Inversibilité d'un PCC

Dans un contexte de communications numériques, pour les mêmes raisons que dans le cas général de l'utilisation de ltres LPTV, il est nécessaire d'étudier l'inversibilité d'un PCC. Il est possible pour cela de caractériser la forme particulière des matrices LPTV ((1.42)-(1.45)),

0 1 2 3 4 5 9 5 1 -3 -7 fo n cti o n P C C f(n) g(n) 0 1 2 3 4 5 -11 -7 -3 1 5 9 13 fo n ct io n P C C (g f)(n)

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66 CHAPITRE 3. CHANGEMENTS D'HORLOGES ET ENTRELACEURS

puis d'appliquer la condition matricielle nécessaire et susante d'inversibilité des ltres LPTV proposée au début du second chapitre. Nous choisissons ici de présenter une approche temporelle portant directement sur l'étude des fonctions f, F et (F ; F ) dénies par la relation (3.3). Nous établissons alors une première condition nécessaire et susante sur la fonction F qui caractérise l'inversibilité du PCC. Puis, grâce à l'exploitation de la périodicité de f, nous obtenons une se- conde condition nécessaire et susante sur F équivalente à l'inversibilité du PCC. Nous illustrons ensuite l'intérêt de ces résultats par la présentation d'une méthode générale de construction de PCC inversibles ainsi qu'une discussion sur l'inversibilité d'une famille particulière de PCC que nous appelons PCC linéaires.

3.3.2.1 Conditions d'inversibilité

Etant donné P CCf, un PCC de période N, nous dénissons ce PCC comme étant inversible

s'il existe un second PCC noté P CCf0 de période N tel que P CC_fP CC_f0 = P CC_e. Autrement

dit, en utilisant la relation (3.19), la fonction f0 _{doit vérier la relation (3.20).}

8n 2 Z ; f0_{(n) + f(n f}0_{(n)) = 0 (3.20)}

En utilisant cette dénition de l'inversibilité d'un PCC, une première condition nécessaire et susante (CNS 1) portant sur la fonction F sur Z peut être établie pour l'inversibilité d'un PCC. Mais l'exploitation de la périodicité du PCC nous permet d'établir une seconde condition nécessaire et susante (CNS 2) ne portant que sur la fonction F sur un intervalle de longueur N. Ces deux conditions nécessaires et susantes, dont les démonstrations se trouvent dans les annexes C.2 et C.3, sont les suivantes.

Condition Nécessaire et Susante 1 :

Etant donné P CCf 2 (N), ce PCC est inversible si et seulement si la fonction F dénie

par la relation (3.3), F (n) = n f(n), est bijective sur Z. Condition Nécessaire et Susante 2 :

Etant donné un PCC caractérisé par une fonction F dénie par la relation (3.3), la fonction F est bijective sur Z si et seulement si la fonction F dénie par (3.3), F (n) = F (n)_N, réalise une bijection de l'intervalle [0 : N 1] dans lui même.

La conséquence principale de la CNS 2 est que l'inversibilité d'un PCC ne dépend que de la fonction F et se trouve donc être indépendante de F dénie en (3.3). De plus, l'étude de

3.3. STRUCTURE DE GROUPE DE L'ENSEMBLE DES PCC 67

l'inversibilité d'un PCC se réduit à une étude sur un intervalle de longueur N et consiste à vérier que la fonction F réalise une permutation sur l'intervalle [0 : N 1].

3.3.2.2 Utilisation de la caractérisation de l'inversibilité d'un PCC

Nous allons illustrer l'intérêt de la CNS 2 précédente. Tout d'abord, nous allons voir qu'elle ore une méthode générale pour construire un PCC inversible. Puis, dans un second temps, nous dénissons la famille des PCC linéaires caractérisés par une fonction f(n) = kn_N et nous allons montrer que cette CNS 2 nous permet de discuter les valeurs de k équivalentes à l'inversibilité du PCC linéaire associé.

3.3.2.2-a Méthode générale de construction de PCC inversibles

D'après la CNS 2, la construction d'un PCC inversible est équivalente à dénir F comme une permutation sur [0 : N 1]. Remarquons que le nombre de permutations possibles sur l'ensemble [0 : N 1] est égal à N!. Ensuite pour un choix donné de F , le choix de F est totalement libre sur l'intervalle [0 : N 1]. L'ensemble des PCC inversibles de période N est donc inni si aucune condition particulière n'est imposée au PCC. Nous illustrons cette construction générale par l'exemple de PCC de période 6. Pour le choix d'une permutation particulière F , nous générons deux PCC diérents par deux choix distincts de F1 et F2 pour F . Nous en déduisons alors

les deux fonctions PCC, f1(n) et f2(n); des deux PCC inversibles ainsi construits. Cet exemple

particulier de génération de PCC inversibles de période 6 est résumé dans le tableau 3.1 suivant.

n 0 1 2 3 4 5 F (n) 2 3 5 0 1 4 F1(n) 1 1 1 0 2 0 F2(n) 1 0 0 1 2 1 f1(n) 8 4 3 3 9 1 f2(n) 8 2 3 3 15 5

Tableau 3.1 : Génération de PCC inversibles 3.3.2.2-b Discussion de l'inversibilité des PCC linéaires

Nous dénissons la famille des PCC linéaires de période N par une fonction PCC de la forme f(n) = kn_N. Ainsi déni, il n'est pas évident de discuter l'inversibilité de tels PCC. Mais en appliquant la CNS2, nous allons obtenir directement la caractérisation des PCC linéaires

68 CHAPITRE 3. CHANGEMENTS D'HORLOGES ET ENTRELACEURS

inversibles. En eet, si nous calculons la fonction F associée à un PCC linéaire pour n 2 [0 : N 1], nous obtenons l'expression suivante (3.21).

F (n) = n f(n)_N = (1 + k)n_N (3.21)

Or, il est un résultat classique d'algèbre que 1 + k est un élément générateur de l'ensemble ni Z=NZ (i.e l'ensemble des N premiers entiers) si et seulement si (1 + k) et N sont premiers entre eux. Ainsi, d'après la forme (3.21) de F , en utilisant l'énoncé de la CNS 2, on en déduit qu'un PCC linéaire de fonction f(n) = kn_N est inversible si et seulement si (k + 1) ^ N = 1. Nous verrons dans le prochain paragraphe sur la décomposition des PCC comment déterminer la fonction du PCC inverse.

Nous illustrons ce résultat par un exemple numérique. A cet eet, nous choisissons une période N = 6. Nous construisons le PCC linéaire de fonction f1 avec k1 = 3 ainsi que le PCC linéaire

de fonction f2 de coecient k2 = 4. Ensuite, nous calculons F1 et F2, la fonction F associée à

ces deux PCC. On vérie bien alors que le premier PCC n'est pas inversible puisque F₁ n'est pas une permutation de [0 : 5], ce que nous savions déja puisque (k1+ 1) = 4 n'est pas premier

avec N = 6. Quant au second PCC, il est inversible puisque F₂ est une permutation de [0 : 5], ce que nous savions aussi puisque (k2+ 1) = 5 est premier avec N = 6. Ces résultats numériques

sont résumés dans le tableau 3.2 suivant.

n 0 1 2 3 4 5

f1(n) 0 3 6 9 12 15

f2(n) 0 4 8 12 16 20

F₁(n) 0 4 2 0 4 2

F₂(n) 0 5 4 3 2 1

Tableau 3.2 : Génération de PCC linéaires