Minorations de la distan e minimale de l'orthogonal d'un ode fon tionnel

fon tionnel

NousallonsutiliserlapropositionIV.1.6pourobtenirdeuxrésultatsdeminorationdela distan eminimaledu ode

CL(∆, G)

⊥

.

ThéorèmeIV.1.7. Onsuppose

N

supérieurouégalà

2

.Soit

m

unentiertelque

G ∼ mLX

, alors (1) la distan e minimale

d

⊥

du ode

CL,X(∆, G)

⊥

vérie

d⊥

≥ m + 2

etil y aégalitésietseulement silesupport de

∆

ontient

m + 2

pointsalignés; (2) sinon,silesupportde

∆

ne ontientpas

m + 2

pointsalignés,alors

d⊥

≥ 2m + 2

etilyaégalitésietseulementsilesupportde

∆

ontient

2m + 2

pointssurunemême onique plane.

Ladémonstrationdu(1)de ethéorèmeferaappelauxlemmesIV.1.8etIV.1.9quisuivent etqui serontdémontrésenannexeE.

LemmeIV.1.8. Soient

r

et

m

deuxentiersnaturelsave

r ≥ 1

,alorstoutefamillede

rm+2

pointsrationnels distin ts de

P

N

appartenant àune même ourbede degré

r

est

m

-liée. LemmeIV.1.9. Soit

m

unentiernaturel.

(1) Si

m + 2

pointsrationnels distin ts de

P

N

sont

m

-liés, alors ils sontalignés. (2) Tout

r

-uplet de pointsrationnels deux àdeux distin ts de

P

N

ave

r ≤ m + 1

est en position

m

-générale.

Démonstrationdu(1) duthéorèmeIV.1.7. LapropositionIV.1.6etlapropriété(2)dulemme IV.1.9entraînentqueladistan eminimaledu ode

CL(∆, G)

⊥

estsupérieureà

m+2

etqu'une onditionné essairepourqu'ellesoitatteinteestquelesupportde

∆

ontienne

m + 2

points alignés.D'aprèslelemmeIV.1.8, ettedernière onditionest susante.

Exemple IV.1.10. Si

G ∼ LX

,alorsladistan eminimalede

CL,X(∆, G)

⊥

estminoréepar

3

. Cetteborneest atteinte dèsquele supportde

∆

ontient troispoints alignés.Remarquons quelaborneestparexempleatteintedèsque

X

ontientune droiterationnelle.

Lepoint(2)duthéorèmeIV.1.7sedémontredelamêmefaçonquelepoint(1)enutilisant lapropositionIV.1.6,lelemmeIV.1.8etlelemmeIV.1.11énon é i-dessous.Nousrenvoyons lele teuràl'annexeEpourunedémonstrationde e dernier.

Lemme IV.1.11. Soient

m

et

r

deuxentiersnaturelstelsque

r ≤ 2m + 1

. (1) Une famille de

r

pointsdistin ts de

P

N

telle que

m + 2

d'entre eux sont non alignés esten position

m

-générale.

(2) Soit

P1, . . . , P2m+2

un

(2m + 2)

-uplet de points rationnels distin ts de

P

N

tels que

m + 2

d'entre eux ne sont pas alignés. Alors, es points sont

m

-liés, si et seulement s'ilsappartiennentàune même onique plane.

Peut-on allerplusloin?

Unegénéralisation naturelle (maisfausse)du théorèmeIV.1.7serait : soient

m, s

deux entiers naturels, supposons quepour tout

r < s

,un

(rm + 2)

-upletde pointsdu supportde

∆

n'est jamais ontenu dansune ourbede degré

r

,alors

d

⊥_{≥ sm + 2}

.

