Paires de diviseurs ∆ onvenables

Commençons parse donner un ahier des harges. On souhaite disposer des propriétés suivantes.

(a)

Onaimeraitqueles odesdiérentiels onstruitsàpartirde

∆

,

G

etdu ouple

(Da, Db)

n'aientpasune oordonnéesystématiquementnulle.Onsouhaiteraitdon quepourtout point

P

appartenantausupportde

∆

,ilexisteune se tionde

Ω

2_{(G − D)}

quin'annule pasl'appli ationres

2

Da,P

.

(b)

Notrebutestégalementd'obtenirunerelationd'orthogonalitéentreles odes

CL,S(∆, G)

et

CΩ,S(∆, Da, Db, G)

.Pour efaire,nousallonsutiliserlatroisièmeformuledesrésidus (théorèmeI.7.11) et adopterune démar hepro hede elle qui est utiliséedansle as des ourbes.

1

Onasignaléense tionII.3.1que

∆

jouaitlerledudiviseur

D

dansle asdes ourbes.Enréalité,dans le asdes odesdiérentielssurdessurfa esdeuxobjetsdedimensiondiérenteendossentlerlejouéparle diviseur

D

dansle asdes ourbes.Ilyad'un téle

0

- y le

∆

etd'unautrelapairedediviseurs

(Da, Db)

.

Ladénitionsuivante répondà e ahierdes harges.

Dénition II.3.5. Soient

Da

et

Db

deux diviseurs sur

S

dont les supports n'ont pas de omposanteirrédu tible ommuneetsoit

D

lediviseur

D := Da+ Db

.Lapaire

(Da, Db)

est dite

∆

- onvenablesiellevérieles onditions suivantes.

(i)

Pour toutpoint

P

de

S

,l'appli ation res

2

Da,P

: Ω2(−D)P

→ Fq

est

O

S,P

-linéaire. On rappelleque

Ω

2_(−D)

P

désignelabreen

P

dutiréenarrièresur

S

dufais eau

Ω

2_(−D)

(ii)

L'appli ation res

2

Da,P

dénie i-dessusest surje tivepour toutpoint

P

appartenant au supportde

∆

etnullepour toutautrepointde

S

.

Attention.MêmesilespropriétésrequisesdansladénitionII.3.5sontd'ordregéométriques, 'est-à-direqu'elles on ernent

S

,lesdiviseurs

Da

et

Db

sontrationnels, 'est-à-diredénis sur

Fq

.

Remarque II.3.6. Lastru turede

O

S,P

-module de

Fq

est induitepar l'appli ation d'éva- luation

f → f (P )

. Aussi, la ondition

(i)

signie que pour toute fon tion

f

régulière au voisinage de

P

ettoutgerme de

2

-forme

ω

appartenant à

Ω

2_(−D)

P

,ona res

2

Da,P(f ω) = f (P )

res

2

Da,P(ω).

Notonségalementquesi

(Da, Db)

vérie

(i)

,alorsl'appli ationres

2

Da,P

s'annulesur

m

S,PΩ2(−D)P

. Remarque II.3.7. Par unraisonnement analogue à elui qui est utilisé dans la remarque II.3.3, on montre aisément que si

(Da, Db)

est

∆

- onvenable, alors l'appli ation res

2

Db,∆

vérie les mêmes propriétés de

O

S

-linéarité que res

2

Da,∆

. Par onséquent la notion de

∆

- onvenan eestsymétrique.

(Da, Db)

est

∆

- onvenable

⇐⇒ (Db, Da)

est

∆

- onvenable

.

Nousallons maintenant donnerune ritèrede

∆

- onvenan e faisant intervenirdes pro- priétés d'interse tionentreles omposantesdesdiviseurs

Da

et

Db

.

PropositionII.3.8(Critèrede

∆

- onvenan e). Soit

(Da, Db)

unepairedediviseursdontles supportsn'ontpasde omposanteirrédu tible ommuneetsoit

D

la sommede esdeuxdivi- seurs.Si

Da

et

Db

vérientles onditionssuivantes,alorslapaire

(Da, Db)

est

∆

- onvenable. (1) Pour tout

P

appartenant au support de

∆

, il existe une ourbe irrédu tible

C

dénie

sur

Fq

,lisse en

P

telleque,surunvoisinage

U

de

P

onait

Da+_|U= C ∩ U

ou

Db

+

|U

= C ∩ U

et

mP(C, D − C) = 1.

