Décomposition d'un PCC en la cascade de deux PCC de périodes inférieures

Nous venons de voir que tout élément de ~(N) est décomposable en la cascade de deux PCC blocs et convolutionnels de même période N. Dans cette partie, nous nous intéressons à un problème diérent de décomposition, qui est la possibilité de décomposer un PCC de période N en la cascade de deux PCC de périodes plus petites P et Q premières entre elles. Pour discuter la faisabilité d'une telle décomposition, nous abordons le problème en utilisant la représentation modulateurs de la gure 1.8 des PCC. Cette approche nous permet de projeter le problème initialement temporel dans le domaine fréquentiel. Nous verrons que cet outil fréquentiel présente le grand intérêt de nous conduire à un système d'équations qui sépare les grandeurs liées aux deux PCC de la décomposition.

Nous commencerons par présenter une condition arithmétique nécessaire entre P; Q et N pour qu'une telle décomposition soit possible. Sous cette condition arithmétique, nous allons voir que la formulation du problème projeté dans le domaine fréquentiel nous conduit à deux conditions nécessaires sur la fonction f du PCC à décomposer et que le couple de ces deux conditions

3.4. DÉCOMPOSITIONS DE PCC 81

nécessaires conduit à une CNS pour la faisabilité de la décomposition. Grâce à l'équivalence entre PCC numériques et entrelaceurs, nous appliquerons ce résultat au cas particulier de la décomposition de l'entrelaceur lignes/colonnes.

3.4.2.1 Formulation du problème

Nous considérons P CCf un PCC inversible et nous appelons N la plus petite période de

P CCf. Nous cherchons un couple (P CCh; P CCg) 2 ~(Q)  ~(P ) tel que P < N, Q < N et

P CCf = P CCh P CCg. D'après la dénition (3.19) de la loi de cascade, nous cherchons donc

deux fonctions h et g respectivement Q et P périodiques qui vérient la relation suivante (3.41).

f(n) = g(n) + h(n g(n)) (3.41)

3.4.2.2 Condition arithmétique nécessaire

Nous avons vu dans la dénition de la loi de cascade qu'une période de la cascade de deux PCC de périodes respectives P et Q est P P CM(P; Q). Or, nous avons appelé N la plus petite période du PCC à décomposer. Nous en déduisons donc que N divise nécessairement P P CM(P; Q). Notre but est de trouver une décomposition (3.41) avec des périodes P et Q les plus petites possibles. Nous choisissons alors de nous placer dans l'hypothèse où P P CM(P; Q) est le plus petit entier que divise N (i.e N = P P CM(P; Q)) et où P et Q sont premiers entre eux (i.e P ^ Q = 1). Sous cette hypothèse, la condition arithmétique nécessaire pour la décomposition devient (3.42).

P Q = N et P ^ Q = 1 (3.42)

3.4.2.3 Résolution par projection du problème dans le domaine fréquentiel

Nous n'expliquons ici que les grandes lignes du raisonnement et des calculs qui permettent de résoudre le problème initial, le détail se trouvant dans l'annexe C.10. Il est nécessaire néanmoins d'introduire au préalable la dénition suivante (3.43) de la fonction .

 [0; Q 1]  [0; P 1] ! [0; N 1] (3.43)

(q; p) ! (q; p) = qP + pQ_N

En utilisant l'hypothèse que P ^Q = 1, il est facile de vérier que cette fonction  est bijective et nous notons  1_{(n) = (q}

82 CHAPITRE 3. CHANGEMENTS D'HORLOGES ET ENTRELACEURS

Le principe de la méthode consiste à projeter l'équation (3.41) dans le domaine fréquentiel en calculant la TFD de part et d'autre de cette équation sur N points temporels, en remar- quant que le terme h(n g(n)) dans cette équation correspond à l'application de P CCg à la

série temporelle h(n). Pour évaluer fréquentiellement l'eet de cette application de P CCg sur la

série temporelle h(n), nous allons utiliser la relation (1.35) qui exprime l'eet fréquentiel d'un PCC. Nous notons pour cela fTpg(z)g_{0pN 1} les ltres modulateurs associés à P CCg considéré

comme un PCC N périodique ainsi que fFk; Gk; Hkg0kN 1 les TFD des séries temporelles

ff(n); g(n); h(n)g_{0nN 1} considérées aussi comme N périodiques. Il est possible de montrer (cf annexe C.10) que le fait de considérer les séries temporelles g(n) et h(n) respectivement P et Q périodiques comme des séries N = P Q périodiques implique que seuls les coecients de TFD fGQkg_{0kP 1} et fHP kg0kQ 1 sont non nuls. Nous obtenons ainsi l'expression fréquentielle

(3.44) équivalente à l'expression temporelle (3.41).

