Conclusion

Fig. 2.6  Allure du signal temporel en sortie du ltre LPTV inverse avec N = 40 et p = 2 (cas d'un canal sans bruit et cas d'un bruit additif Gaussien avec Eb

No = 12 dB)

dans le quatrième chapitre que ce n'est pas le seul avantage des ltres LPTV-LL par rapport aux ltres LPTV convolutionnels.

2.5 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons abordé le problème de l'inversibilité des ltres LPTV qui consti- tue un point essentiel et incontournable dès lors que l'on a pour dessein d'utiliser des ltres LPTV dans une chaîne de communications numériques. Nous avons vu que sous l'angle des représenta- tions des ltres LPTV introduites au premier chapitre, cette inversibilité se caractérisait par une condition matricielle. Plus précisément, par analogie avec les ltres LIT, la condition nécessaire et susante d'inversibilité d'un ltre LPTV est identique à celle d'un ltre LIT à la diérence près que la réponse fréquentielle dans le cas d'un ltre LIT est remplacée par le déterminant de la matrice LPTV. Cette loi reste valable quelque soit la matrice choisie pour la représenta- tion du ltre LPTV : matrice modulateurs ou matrice commutée (MIMO, SIMO, MISO). Dans le cas général, vérier l'inversibilité d'un ltre LPTV nécessite ainsi de calculer le déterminant d'une matrice en z. Si cette caractérisation permet pour un ltre LPTV parfaitement connu de vérier l'inversibilité de ce ltre, elle n'ore pas de méthode pour la construction de ltres

3 2 1 0 -1 -2 -3 300 340 380 420 460 500 540 580 620

Echantillons tem porels

V a le u r te m p o re ll e Sortie du filtre LPTV inverse avec bruit

Sortie du filtre L PTV inverse sans bruit

54 CHAPITRE 2. INVERSIBILITÉ DES FILTRES LPTV NUMÉRIQUES

Fig. 2.7  Spectre en entrée et en sortie du ltre LPTV avec N = 40 et p = 2

LPTV inversibles. Peu de travaux ont abordé directement ce problème de construction de ltres LPTV inversibles. C'est pourquoi, il nous a semblé être intéressant et utile d'être en mesure de trouver des méthodes de construction de ltres LPTV inversibles. Ainsi, nous avons proposé une sous famille des ltres LPTV caractérisée par une forme particulière de la matrice modulateurs dont nous avons montré qu'elle était équivalente au fait que les ltres modulateurs ne possèdent qu'une seule composante polyphase non nulle. Le problème de l'inversibilité d'un ltre LPTV N périodique qui est matriciel dans le cas général est alors réduit à un problème d'inversibilité de N ltres LIT. Enn, le lien étroit entre ltres LPTV et bancs de ltres nous a fait nous intéresser à la littérature, riche au demeurant, associée à ces derniers. Grâce à l'équivalence que nous avons introduite dans le premier chapitre entre bancs de ltres et ltres LPTV, nous avons montré que la propriété de reconstruction parfaite d'un banc de ltre est équivalente à l'inversibilité du ltre LPTV équivalent au banc d'analyse. Or, les travaux sur la capacité de reconstruction parfaite des bancs de ltres sont nombreux. Parmi ces travaux, il existe notamment une méthode de construction de bancs de ltres à reconstruction parfaite basée sur les matrices de transfert sans perte. Ainsi, en exploitant l'équivalence entre ltres LPTV et bancs de ltres uniformes, nous avons utilisé cette méthode pour proposer une généralisation à la construction de ltres LPTV inversibles. L'originalité de la sous famille de ltres LPTV obtenue est que si un ltre LPTV de ce sous ensemble est RIF alors son ltre inverse l'est aussi. Nous disposons alors, à l'issue de ce

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 -40 -36 -32 -28 -24 -20 -16 -12 -8 -4 0 Fréquence normalisée D S P

2.5. CONCLUSION 55

second chapitre, de deux méthodes de construction de ltres LPTV inversibles : les ltres LPTV convolutionnels et les ltres LPTV-LL.