(2) Pourtoutpointgéométrique

P

de

S

n'appartenant pasausupport de

∆

,alors l'undes diviseurs

D∗= Da

ou

D∗= Db

vérieles onditionssuivantes.Pourtoute omposante

Fq

-irrédu tible

C

de

D

+

∗

ontenant

P

,on a: (a) la ourbe

C

estlisse en

P

;

(b) la ourbe

C

apparaît dans la dé omposition de

D∗

en ombinaison

Z

-linéaire de omposantes

Fq

-irrédu tiblesave le oe ient

1

;

( )

mP(C, D − C) ≤ 0

.

Remarque II.3.9. Ce ritère, quoiquete hniqueprésenteunavantagemajeur,ilpermetde onstruire despaires de diviseurs

∆

- onvenables. La preuve de la proposition II.4.7 fournit unalgorithmede onstru tiond'unepaire

∆

- onvenableétantdonnéun

0

- y le

∆

(voiraussi remarqueII.4.8).

Avantde fournirune démonstrationde ette proposition,nous allonsfaire quelquesre- marques. Nous donnerons ensuite quelques illustrations pour tenter de se développer une

RemarqueII.3.10. Dansla ondition(2)delapropositionII.3.8,lefaitque

D∗

soit

Da

ou

Db

dépenddupoint

P

.End'autrestermes,en haquepoint

P

de

S

évitantlesupport de

∆

, les onditions(2a), (2b)et(2 )doiventêtrevériéessoit par

Da

,soit par

Db

.Parailleurs, lediviseur

D∗

peut-êtrenulauvoisinage de

P

( 'est d'ailleurs equi arrive enpresquetout pointde

S

).Dans e as,les onditions(2a),(2b)et(2 )sonttrivialementvériées.Defait, siau voisinage d'unpoint

P

de

S

,l'un desdiviseurs

Da

ou

Db

est nul, 'est eluique l'on hoisitpourjouerlerlede

D∗

.Celapermetdeserameneràunnombrenidevéri ations.

Danstout equisuivranousutiliseronsle odede ouleurssuivant.

D+

a

Da−

D_b+

D_b−

Nous allons illustrer les onditions du ritère. Pour e faire, nous allons représenter des situations dans lesquelles es situations sont vériées et d'autresdans lesquelles elles ne le sont pas.Ces onditionssont lo ales.Nous allonsdon présenterdeux séries degures. La premièresérie orrespondauvoisinaged'unpointdusupportde

∆

etlase ondeauvoisinage d'unpointgéométriquede

S

non ontenudanslesupportde

∆

.

En un point

P

du support de

∆

. Dans le tableau qui suit, les gures de la olonne de gau he représentent des situations où la ondition (1) du ritère est vériée. Dans e tableau ainsique dans elui qui suit, onsupposeque les ourbesreprésentéesapparaissent dansl'expressionde

Da

(resp.de

Db

)ave oe ient

1

.

Vériées Non vériées

P

P

_P

P

_P

Enunpoint

P

n'appartenantpasausupportde

∆

.Lesguresdela olonnedegau he représententdessituationsoules onditions(2a),(2b)et(2 )sontvériées.Dansla olonne dedroiteellenelesontpas.

Vériées Nonvériées

P

P

P

P

P

_P

Remarque II.3.11. Le dernier exemple de la olonne de gau he peut surprendre. Pour le omprendre, on pourraseréféreràla remarqueII.3.10.

Ladémonstrationdelaproposition II.3.8né essitelelemme etle orollairequisuivent.

LemmeII.3.12. Soient

C

une ourbe

Fq

-irrédu tibleplongéedans

S

et

P

unpointlisse de

C

.Soit

ω

une

2

-formesur

S

admettantunple simplelelong de

C

.Alors, le

1

-résidu de

ω

lelongde

C

vérie

val

P(

res

1

C(ω)) = mP(C, (ω) + C).

Remarque II.3.13. On déduit de e lemme que le diviseur

(

res

1

C(ω))

sur

C

est égal à

i∗_{((ω) + C)}

,où

i

désignel'inje tion naturelle

i : C ֒→ S

.Cette relationestutiliséeparSerre dans[Ser59 ℄IV.8 lemme2, pour démontrer laformule d'adjon tion.

Preuve dulemmeII.3.12. Soient

ϕ, ψ

et

v

deséquationslo alesrespe tivesdesdiviseurs

(ω) + C
+, (ω) + C
−

et

C

auvoisinagede

P

.Soit

u

unélémentde

Fq(S)

telque

(u, v)

soitune

(P, C)

-paireforte.Ilexisteunefon tion

h

sur

S

régulièreetinversibleauvoisinage de

P

telle que

ω = hϕ

ψdu ∧

dv

v

.

Le

1

-résidude

ω

lelongde

C

est

¯h ¯ϕ ¯ψ

−1_d¯u

et

¯h

estunefon tionsur

C

régulièreetinversible auvoisinagede

P

.Par onséquentlavaluation en

P

de

¯hd¯u

estnulleet

val

P(

res

1

C(ω)) =

val

P( ¯ϕ) −

val

P( ¯ψ).

