Développements en séries de Laurent, se onde appro he

Dans e paragraphe, nous allons introduire une autre appro he du développement en série de Laurent. Pour ette nouvelle appro he, nous nous pla erons dans le ontexte des

(P, C)

-pairesfaibles (voirdénition I.4.9),moins restri tifque eluides

(P, C)

-pairesfortes. Laprin ipalemotivationde ettese onde onstru tionestquesil'onprendunefon tion rationnelle

f

sur

S

,elle admetundéveloppementen sériede Laurentquel'on peut mettre souslaforme

f =X

n≥l

fi(u)vi,

où l'entier

l

désignelavaluation

mS,C

-adiquede

f

. Les oe ients

fi

sontdesélémentsde

k((u))

. La série

fl(¯u)

est le développement

¯u

-adique au voisinagede

P

de la restri tionà

C

de lafon tion

v

−l_f

.Ils'agitdon dudéveloppementen sériedeLaurentenlavariable

u¯

d'une fon tion rationnellesur

C

. Une question sepose : en est-il de même pour les autres oe ients

fi

?

Soit

(u, v)

une

(P, C)

-paireforte.Commenousl'avonssignalédansl'introdu tionde ette se tion,d'aprèslethéorèmedestru turedeCohen,l'anneau

ObS,C

estisomorpheà

k(C)[[v]]

. Malheureusement et isomorphisme n'est en au un as unique. En eet, d'après [Coh46℄ théorème10( ), si

k

estde ara téristiquepositive,ilyauneinnitédesous- orpsde

ObS,C

qui sont envoyés sur le orps résiduel

k(C)

via le morphisme de rédu tion modulo

mS,C

. Plus pré isément, edéfaut d'uni ité d'unreprésentantdu orps résiduelest liéau faitque e derniern'estpasparfait.D'une ertainemanière,le hoixde

u

permetde ontournerles éventuels problèmes d'inséparabilité. De e fait, pour utiliser le théorème de Cohen, nous allons hoisirunreprésentantdu orps

k(C)

quiseraenun ertainsensreliéàlafon tion

u

. PropositionI.4.6 (Le orps

Ku

). Soit

u ∈ OS,C

une fon tiondontlarestri tion

u¯

à

C

est un élément séparant

4

de

k(C)

au-dessus de

k

. Alors, il existe un unique sous- orps

Ku

de

b

OS,C

ontenant

k(u)

et isomorphe à

k(C)

via le morphisme de rédu tion modulo

mS,C

. De plus, e orpsetune extensionmonogène de

k(u)

engendréeparunélément

y

de

ObS,C

. Preuve. Existen e.Parhypothèse,l'extensionde orps

k(C)/k(¯u)

estuneextension nie séparable.D'après lethéorèmedel'élémentprimitif, il existe unefon tion

y¯

rationnelle sur

C

quiengendre

k(C)

sur

k(¯u)

.D'aprèslelemmedeHensel,

y¯

serelèveenununiqueélément

y

de

ObS,C

dontlepolynmeminimalsur

k(u)

est eluide

y¯

sur

k(¯u)

.Soit

Ku

,lesous-anneau de

ObS,C

engendrépar

k(u)

et

y

, 'est-à-dire

Ku:= k(u)[y].

Onobtientainsiune opiede

k(C)

qui ontient

k(u)

ets'envoieisomorphiquementsur

k(C)

vialarédu tionmodulo

mS,C

.

Uni ité. Soit

K

′

un orps distin t de

Ku

et vériant les mêmes propriétés. Il existe don unélémentde l'unde es orps quin'appartientpasàl'autre.Supposons parexemplequ'il existe

z ∈ K

′

telque

z /∈ Ku

.La lassede

z

modulo

mS,C

est une fon tion

z ∈ k(C)¯

.Cette dernièreadmetununiquerelevé

z

′

dans

Ku

.De fait,soit

R ∈ k(¯u)[T ]

lepolynmeminimal unitairede

z¯

audessus de

k(¯u)

.Alorsles éléments

z

et

z

′

de

ObS,C

sonttousdeuxsolution duproblèmesuivant,



Z

≡

z¯

mod

mS,C

R(u, Z) =

0.