Chapitre 3

Changements d'horloges et entrelaceurs

3.1 Introduction

Les changements d'horloges périodiques ou PCC (Periodical Clock Change), introduits par [8] sous une forme analogique, dénissent un sous ensemble particulier des ltres LPTV. Quelques travaux ont par ailleurs utilisé cet outil analogique : [6] propose la génération de ltres LPTV analogiques par la somme de PCC, [7] décrit un système d'accès pour deux utilisateurs basé sur l'utilisation de PCC analogiques ou encore [5] présente une formalisation PCC des accès multiples traditionnels TDMA (Time Division Multiplex Access), FDMA (Frequency Division Multiple Access), CDMA (Code Division Multiplex Access). Cependant, les propriétés de ces PCC une fois numérisés sont jusqu'à présent mal connues. Ce chapitre propose donc une étude théorique de cette famille de transformations numériques. Les conditions d'inversibilité d'un PCC numérique sont notamment discutées. Cette caractérisation de l'inversibilité permet entre autres de proposer une méthode générale pour la construction de PCC inversibles. D'autre part, il est établi qu'une structure de groupe peut être dénie sur l'ensemble des PCC inversibles si l'on munit ce dernier d'une loi interne dénie par la loi de cascade. On montre de plus qu'il est possible de dénir deux sous ensembles qui ont la propriété d'engendrer la famille des PCC grâce à la loi interne. Ensuite, étant donné un PCC, diérents types de décompositions sont discutés. Ce chapitre se termine par la considération du cas pratique des traitements blocs. Les eets de bords induits par ce type de traitements sont ainsi présentés et une solution pour

58 CHAPITRE 3. CHANGEMENTS D'HORLOGES ET ENTRELACEURS

les contrecarrer est proposée.

Un résultat fondamental de ce chapitre est que l'ensemble des PCC numériques se confond en réalité avec l'ensemble des entrelaceurs. Ainsi, outre l'intérêt de mieux connaître l'ensemble des PCC, ce chapitre ore une nouvelle approche de la famille des entrelaceurs qui n'ont jamais été étudiés avec le formalisme LPTV. S'il est vrai que les PCC, utilisés en tant que tels, demeurent un outil encore somme toute marginal, les entrelaceurs quant à eux sont utilisés dans un large éventail d'applications (dispersion temporelle lorqu'un entrelaceur est associé à un codage convolutionnel, dispersion fréquentielle dans le cas par exemple de l'OFDM de la norme DVBT et surtout récemment dans les turbo codes). En appliquant les résultats de ce chapitre aux entrelaceurs, on retrouve certaines propriétés déjà démontrées auparavant dans l'étude d'entrelaceurs comme la décomposition bloc/convolutionnel d'un entrelaceur [34]. Les autres résultats, par contre, sont nouveaux comme par exemple l'étude de la décomposition d'un entrelaceur en la cascade de deux entrelaceurs de plus petites périodes.

Le premier paragraphe présente les PCC numériques ainsi que l'équivalence entre PCC nu- mériques et entrelaceurs. Dans le second paragraphe, une structure de groupe de l'ensemble des PCC numériques muni d'une loi interne est proposée et deux sous groupes particuliers sont dé- nis : les PCC blocs et les PCC convolutionnels. Dans le troisième paragraphe, il est montré dans un premier temps que les sous groupes précédemment dénis engendrent l'ensemble des PCC avec la loi de cascade. Dans un second temps, le problème de la décomposition d'un PCC en la cascade de deux PCC de périodes inférieures est discuté à l'aide de la représentation modulateurs des PCC. Enn, le dernier paragraphe aborde le problème des eets de bord induits par un PCC dans le cas d'un traitement bloc et propose une solution pour remédier à ce phénomène.