le premier chapitre que les composantes modulateurs des entrées et sorties d'un ltre LPTV étaient liées par
2.2. INVERSIBILITÉ D'UN FILTRE LPTV NUMÉRIQUE 33
l'équation matricielle (2.1). De plus, l'expression de la matrice modulateurs A1;1(z) en fonction
des ltres modulateurs (1.51) se traduit par la forme particulière (2.2) de A1;1(z).
e Y(z)=A1;1(z) eX(z) (2.1) A1;1(z) = 2 6 6 6 6 6 4 T00(z) T0 1(z) : : : TN 10 (z) T0 N 1(zWN) T00(zWN) : : : ... ... ... ... T0 1(zWNN 1) T20(zWNN 1) : : : T00(zWNN 1) 3 7 7 7 7 7 5 (2.2)
Un ltre LPTV est inversible s'il est possible de récupérer les composantes modulateurs eX(z) à partir de eY(z) quelque soit eX(z). Une telle propriété est donc liée à l'existence d'un second ltre LPTV tel que la cascade de ces deux ltres résulte en la matrice identité. Ainsi, nous obtenons la caractérisation suivante pour l'inversibilité d'un ltre LPTV dont une démonstration peut se trouver, par exemple, dans [25].
Un ltre LPTV dé ni par sa matrice modulateurs A1;1(z) est inversible si et seulement si
l'ensemble des racines du déterminant de A1;1(z) sont strictement incluses à l'intérieur du cercle
unité. Une expression de la matrice modulateurs B1;1(z) du ltre inverse est donnée par l'inverse
(2.3) de A1;1(z) où t représente l'opération transposé et com(A1;1(z)) désigne la matrice des
cofacteurs de A1;1(z).
B1;1(z) = (A1;1(z)) 1 = det(AIN1;1(z))com(A1;1(z))t (2.3) Il est utile ici de commenter le résultat (2.3). Tout d'abord, on montre dans l'annexe B.1 que si B1;1(z) existe alors cette matrice possède aussi la forme particulière d'une matrice modulateurs
(2.2) et représente donc bien un ltre LPTV. De plus, il est intéressant de remarquer que la matrice B1;1(z) est constituée par le produit de deux termes. Concernant le premier terme,
on montre, toujours dans l'annexe B.1, que det(A1;1(z)) est nécessairement une fonction de
zN et qu'ainsi ce premier facteur s'avère être la représentation modulateurs d'un ltre LIT de
transformée en z det(A1;1(z)) 1. Quant au second facteur, on montre aussi qu'il représente
la matrice modulateurs d'un ltre LPTV. Une particularité de ce second ltre LPTV est qu'il est RIF si le ltre LPTV initial est RIF. Ainsi, dans le cas général où un ltre LPTV RIF est inversible, le ltre LPTV inverse est un ltre LPTV RII à cause de det(A1;1(z)) 1. Ainsi, le
34 CHAPITRE 2. INVERSIBILITÉ DES FILTRES LPTV NUMÉRIQUES
Nous avons choisi ici de présenter l'inversibilité d'un ltre LPTV en utilisant la représentation modulateurs. Tout autre choix de représentations parmi celles présentées dans le premier chapitre conduit à l'énoncé d'une même caractérisation matricielle de l'inversibilité d'un ltre LPTV. Ces conditions sont toutes équivalentes car les matrices (1.47, 1.48, 1.49 et 1.50) sont liées entre elles par des transformations de TFD ou TFDI inversibles. On véri e ainsi facilement que les déterminants de ces matrices LPTV sont donc des fonctions de z égales les unes aux autres à une constante multiplicative près.
2.2.2 Illustration de l'inversibilité d'un ltre LPTV
Nous allons illustrer la caractérisation de l'inversibilité d'un ltre LPTV par deux exemples simples de ltres LPTV RIF de période 2. Dans le premier cas, nous choisissons deux ltres modulateurs T0
0(z) et T10(z) RIF de degré 1. Dans le second cas, nous choisissons deux ltres
modulateurs T0
0(z) et T10(z) RIF de degré 2. Nous évaluons ensuite dans ces deux cas l'expression
analytique du déterminant de la matrice modulateurs. Dans le cas 2 périodique, le calcul du déterminant reste simple et les expressions obtenues permettent d'établir des conditions sur le choix des ltres a n que le ltre LPTV soit inversible.