Malheureusement, e résultat est faux. En eet, d'après la proposition IV.1.6, un tel résultat impliqueraitque

sm + 1

pointsde

P

N

tels quepourtout

r < s

, un

(rm + 2)

-uplet d'entreeuxn'estjamais ontenudansune ourbededegré

r

,sontenposition

m

-générale.Or, si

s = 3

et

m = 3

, elasignieraitque

10

pointsde

P

2

telsque

5

d'entreeuxsontnonalignés et

8

d'entre eux ne sont pas sur une même onique sont toujours en position

3

-générale. Or d'après[Har77℄ orollaireV.4.5, onpeut onstruire un

9

-uplet depoints

3

-liésvériant es propriétés.Un tel

9

-uplet depoints est onstruit enprenantlespointsd'interse tion de deux ubiquesréduitessans omposanteirrédu tible ommune.Ces ongurationsdepoints provenantd'interse tionsde

N

hypersurfa esdans

P

N

sontdi ilesàrepéreret ompliquent lesdémonstrationsde

m

-généralitélorsquel'onveutaméliorerleslemmesIV.1.9etIV.1.11. En on lusion,onsaitquelesdeuxpremières ongurationsminimalesdepointsrationnels

m

-liésdans

P

N

sont

(i) m + 2

pointsalignés;

(ii) 2m + 2

pointssurunemême onique plane. Nouslaissonsune questionouverte.

Question 6. Quelles sontles ongurations minimales suivantes?

IV.1.5 Appli ations

LethéorèmeIV.1.7permetd'obtenirdesminorationsasseznesdeladistan eminimale de l'orthogonaldu ode

CL,X(∆, G)

⊥

dans le asoùl'entier

m

telque

G ∼ mLX

est petit. Commençonsparétudierle asbien onnu où

X

estune ourbe.

Courbesalgébriques planes, omparaisonave ladistan eminimale onstruitedeGoppa

Soit

X

une ourbe algébrique proje tive plane lisse de degré

d ≥ 2

et dénie sur

Fq

. Soient

m

un entier naturelet

G

un diviseur sur

X

linéairement équivalentà

mLX

. Soient enn

P1, . . . , Pn

une famillede points rationnelsde

X

qui évitentle support de

G

et

D

le diviseur

D := P1+ · · · + Pn

.Onrappellequelegenrede

X

s'obtientparlaformule

gX=

(d − 1)(d − 2)

2

et que l'orthogonal du ode fon tionnel

CL(D, G)

est le ode diérentiel

CΩ(D, G)

. Par ailleurs,onrappelleégalementqueladistan e minimale

d

⊥

du ode

CΩ(D, G)

(qui estégal à

CL(D, G)

⊥

)vérie

d⊥≥ deg(G) − (2gX− 2).

Laquantité

deg(G) − (2gX− 2)

estappeléedistan e onstruitede Goppa etnotée

δ

⊥

La ourbe

X

estsupposéeplane et lisse,elleest don irrédu tible.Ainsi, omme

d ≥ 2

, alors

X

ne ontientpasplusde

d

pointsgéométriques alignés.Par onséquent,nous allons distinguerles as

0 ≤ m ≤ d − 2

et

m ≥ d − 1

.

•

Si

0≤ m ≤ d − 2

, alorslethéorèmeIV.1.7(1)nousfournitlaminoration

d⊥≥ m + 2.

Quantàladistan e onstruitedeGoppa,onpeutl'exprimerenfon tionde

m

et

d

.En eet, omme

G ∼ mLX

,onendéduitqueledegréde

G

est

md

et

δ⊥= md − (d − 1)(d − 2) + 2.

Faisonsladiéren ede esdeuxminorantsde

d

⊥

.

m + 2 − (md − (d − 1)(d − 2) + 2) = m − md + (d − 1)(d − 2) = (d − 1)(d − 2 − m).

En on lusion, la minorationfournie par le théorème IV.1.7 (1) est meilleure que la distan e onstruitedeGoppa si

m < d − 2

.Elleestenparti ulier nettementmeilleure lorsque

m

est petit.

•

Si

m≥ d − 1

,alors,d'aprèslethéorèmedeBezout,

m + 2

pointsde

X

nesontjamais alignés.LethéorèmeIV.1.7(2)fournit laminoration

d⊥

≥ 2m + 2.

Ladiéren eentre eminorantde

d

⊥

et ladistan e onstruitedeGoppaest

2m + 2 − δ⊥_{= (d − 2)(d − 1 − m).}

Comme

m

estsupposéesupérieureà

d − 1

,ladiéren e i-dessusesttoujoursnégative et don ladistan e onstruitedeGoppafournitune meilleureminorationde

d

⊥

.

