Résidus de 2-formes différentielles sur les surfaces algébriques et applications aux codes correcteurs d'erreurs

THÈSE

THÈSE

En vue de l'obtention du

DOCTORAT DE L’UNIVERSITÉ DE TOULOUSE

DOCTORAT DE L’UNIVERSITÉ DE TOULOUSE

Délivré par l'UNIVERSITÉ PAUL SABATIER – TOULOUSE III

Discipline ou spécialité : MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES

JURY

MCF Emmanuel HALLOUIN, Examinateur - DR Gilles LACHAUD, Examinateur

PR Marc PERRET, Directeur - PR Marc REVERSAT, Directeur

PR Felipe VOLOCH, Rapporteur - PR Gilles ZEMOR, Examinateur.

     

     

Ecole doctorale : Mathématiques Informatique et Télécommunications de Toulouse

Unité de recherche : Institut de Mathématiques de Toulouse - UMR 5219

Directeur(s) de Thèse : PR Marc PERRET - PR Marc REVERSAT

Rapporteurs : PR Dino LORENZINI, PR Felipe VOLOCH,

PR Michael TSFASMAN

Présentée et soutenue par Alain COUVREUR

Le 8 décembre 2008

Titre :

 Résidus de 2-formes différentielles sur les surfaces algébriques

et

l'Université de Toulouse

Résidus de

2

-formes diérentielles sur les surfa es

algébriques et appli ation aux odes orre teurs d'erreurs

parAlainCouvreur

Soutenuelelundi8dé embreà16h dansl'amphithéâtreS hwartz

Jury

EmmanuelHallouin UniversitédeToulouseII Examinateur GillesLa haud Universitéd'Aix-MarseilleII Examinateur

Mar Perret UniversitédeToulouseII Dire teur

Mar Reversat UniversitédeToulouseIII Dire teur

Felipe Volo h UniversityofTexas Rapporteur

GillesZemor UniversitédeBordeauxI Examinateur

InstitutdeMathématiquesdeToulouse,UMR5219,UFRMIG LaboratoireÉmile Pi ard,

etqu'on ensortin hangé, puisqu'uneinterdi tion bizarre nousempê he de rapporter ave nousl'exa trésidu denos songes.

MargueriteYour enar Mémoires d'Hadrien

Quelques mois avantde ommen er ma thèse, une jeune her heusequi me vantait les méritesdela re her heavait formulé ette mise engarde : une thèse, 'estdi ile, onest trèsseul. Jesuis onvain uqu'uneé rasantemajoritédedo torant(e)s-dontjefaispartie - a éprouvé e sentiment au moins une fois. Pourtant, maintenant que la réda tionde ma thèsetou heàsan,je réaliseàquelpointriendetout equej'ai faitn'auraitétépossible sij'avaisréellementétéseul.

Trèssouvent, les premières lignes d'un livre sont elles que l'auteura é rit en dernier. Cettethèsen'é happepasàlarègle.Delamêmemanière,mespremiersremer iementsvont verslesa teursdudénouement.

Ceux sans qui ette thèse ne pourrait se terminer. Je remer ie les six personnes qui ont a epté de omposer mon jury. Toutd'abord,Mar Reversatsansqui monintégration dansl'ex-laboratoireÉmilePi ardn'auraitpasétépossible.MagratitudevaensuiteàGilles La haud,dire teurdemondire teur,poursona ueil haleureuxàl'IMLaudébutde ette année.Un grandmer iégalementà GillesZemor pour tout e qu'il m'a apprislors de ma visite à Télé om Paris ainsi que pour les pertinentes orre tions qu'il a suggéré pour e manus rit. Je remer ie ensuite Felipe Volo h pour son a ueil et son en adrement durant monséjouràl'UniversitéduTexas,jeleremer ieégalementd'avoira eptéderapporterma thèse.Jeremer iebiensûrmondire teurMar Perret,maisj'yreviendraiunpeuplusloin... Enn,jeremer ieEmmanuelHallouinpoursesnombreux onseilstoutaulongdemathèse. Je garderaiun ex ellentsouvenirdes dis ussions de politique ou d'algèbre lo ale quenous avonseuesensemble.