2.2.2.1 Filtres modulateurs RIF de degré 1
Nous choisissons les ltres modulateurs de la forme T0
0(z) = 1 + az 1 et T10(z) = 1 + bz 1. La
matrice modulateurs prend alors la forme (2.4) et l'évaluation du déterminant nous donne (2.5).
A1;1(z) = " 1 + az 1 1 + bz 1 1 bz 1 1 az 1 # (2.4) det(A1;1(z)) = z 2(b2 a2) (2.5)
Nous véri ons ici que le déterminant de ce ltre LPTV 2 périodique est bien une fonction de z2. De plus, ce déterminant est un simple retard. Ainsi, d'après la caractérisation précédente, ce
2.2. INVERSIBILITÉ D'UN FILTRE LPTV NUMÉRIQUE 35 modulateurs B1;1(z) (2.6). B1;1(z) = z2 b2 a2 " 1 az 1 1 bz 1 1 + bz 1 1 + az 1 # (2.6)
Il est très intéressant de remarquer que le ltre initial est dé ni par deux ltres modulateurs RIF et que le ltre LPTV inverse résulte en un ltre LPTV RIF aussi. Ce résulat surprenant vient du fait que le déterminant de A1;1(z) est, dans ce cas, un retard pur.
2.2.2.2 Filtres modulateurs RIF de degré 2
Nous illustrons l'inversibilité d'un ltre LPTV, à nouveau de période 2, mais de ltres mo- dulateurs RIF de degré 2, c'est à dire que les ltres modulateurs sont de la forme T0
0(z) =
(1 + az 1)(1 + a0z 1) et T0
1(z) = (1 + bz 1)(1 + b0z 1). Nous obtenons alors pour la matrice
modulateurs l'expression (2.7) et le calcul du déterminant nous conduit à l'expression analytique (2.8). A1;1(z) = " 1 + az 1 1 + a0z 1 1 + bz 1 1 + b0z 1 1 bz 1 1 b0z 1 1 az 1 1 a0z 1 # (2.7) det(A1;1(z)) = z 2 a2a02 b2b02z 2+ b2+ b02 a2 a02 (2.8) On véri e à nouveau que le déterminant de ce ltre LPTV de période 2 est une fonction de z2. La discussion sur l'inversibilité devient déjà plus fastidieuse pour ce ltre LPTV RIF
d'ordre 2. Si a2a02 b2b02 = 0, le ltre LPTV est inversible si et seulement si b2+ b02 a2
a02 6= 0. Sinon, a2a02 b2b02 6= 0 et dans ce cas, le ltre LPTV est inversible si et seulement si
b2+ b02 a2 a02 > a2a02 b2b02 : La matrice modulateurs du ltre LPTV inverse est alors
donnée par (2.9). B1;1(z) = det(A11;1(z)) " 1 az 1 1 a0z 1 1 bz 1 1 + b0z 1 1 + bz 1 1 b0z 1 1 + az 1 1 + a0z 1 # (2.9)
Nous remarquons que dans le cas particulier où a2a02 b2b02= 0 et b2+ b02 a2 a026= 0, le
36 CHAPITRE 2. INVERSIBILITÉ DES FILTRES LPTV NUMÉRIQUES
Ces deux exemples illustrent bien la complexité d'une méthode pour construire un ltre LPTV inversible. Même pour un cas trivial de ltre LPTV RIF de période 2 et de dégré 2, la discussion sur le choix des ltres modulateurs pour assurer l'inversibilité du ltre LPTV devient assez complexe. Nous proposons alors dans le paragraphe suivant une caractérisation de ltres LPTV inversibles basée sur une forme particulière de la matrice modulateurs.