Deplus,

mP(C, (ω) + C) = mP(C, ((ω) + C)+) − mP(C, ((ω) + C)−).

(II.1) Onutiliseensuiteladénition delamultipli itéd'interse tion,

mP(C, ((ω) + C)+) = dimF_qOS,P/(ϕ, v) = dimF_qOC,P/( ¯ϕ) =

val

P( ¯ϕ).

(II.2)

Demême,

mP(C, ((ω) + C)−) =

val

P( ¯ψ).

(II.3) En inje tant les résultats de (II.2) et (II.3) dans l'expression (II.1), on obtient le résultat

CorollaireII.3.14. Soient

C

une ourbe

Fq

-irrédu tibleplongée dans

S

et

P

unpointlisse de

C

.Soit

ω

une

2

-formesur

S

telleque

val

C(ω) ≥ −1

et

mP(C, (ω) + C) ≥ −1.

Alors, pourtoutefon tionrationnelle

f

sur

S

régulièreauvoisinage de

P

,ona res

2

C,P(f ω) = f (P )

res

2

C,P(ω).

Preuve. Soient

(u, v)

une

(P, C)

-paireforteet

f

unefon tionrationnellesur

S

régulièreau voisinagede

P

. Ilexiste une fon tion rationnelle

ψ

sur

S

régulièreau voisinagede

C

telle que

ω = ψdu ∧dv

v

.

Posons

µ :=

res

1

C(ω) = ¯ψd¯u.

Comme

ω

estdevaluationsupérieureà

−1

et

f

devaluationpositivelelongde

C

,ona res

1

C(f ω) = ¯f µ.

D'aprèslelemmeII.3.12,lavaluationde

µ

en

P

est supérieure ouégaleà

−1

,don res

P( ¯f µ) = ¯f (P )

res

P(µ)

=⇒

res

2

C,P(f ω) = f (P )

res

2

C,P(ω).

Preuve dela propositionII.3.8. Soit

(Da, Db)

unepairedediviseursvériantle ritère, 'est-à-dire les onditions (1), (2a), (2b) et (2 ) de la proposition II.3.8. Montrons qu'elle vériealorsles onditions

(i)

et

(ii)

deladénitionde

∆

- onvenan e.

Condition

(i)

.Soient

P

unpointappartenantausupport de

∆

et

ω

ungermede

2

-forme appartenant à

Ω

2_(−D)

P

. D'après la ondition (1), il existe une ourbeirrédu tible

C

qui est égaleà

D

+

a

ou

D

+

b

auvoisinagede

P

.D'aprèslaremarqueII.3.7,onpeutsupposersans pertedegénéralitéque

C

est égaleà

D

+

a

auvoisinagede

P

.Defait, res

2

Da,P(ω) =

res

2

C,P(ω).

Deplus,lamultipli itéd'interse tion en

P

de

C

et

Db

estinférieureà

1

don

mP(C, (ω) + C) ≥ −1.

Ainsi, ommela

2

-forme

ω

estdevaluationsupérieureouégaleà

−1

lelongde

C

,d'aprèsle orollaireII.3.14,l'appli ationres

2

C,P

(don res

2

Da,P

)restreinteà

Ω

2_(−D)

P

est

O

S,P

-linéaire. Condition

(ii)

.Soit

P

unpoint de

S

horsdu support de

∆

. En ore d'aprèsla remarque II.3.7, onpeut supposer que le

Da

est le diviseur

D∗

de la ondition (2) de laproposition II.3.8.Par onséquent,toute omposante

Fq

-irrédu tible

C

dusupport de

D

+

a

ontenant

P

est lisseen epoint,apparaîtdans

Da

ave le oe ient

1

etvérie

mP(C, D − C) ≤ 0.

(II.4)

Soient

C

une telle omposanteet

ω

ungerme de

2

-forme appartenantà

Ω

2_(−D)

P

.D'après la ondition(2b),

ω

estdevaluationsupérieureouégaleà

−1

lelongde

C

.D'aprèslelemme II.3.12,l'inégalité(II.4)entraînequele

1

-résidures

1

C(ω)

de

ω

le longde

C

estde valuation positiveen

P

.Defait,le

2

-résidude

ω

en

P

lelongde

C

estnul.Cetteassertionestvalable pourtoute omposante

Fq

-irrédu tiblede

D

+

a

auvoisinagede

P

,d'aprèsladénitionI.7.10, onendéduitque

res

2

II.3.5 Exemples de diviseurs

∆

- onvenables.

Dans le document Résidus de 2-formes différentielles sur les surfaces algébriques et applications aux codes correcteurs d'erreurs (Page 60-66)