Je remer ieparailleursDino Lorenzinipourtoutessesremarquesetpertinentes sugges-tionssurmonmanus rit.Jeluisuiségalementre onnaissantd'avoira eptéderapporterma thèse. Pourla même raison,je remer ie sin èrementle troisième rapporteur de ette thèse Mi haelTsfasman.

L'équipe de la dernière ligne droite. Mer i à Matthieu et Aurélie qui ont sans au une hésitation a epté que leur appartementsoit envahi et leur uisine dévastée,l'espa e d'un week-end.Mer iégalementàTiphainequi,durantlapréparationdupot,n'ajamaisre higné ànettoyertout ouvertdégoulinantde ho olatfondu.

Ceux qui murmurent à l'oreille des pro esseurs. Fa e aux nombreux sou is dus à un ordinateur ré al itrant, j'ai toujours béné ié d'une assistan e mail ou téléphonique d'une e a itéremarquable.À etitre,jeremer ieMaxime,grâ eàquimaversiond'Ema sestsi performantequ'elleseraitpresque apablede ommanderune pizzaoude irerunparquet. Mer i à Gâ hette pour sonobje tivité dans le débat Ubuntu vs Madrake et enn mer i à Benjaminquinousadémontréparl'exemplequesonordinateur her haitàdevenirlemaître dumonde.

Ceuxquifontavan eràgrandspas. Durant estroisdernièresannées,un ertainnombre de onversations orales ou é rites ave d'autres her heurs m'ont indis utablement aidé à avan er. Je remer ie tout d'abord Julien Duval, Steven L. Kleiman et Gerhard Frey pour

leurs pré ieusesexpli ations. Mer i ensuiteàAntoine Du rospourson aptitudeàdégainer un ontreexemple plusvite queson ombre et àJoseph Tapiapoursonex ellente synthèse orale du Residues and Duality d'Hartshorne. Enn, je tiens à remer ier sin èrement Tom Høholdtpoursagentillesse,sondévouement, sonhospitalitéainsisesindis utables qualités de pédagogues quiontfaitde mavisiteàlaDTU (UniversitéTe hniqueduDanemark)un séjouraussifru tueuxqu'agréable.

Ceux qui font la même hose... ou presque. Un grand mer i à tous les do torants (et do teurs) Toulousainsque j'ai toyésdurant es trois années.Je remer ietout parti uliè-rementAnne pourles quatreheures du mois d'août,Cé ile poursa maîtrisedes blagues Carambar,Tonypourses imitationsdu S htroumpf grognonet Landry poursa apa ité à animerundébatenévitantsystématiquementle onsensus

1

.Mer iégalementàFredProtin poursesmailsauxjeuxdemotsdé apants,àFredPitounpoursondynamismedé ontra té quitoniaitnosjeudis,àJulienRoquesquipartageaitmonavissurBonoetlesperforman es deRandyMarsh.Jeremer ieennmes obureaux,Charef,GhadaetMatthieu,leurprésen e mefuttoujoursdesplusagréables.

Lesuns etles htes. Lorsdemesmissions horsdeToulouse,j'ai fréquemmentappré iéla qualitédemona ueil.Jeremer ieà etitreDelphineBou herdeRennes,SylvainDuquesne et Louise Nyssen deMontpellieret Pierre-Louis Cayrelde Limoges.Je remer ie également Frederi Edoukou, Adnen Sboui, leur ex-dire teur de thèse François Rodier et Christophe Ritzenthaler de m'avoira ueilli durant une semaine à l'IML durant ma se onde année de thèse.

Jetienségalementàremer ierlesmembresdel'IMLetdudépartementdemathématiques deLuminyquim'ontsibiena ueillietintégrédansleuréquipe etteannée.Remer iements parti uliersàtouslesmembresdel'équipeATI.