Fk = (kQ)G_QkQ+ T_Qpg k(W

P qk

N )HP qk; 8 k 2 [0 : N 1] (3.44)

L'expression fréquentielle (3.44) a l'avantage par rapport à l'expression temporelle de la décomposition de permettre, par un choix approprié des valeurs de k, de séparer les grandeurs fGQkg_{0kP 1} et fHP kg0kQ 1 qui dénissent entièrement les PCC de fonction g et h. En

exploitant cette relation fréquentielle, nous obtenons deux conditions nécessaires sur la fonction f pour l'existence de la décomposition (3.41). Les deux conditions nécessaires dont la réunion sous l'hypothèse arithmétique (3.42) constitue une condition susante sont les suivantes.

CN 1 : Si P CCf, de période N, admet la décomposition (3.41) avec l'hypothèse arithmétique

(3.42), alors 8 p 2 [0 : P 1], Q divisePQ 1_m=0f(p + mP ).

CN 2 : Si P CCf, de période N, admet la décomposition (3.41) avec l'hypothèse arithmétique

(3.42), alors 8 k 2 [0 : N 1] tel que qk 6= 0, le rapport _A(pF_kk_;qk) est indépendant de pk où

(qk; pk) =  1(k) et A (pk; qk) est déni par la relation suivante (3.45). Nous notons (qk) ce

rapport indépendant de pk lorsque cette condition nécessaire est vériée.

A(pk; qk) = _P1 P 1_X m=0 Wpkm P W qk PP 1 n=0 f(m+nP ) Q Q (3.45)

Si les deux conditions CN 1 et CN 2 sont vériées, le PCC de fonction f est décomposable selon la relation (3.41) et une solution (P CCh0; P CCg0) 2 ~(Q) ~(P ) pour cette décomposition

3.4. DÉCOMPOSITIONS DE PCC 83

est donnée par (3.46) et (3.47).

g0(n) = _Q1 N 1_X m=0 f(n + mP ) (3.46) h0(n) = _N1 Q 1_X q=1 (q)W_Qqn (3.47)

Cette solution (P CCh0; P CCg0) n'est pas unique. En eet, nous montrons qu'il existe une

innité de couples (P CChj; P CCgj) 2 ~(Q)  ~(P ) admissibles pour la décomposition (3.41).

Ces couples solutions sont donnés par les relations (3.48) et (3.49).

gj(n) = g0(n) j (3.48)

hj(n) = j + h0(n j) (3.49)

3.4.2.4 Application à la décomposition de l'entrelaceur lignes/colonnes en la cascade de deux PCC de périodes inférieures

En utilisant le résultat précédent, nous montrons dans l'annexe C.11, grâce à l'équivalence entre PCC et entrelaceurs, que l'entrelaceur Q lignes/P colonnes avec P ^Q = 1 est décomposable en la cascade de deux PCC Q et P périodiques. Les fonctions (P CChj; P CCgj) 2 ~(Q)  ~(P )

de la décomposition sont alors données par les expressions (3.50) et (3.51) où P0 _{est le coecient}

de Bézout appartenant à [0 : P 1] tel que P P0_{+ QQ}0 _{= 1 (où Q}0 _{est un entier relatif) et}

b0 _{= P}0 (P 1)(Q 1)

2 _Q.

gj(n) = (P 1)(Q 1)₂ (Q 1)nP j (3.50)

hj(n) = j (P 1)(Q 1)₂ + (P 1)P0(n j) + b0_Q (3.51)

La gure 3.12 propose les couples (h0; g0) et (h5; g5) admissibles pour la décomposition de

l'entrelaceur Q lignes/P colonnes dans le cas où Q = 8 et P = 21. L'intérêt de cette décomposi- tion, autre que théorique, reste ouvert à la discussion, mais nous reviendrons dans le cinquième chapitre sur une application possible pour la synchronisation de notre système d'accès multiple.

84 CHAPITRE 3. CHANGEMENTS D'HORLOGES ET ENTRELACEURS

Fig. 3.12  Illustration de la décomposition de l'entrelaceur Q lignes/P colonnes avec (Q; P ) = (8; 21)

3.5 Eets de bords dans le traitement bloc