Con lusion. Dans e ontexte des ourbes planes, les te hniques développées en se tion IV.1.4fournissentunemeilleureminorationdeladistan eminimalede

CL(D, G)

⊥_{= C}

Ω(D, G)

que ellefournieparladistan e onstruitedeGoppasi etseulementsi

m ≤ d − 2.

Surfa esde

P

3

Soit

S

unesurfa ede

P

3

dedegré

d

déniesur

Fq

.Soientégalement

m

unentiernaturel,

G

un diviseur sur

S

telque

G ∼ mLS

et

∆

un

0

- y le de laforme

∆ = P1+ · · · + Pn

où les

Pi

sontdespointsrationnelsde

S

qui évitentlesupportde

G

. Onnote denouveau

d

⊥

, la distan e minimale du ode

CL,S(∆, G)

⊥

. Tout omme dans leparagraphe pré édent, le théorèmeIV.1.7fournit lesminorationssuivantes.

(i)

Pourtout

m

,ona

d

⊥_{≥ m + 2}

.

(ii)

Sideplus

m ≥ d − 1

etque

S

ne ontientpasdedroiterationnelle,alors

d

⊥_{≥ 2m + 2}

.

Exemple IV.1.12. Soit

S

, une surfa e ubique lisse de

P

3

. Soit

L

undiviseur sur

S

donné parunese tionhyperplanede

S

et

G := mL

ave

m ∈ N

.On hoisitenn omme

0

- y le

∆

, lasommedespointsrationnelsde

S

quiévitentlesupportde

G

.Onnote

d

⊥_(m)

ladistan e minimaledu ode

CL,S(∆, mL)

⊥

.Lesrésultatsdelase tionIV.1.4nousdonnent

d⊥_{(1) ≥}

_3;

d⊥_{(2) ≥}



4

si

S

ontientunedroite rationnelle

;

6

sinon.

Danslepremier aslaborneest atteinteseulementsi lesupportde

∆

ontienttrois points alignés. Nous verrons au hapitre V que e phénomène est très fréquent et que e ode possède en général de nombreux mots de poids

3

. Dans le dernier as, la borne inférieure n'est atteinte que si le support de

∆

ontient

6

points appartenant à une même onique

Remarque IV.1.13. Remarquonsque la lassi ation des surfa es ubiques lisses réalisée parSwinnerton-Dyerdans [SD67℄assurel'existen e de ubiques ne ontenantpasde droites rationnelles. Cela fait d'ailleurs partie des exemples introduits par Zarzar et Volo h dans [VZ05 ℄.

Exemple IV.1.14. On reprend les mêmes notations que dans l'exemple IV.1.12,mais ette fois,

S

estunesurfa elissededegré

4

.Onobtientalorslesminorations

(i) d⊥_{(1) ≥}

_3;

(ii) d⊥_{(2) ≥}

_4;

(iii) d⊥_{(3) ≥}



5

si

S

ontientunedroiterationnelleet

♯ Fq

≥ 5;

8

sinon.

Dans le as

(i)

(resp.

(ii)

), laborne est atteinte seulement si

S

ontient

3

(resp.

4

) points alignés. Dansledernier as,labornen'estatteintequesi lesupportde

∆

ontient

8

points appartenantàunemême oniqueplane.

Remarque IV.1.15. En e qui on erne le as

(iii)

de l'exemple pré édent, dans [Sha94℄ théorème I.6.9, on montre qu'une surfa e ubique ontient toujours au moins une droite géométrique (elle en ontient même

27

quand elle est lisse) et qu'une surfa egénérique de degré supérieur à

4

ne ontient pas de droite géométrique. Ainsi, en général, si

S

est une surfa ede degré

4

,la distan eminimale de

CL,S(∆, 3L)

estsupérieureouégale à

8

.

Dans le document Résidus de 2-formes différentielles sur les surfaces algébriques et applications aux codes correcteurs d'erreurs (Page 102-105)