Par e qu'il n'y a pas que la re her he dans la thèse... Je remer ie touslesenseignants et her heursdudépartementdemathématiquesdel'UniversitéduMirail.Mes troisannées d'enseignementdans etteuniversitéfurentunplaisir,tantpourle onta tdesétudiantsque pour eluides ollègues.Jetienstout parti ulièrementàremer ierJulien Labetaapourqui j'ai donnédesTD's etave quila ollaborationfutdesplusagréables.

...etqu'iln'yapasqueletravaildanslavie. Parmilesnombreuxsouvenirsquejegarderai de estroisannées,ilyauralesnombreusesnsd'aprèsmidiensoleilléesenterrasse.Mer ià euxave quij'ai partagé essiagréablesmoments.Mer iàÉmilie,Gustavo,Romain, Seb, Solenn, Soazig, Tanguy et Perrine. Un grandmer i également àCé ile qui m'aexpliqué la diéren eentreunbusetunTUB,àErwanpar equ'il omprendle229

e

degréetàXavier poursonsensdel'orientationensituation ritique.

Ceux qui simplient la vie. Mer i à VéroniqueFabris, Agnès Requis et Jo elyne Pi ard pourleurdisponibilité etleurpatien eentoute ir onstan e.

Celle que j'ai roisé. Mer i àLara pour tousles onseils qu'elle apume donnerlorsdes nombreuses onversations que l'on a eues ensemble. C'est toujours un plaisir pour moi de trouversonnomsur lalistedesparti ipantsd'une onféren eàlaquelleje merends.

Ceuxquim'onta ueilli. Mer iàtouslesmembresdel'ex-Grimmdem'avoirintégréparmi eux.Remer iementsparti uliersàThierryHeno qetChristianMaire.

Ceuxsansqui ettethèsen'auraitpaseulieu. Jeremer ieJean-Mar Couveignesquifut monpremier onta tàl'ex-Grimmetqui onsa rauneénergieparti ulièreàlarégularisation de ma omplexe situation administrative. Mer i également àArnaud Debuss he et Mi hel Pierredem'avoirsibien onseilléenndeMaster.

Au hef. Mer i à Mar Perret de m'avoir si bien en adré durant es trois années. J'ai parti ulièrement appré ié son investissement, sa patien e, sa apa ité a expliquer en des termessimpleslesfaitsetobjetsmathématiqueslesplus omplexes.Connaissantsonextrême modestie,je préfèrene pasendireplusdepeurdele mettremal àl'aise,mais sitout était àrefaire,jelui onseilleraisdenerien hanger.

Celles quiétaientlàdès le début. Mer iàmess÷ursNadineet Sylvie.

Ceuxsans quijene seraispas là. Àmesparents,mer ipourtout.

I Résidus 23

I Résidusde 2-formessur une surfa e 25

I.1 Notations . . . 25

I.2 Cadre . . . 25

I.3 Résidusen odimension1et 2. . . 26

I.4 Complétionsetséries deLaurentendeuxvariables . . . 28

I.4.1 Problématique . . . 28

I.4.2 DéveloppementsensériesdeLaurent,premièreappro he. . . 28

I.4.3 DéveloppementsensériesdeLaurent,se ondeappro he . . . 30

I.4.4 Changementdevariables . . . 32

I.4.5 Objetsrationnelsetformels . . . 34

I.5 Dénitiongénéraledesrésidus. . . 34

I.5.1 Invarian edes

2

-résidus . . . 34

I.5.2 Le adregéométrique . . . 38

I.6 Propriétésdesrésidus . . . 41

I.6.1 Inuen ed'uné latementsurlesrésidus . . . 42

I.6.2 Le asdespointssinguliersd'une ourbe. . . 42

I.7 Formulesdesommation . . . 44

II Codes géométriques 53 II Codesdiérentielssur une surfa e 55 II.1 LangageetNotations. . . 55