Ce problème admetune solutionuniqued'aprèsle lemme deHensel ([Eis95℄ théorème7.3) e qui ontreditl'hypothèseque

z

n'appartientpasà

Ku

.

CorollaireI.4.7. Soit

u

unefon tionrationnellesur

S

régulièreauvoisinage de

C

dontla restri tion

u¯

à

C

estunélément séparantde

k(C)/k

.Alors, toutefon tionrationnelle

f

sur

S

admetununiquedéveloppement dans

Ku((v))

.

RemarqueI.4.8. Enréalité,lerésultaténon édansle orollaireI.4.7estvalable pourtout élémentdu omplété

mS,C

-adiquedu orps

k(S)

.

Notonsque,pourdé rire e orps

Ku

nousavonseubesoinde onditionsplusfaiblessur

u

que ellesqui sontexigéesdansla dénition de

(P, C)

-paireforte.C'est e qui motivela dénitionsuivante.

Dénition I.4.9 (

(P, C)

-paires faibles). Une

(P, C)

-paire faible est une paire

(u, v)

d'élé- mentsde

OS,C

vériantles onditions suivantes.

(1) Larestri tion de

u

à

C

estune uniformisantede

OC,P

. (2) Lafon tion

v

est uneuniformisante de

OS,C

.

RemarqueI.4.10. Dans[Par76℄,le ontextedé ritpage699revientexa tementàsedonner une

(P, C)

-paire faible.

Il vade soi qu'une

(P, C)

-paire forte est faible, mais la ré iproque est fausse. En eet, en e qui on erne

u

,le fait quesarestri tion à

C

soit régulière auvoisinagede

P

ne signie pasque

u

l'est.Quantà

v

, la ondition : être une équation lo ale de

C

au voisinage de

P

estplusforteque elled'êtreune uniformisantede

OS,C

.L'exemplequisuit permet des'en onvain re.

Exemple I.4.11. Supposonsque

S

soitleplanane omplexemunide oordonnéesanes

x

et

y

.Soient

C

ladroited'équation

y = 0

et

P

l'origineduplanane.Posons

u :=

(x + y)(x − y)

x

et

v := xy.

Alors,le ouple

(u, v)

est une

(P, C)

-pairefaible qui n'estpas forte.En eet,la fon tion

u

n'estpasrégulièreen

P

etlafon tion

v

estdans

m

2

S,P

,ellen'estdon pasuneéquationlo ale de

C

auvoisinagede

P

.

Nouspouvonsmaintenantprésenterlese ondpro édédedé ompositionensériesdeLaurent.

Proposition I.4.12. Soit

(u, v)

une

(P, C)

-paire faible, il existe un uniquemorphisme

ϕ :

k(S) ֒→ k((u))((v))

qui envoie

OS,C

sur

k((u))[[v]]

etenvoie

u, v

sureux-mêmes.

Preuve. Existen e.Tout ommedanslapreuvedulemmeI.4.3,ilsut deprouverl'exis- ten e d'un morphisme

ϕ0

: OS,C

֒→ k((u))[[v]]

envoyant

u

et

v

sur eux-mêmes, puisd'ap- pliquerlapropriétéuniverselledes orpsdefra tions.La ourbe

C

estsupposéeabsolument réduite.Don ,d'après[Mum99℄propositionII.4.4(i),l'extension

k(C)/k

estséparable,don admetunebasedetrans endan eséparante.Parailleurs,lafon tion

u¯

estuneuniformisante de

OC,P

⊂ k(C)

, don sadiérentielle

d¯u ∈ Ω

1

k(C)/k

est nonnulleet d'après[Bou59℄ V.16.7 théorème5, 'estunélémentséparantde

k(C)/k

.