II.2 Rappelssurles odes onstruitsàpartirde ourbes. . . 56

II.2.1 Codesfon tionnelset diérentiels. . . 56

II.2.2 Paramètresde es odes . . . 56

II.2.3 Relationd'orthogonalitéet dé odage . . . 57

II.2.4 Deux onstru tionsdistin tesmaisuneseule lassede odes. . . 57

II.3 Codesgéométriques onstruitsàpartirdesurfa esalgébriques. . . 57

II.3.1 Cadre . . . 57

II.3.2 Codesfon tionnels . . . 58

II.3.3 Codesdiérentiels . . . 59

II.3.4 Pairesdediviseurs

∆

- onvenables . . . 59

II.3.5 Exemples dediviseurs

∆

- onvenables. . . 65

II.3.6 Dis ussion surla

∆

- onvenan eetle ritère . . . 70

II.4 Relationsentre odesfon tionnelset diérentielssurunesurfa e . . . 70

II.4.1 Relationd'orthogonalité . . . 70

II.4.2 Un odediérentielest fon tionnel . . . 71

II.4.3 Ré iproque,un odefon tionnelestdiérentiel . . . 73

II.5 Défautd'in lusionré iproquepourlethéorèmed'orthogonalité . . . 74

II.5.1 Codessurleplanproje tif. . . 75

II.6 Heuristique,est- eunproblèmedesuperabondan e? . . . 79

III Théorème de réalisation 83 III.1 Contexte. . . 83

III.2 Sous-

∆

- onvenan e . . . 83

III.3 Surlesnotionsderéalisation . . . 84

III.4 Constru tiondel'orthogonald'un odefon tionnel . . . 89

III.5 Dis ussionautourduthéorèmederéalisation . . . 92

III.5.1 Unexemplederéalisationsansqueles onditionsduthéorèmedeIII.4.1 soientvériées . . . 93

III.6 Uneautreappli ationpossibledesthéorèmesàlaBertini . . . 95

III.6.1 LestravauxdePellikaan,Shen etWee . . . 95

III.6.2 Le asdes odesfon tionnelssurunesurfa e . . . 96

IV Orthogonal d'un ode fon tionnel 99 IV.1 Premièreappro he . . . 99

IV.1.1 Notionde

m

-généralité. . . 99

IV.1.2 Systèmeslinéaires de

P

N

. . . 100

IV.1.3 Lienave lesnotionsdedistan eminimale. . . 100

IV.1.4 Minorationsdeladistan eminimaledel'orthogonald'un odefon tionnel101 IV.1.5 Appli ations . . . 102

IV.2 Se ondeappro he,unproblèmeouvert . . . 104

V Constru tions de motsde faiblepoidset odes LDPC 109 V.1 Introdu tionaux odesLDPC. . . 109

V.1.1 GraphedeTanner . . . 109

V.1.2 Dé odageitératif . . . 111

V.1.3 L'algorithmemin-somme . . . 113

V.1.4 Dis ussionsurl'algorithme . . . 115

V.2 CodesLDPCet surfa esdepetit degré. . . 117

V.2.1 Obje tifs . . . 117

V.3 Cal ulexpli itedemotsde odesdepetit poids . . . 117

V.3.1 Motsprovenantdedroitesnon ontenuesdans

S

. . . 118

V.3.2 Motsprovenantdedroites ontenuesdans

S

. . . 122

V.4 Expérimentationsave Magma . . . 123

V.4.1 Codessurdessurfa es ubiques . . . 123

V.4.2 Implémentation. . . 125

V.4.3 Codessurdessurfa esquartiques. . . 126

V.4.4 Utilisationdel'algorithmemin-sommepourledé odagede es odes. 127 A Séries de Laurent 133 A.1 Surlesmodules dediérentiellesrelatives . . . 133

A.2 DémonstrationdulemmeI.5.8 . . . 134

A.3 Topologiede

k((u))[[v]]

. . . 135

A.4 DémonstrationduthéorèmeI.5.3en ara téristiquepositive . . . 137

B Indépendan e des valuations 141 C Complémentd'algèbrelinéaire 143 D Constru tion de odes fon tionnels 147 D.1 Constru tion . . . 147

F ProgrammesMagma 153 F.1 Diviseurs

∆

- onvenables . . . 153 F.2 Cal ulsdematri esdeparitéde odesLDPC . . . 162

Cettethèseest omposéededeuxparties.Lapremièreportesurlesnotionsderésidusde

2

-formes diérentielles rationnelles sur une surfa e algébrique.La se onde partie utilise les résultatsdelapremièreenvue d'appli ationsaux odes orre teursd'erreurs.Ce travailde re her heest partid'une onstatationsimple.En théoriedes odesgéométriques onstruits àpartir de ourbes algébriques, ondistingue deux types de onstru tions.La onstru tion fon tionnellequi, ommesonnoml'indique,utilisedesfon tionsetla onstru tion diéren-tiellequiutilisedesformesdiérentielles.Cependant,touslestravauxdere her heabordant l'étude des odes géométriques onstruits à partir de variétés de dimension supérieure ou égaleà

2

fontsystématiquementappelàune onstru tiondetypefon tionnelle.De ette ob-servationestnéeunequestion:peut-ongénéraliserla onstru tiondiérentielleendimension supérieureou égaleà

2

? Seulelagénéralisationauxsurfa esseraabordée,nousjustierons e hoixunpeuplusloindans etteintrodu tion.

Historique des odes géométriques

La première onstru tion de odes orre teurs d'erreurs par des méthodes issues de la géométrie algébrique a été présentée par Goppa dans [Gop81℄. Peu après, dans [TVZ82℄, Tsfasman,Vl duµetZink,utilisaient etteappro hegéométriquepour onstruiredesfamilles de odes dont les performan es asymptotiques dépassaient elles de toutes les familles de odes onnuesjusquelà.Cesrésultatsontétélaprin ipalemotivationdudéveloppementde lathéoriedes odesgéométriques.

Codes sur les ourbes algébriques

Dès la n des années 80, la théorie des odesgéométriques était devenue unthème de re her heextrêmement dynamique.Plusieurs entaines d'arti les ontété publié surl'étude de es odes,que esoitsurlare her hedebons odes,debonnesfamillesde odesouen ode d'algorithmesdedé odage.Ilseraitdon di iledefournirunebibliographie omplètesurle sujet. Signalonstout demême lesquelquespubli ationsprésentantunpoint devuegénéral surlathéorie.Lepremierarti ledesynthèsesurlaquestionestdûàLa haud[La 86℄,ilyest présentétoutespropriétésthéoriques onnuessurles odesgéométriques.Pourdesréféren es plusdétaillées,onpeut onsulter lelivrede Goppa[Gop88℄ ou eluideTsfasman etVl duµ [TV91℄. Enn, pour une synthèse sur les algorithmes de dé odage de odes géométriques onpourraseréféreràl'arti ledesynthèse deHøholdtet Pellikaan[HP95℄pourlestravaux onnus avant1995et au hapitrede[MMR08℄ é ritparBeelenet Høholdtpourlestravaux plusré ents.

Codessur lesvariétésen dimensionsupérieure

Silesujetdes odesgéométriquessurles ourbesaétéétudiédefaçontrèsapprofondie, lare her hesurles odes onstruitsàpartirdevariétésdedimensionsupérieureouégaleà

2

estrestéenettementplusmarginale.Historiquement,lepremieràavoirdonnéune onstru -tion de odes orre teursd'erreurs àpartir devariétésde dimensionquel onque est Manin dans[VM84℄. Parlasuite,un ertainnombred'arti lesestparusur laquestion.Lalistede référen esquisuitn'estpasexhaustive.

Ondénombreaumoinstroispubli ationsfournissantdesrésultatsgénérauxsurles odes géométriques onstruitsàpartirdevariétésalgébriquesdedimensionsupérieureouégaleà

2

. Dans [La 90℄et [La 96℄,La haud fournitune minorationdeladistan e minimaledes odes onstruitssurunevariétéproje tivelissequel onque.Dans[Han01℄,SørenHaveHansen étu-die les paramètres des odes onstruits à partir de variétés algébriques lisses quel onques et proposedes exemplesissus des variétésdeDeligne-Lustzig. Enn,dans [Bou03℄, Bouga-nis étudie les odes onstruits surdes surfa es algébriqueslissesquel onques puis étudiele omportementasymptotiquede ertainesfamillesdetels odes.