D'aprèsle orollaireI.4.7,ondisposed'uneinje tion

OS,C֒→ Ku[[v]]

et

Ku

estisomorphe à

k(C)

vialemorphismederédu tionmodulo

mS,C

.Deplus, omme

u¯

estuneuniformisante de

OS,P

, le omplété

mC,P

-adiquede

k(C)

est isomorpheà

k((¯u))

. On dispose don d'une inje tion

Ku

֒→ k((u))

qui s'étend oe ient par oe ient en un morphisme

Ku[[v]] ֒→

k((u))[[v]]

.Onendéduit l'existen edel'appli ation

ϕ0: OS,C֒→ k((u))[[v]]

re her hée. Uni ité. Soit

ϕ

′

0

: OS,C

→ k((u))[[v]]

, unautre morphismed'anneauxenvoyant

u

et

v

sur eux-mêmes.Nousallonsmontrerquelediagrammesuivantest ommutatif.

OS,C

ϕ′

0

ϕ0

b

OS,C

∼

Ku[[v]]

r

k((u))[[v]]

id

k((u))[[v]]

Comme

ϕ

′

0

envoie

v

sur lui-même,on endéduit que 'est un morphismelo al non ramié. Lapropriétéuniverselledu omplété,impliquel'existen eetl'uni itéd'unmorphisme

ϕˆ

′

0

qui fait ommuterlediagrammesuivant.

OS,C

ϕ′

0

ϕ0

b

OS,C

∼

ˆ

ϕ′

0

Ku[[v]]

r′

r

k((u))[[v]]

k((u))[[v]]

Lemorphisme

r

′

estla omposéedumorphismeinversede

Ob

S,C

∼

Ku((v))

etde

ϕˆ0

.Il reste àmontrer que

r = r

′

. Un morphismelo al de

Ku[[v]]

dans

k((u))[[v]]

est entièrement déterminéparlesimagesde

u

,

v

et

y

.Ilsutdon demontrerque

r(y) = r

′_(y)

.Remarquons dès à présent que, d'après la onstru tionde

ϕ0

et don de

r

, on a

r(y) = ψ(u)

, où

ψ(¯u)

est ledéveloppementensérie deLaurenten

P

de

y ∈ k(C)¯

. Soit

F ∈ k(¯u)[T ]

, lepolynme minimalunitairede

y¯

sur

k(¯u)

.L'élément

y

de

ObS,C

vérie

F (u, y) = 0

et omme

r

et

r

′

sont desmorphismesd'anneau,onendéduit

F (u, r(y)) = 0

et

F (u, r

′_{(y)) = 0}

dans

k((u))[[v]].

Deplus,parpassageauquotientmodulo

v

,ona

r(¯y) ≡ r′(¯y) ≡ ψ(¯u)

mod (v).

Ainsi

r(y)

et

r

′_(y)

sonttousdeuxsolutionduproblèmesuivant.



F (u, Z) =

0

Z

≡

ψ(u)

mod (v).

D'aprèslelemmedeHensel, eproblèmeadmetuneuniquesolutionquiest

ψ(u)

.Cedernier étantégalà

r(y)

, ela on lutlapreuve.

Remarque I.4.13. La prin ipale diéren e entre les résultats de e hapitre et eux de la premièrepartiede[Par76℄estque ederniersupposequele orpsdebaseestparfait,alorsque nous nenous sommes donnésau unerestri tionsur

k

dans e hapitre. Ontrouve dans et arti leladémonstrationd'unénon éanalogueà eluidelapropositionI.4.12. Cettedernière se trouve de faitsimpliéegrâ eà ettehypothèse supplémentaire sur

k

.

Ainsi, nous avons montré que si

(u, v)

est une

(P, C)

-paire forte, les deux appro hes fournissent les mêmes développements ensérie deLaurent. Parailleursnous avonsobtenu une réponse à la question posée à la n de la se tion I.4.2. Cela donne lieu au orollaire suivant.

CorollaireI.4.14. Soit

(u, v)

,une

(P, C)

-pairefaible.Alors,toutefon tion

f ∈ k(S)

admet ununiquedéveloppement en sériesde Laurent

f =X

j≥l

fj(u)vj

∈ k((u))((v)).

De plus,pourtout

j ≥ l

,la sériede Laurent

fj(¯u)

estune fon tion rationnellesur

C

.

Dans le document Résidus de 2-formes différentielles sur les surfaces algébriques et applications aux codes correcteurs d'erreurs (Page 31-33)