Pourlereste,laplupartdesautrestravauxpubliésportentsurl'estimationdesparamètres de odes onstruits àpartirde variétésappartenantàune lasse parti ulière.Les odessur les surfa estoriques ontétéétudiés parHansendans [Han00℄. Sesrésultats ont ensuiteété généralisés en dimensionquel onque parRuanodans [Rua07℄. Les odes onstruits sur des Grassmanniennes ont d'abord été étudiés par Nogin dans [Nog96℄, puis par Ghorpade et La hauddans[GL00℄.Les odes onstruitsàpartirdevariétésHermitiennesontétéabordés pour la première fois par Chakravarti dans [Cha93℄, ensuite par Hirs hfeld, Tsfasman et Vl duµ dans [HTV94℄,puis par Sørensendans sa thèse [Sør91℄ et enn parEdoukou dans [Edo07℄. NotonsquelesvariétésHermitienneset Grassmaniennespeuventêtrevues omme desvariétésdrapeaux.Cepointdevueuniéestdis utéparRodierdans[Rod03℄.Ladistan e minimaledes odessurlesvariétésquadriquesdedimensionquel onqueestétudiéeparAubry dans[Aub92℄.Le asdessurfa esquadriquesestappro hédefaçonpusdétailléeparEdoukou dans [Edo08℄. Enn, Zarzara traitéle as des surfa es dont lerang du Groupe de Néron-Sévériarithmétiqueest petit dans [Zar07℄.Ilproposeensuite dansuntravail ommunave F. Volo h [VZ05℄, une appro he de dé odage utilisant un algorithme de dé odage itératif proposéparLubyet Mitzenma her[LM05℄.

Enn,signalonsqu'uneex ellentesynthèsesurlestravaux onnussurles odes onstruits surdesvariétésdedimensionsupérieureestprésentéedansuneprépubli ationdeLittle(voir [Lit08℄).

Àprésent,rappelonsque, ommeindiquéaudébut de e hapitreintrodu tif,enthéorie des odessurles ourbesondistinguedeuxméthodesde onstru tionde odesrespe tivement appelées onstru tionfon tionnelleetdiérentielle.Cependant,endimensionsupérieure,on ne dispose que de la onstru tion fournie par Manin dans [VM84℄. Cette dernière est une généralisation naturelle de la onstru tion fon tionnelle sur les ourbes. Tous les travaux ités i-dessuss'appuientsur ette onstru tionet au unegénéralisation dela onstru tion diérentiellen'aétéproposéejusquelà.Notonsd'ailleursqueLittlesignaledansl'introdu tion desonarti ledesynthèse[Lit08℄uneobstru tionmajeureàunetelle généralisation.

In a sense, the rst major dieren e between higher dimensional varieties and urves is that points on

X

of dimension

≥ 2

are subvarieties of odimension

≥ 2

, not divisors. Thismeansthatmany familiartoolsusedforGoppa odes(e.g.Riemann-Ro htheorems,the theoryof dierentials andresidues et .)do notapply exa tlyin thesame way.

Enquelquesmots,l'obje tifde ettethèse est,aprèsavoirmisenpla e lematériel théo-rique né essaire,defournirune onstru tiondiérentielle de odessurles surfa es,puisde

Pourquoi des odes diérentiels sur les surfa es?

Outre la volonté de généralisation envue d'uneharmonisation des théoriesentre le as des ourbeset eluidesvariétésdedimensionsupérieure,plusieursargumentsmotivent ette question.

Unintérêt historique. Les odesgéométriquesontétéintroduitspourlapremièrefoispar V.DGoppa en 1981[Gop81℄. Dans et arti le, la onstru tionprésentéeétait diérentielle. Aussi, même si les odes fon tionnels sont plus populaires hez les spé ialistes des odes géométriques,la onstru tionhistoriqueestdetypediérentielle.

L'intérêt d'une nouvelle onstru tiongéométrique. Lese ondargumentrésidedans l'in-térêt de disposer d'une onstru tion géométrique de odes. Pour omprendreen quoi une telle onstru tionestavantageuse, ommençonsparréé hirauxdiérentesfaçonsdedé rire un ode. La manière la plus simple est de s'en donner une base, 'est-à-dire une matri e génératri e. Cependant, une telle des ription n'est pas du tout adaptée à la résolution de problèmestelsquelaminorationdeladistan eminimaleoulare her hed'unalgorithmede dé odagee a e.Par onséquent, on her heengénéralàrésoudre esproblèmespourdes lassesde odesadmettantune réalisation pardesobjetsappartenantàune autrebran he des mathématiques, omme l'arithmétique ou la géométrie. C'est par exemple le as des odesdeReed-Solomon quifontappelàdespolynmes enunevariable,des odesde Reed-Müllerqui se onstruisent àpartirde polynmes àplusieursvariables ou en oredes odes de résidus quadratiques dont la onstru tion et l'étude font appel à de l'arithmétique des orpsnis.Par ebiais,lesproblèmesdeminorationdeladistan eminimaleetdere her he d'algorithmes de dé odage peuvent être traduits sous forme de problèmes d'algèbre ou de géométrie. On se ramène don à un ontexte omportant une stru ture (arithmétique ou géométrique par exemple) et dans lequel on dispose de davantage d'outils mathématiques pourrésoudreunproblèmedonné.En on lusion,ilesttoujoursintéressantdedisposer d'une réalisation géométrique d'un ode pour l'étudier. À e titre, la onstru tion de odes orre teurs àpartirdeformes diérentielles sur dessurfa es est une voie quel'on sedoitd'explorer.

Des odes en relation ave les odes fon tionnels. En théorie des odes géométriques onstruits à partir de ourbes, on dispose de relations entre odes fon tionnels et odes diérentiels.

(R1)

Un ode diérentiel sur une ourbe est toujours l'orthogonal d'un ode fon tionnel onstruitàpartirdelamême ourbeetasso iéauxmêmesdiviseurs.

(R2)

Tout odediérentielsurune ourbeseréalise ommeun odefon tionnel onstruità partirdelamême ourbemaisasso iéàdesdiviseursdiérents.

La relation (

R1

) est une onséquen e de la formule des résidus et du théorème de Riemann-Ro h. Cette propriété d'orthogonalité est de plus un ingrédient utilisé dans de nombreuxalgorithmesdedé odage(voir[HP95℄).D'unefaçongénérale,disposerd'une réa-lisationgéométriquedel'orthogonaloud'unsous- odedel'orthogonald'un ode orre teur peut être fort utile pour le dé odage. La relation (

R2

) est une onséquen e du théorème d'approximationfaible ([Sti93℄ I.3.1). Elle implique que les odes fon tionnels et les odes diérentiels onstruitsàpartirde ourbesalgébriques,bienqu'obtenuspardes onstru tions diérentes,appartiennentàlamême lasse.Onpeutdon restreindrel'étudegénéralede es odesà ellede odesprovenantd'uneseuledesdeux onstru tions.Leplussouvent, 'estla onstru tionfon tionnellequiest adoptée.Ce hoixvientsansdoutede eque, pour beau- oupdemathémati iens,lanotiond'évaluationd'unefon tionenunpointest plusintuitive etmanipulableque elled'évaluationdurésidud'uneformediérentielle.

dif-propriétés(

R1

)et(

R2

).Detelsrésultats ontribueraienteneetàapprofondirnos onnais-san esdes odesgéométriques onstruitsàpartirdesurfa es.Nousdétailleronslesrésultats obtenus dans e sensenpage18.

D'intéressantsdéveloppementsthéoriques. Nousallonsvoirquela onstru tionetl'étude des odesdiérentiels onstruitssurdessurfa esané essitédenombreuxrésultatsthéoriques on ernantles formes diérentielles sur les surfa es. Les résultats énon és dans le premier hapitrene sont pasréellementnouveaux.En géométrie algébrique, la notionde résidu en dimension supérieure à

2

aétéabordéeparGrothendie ket Hartshorne dans[Har66℄ ainsi que par Lipman dans [Lip84℄. Cependant, à la diéren e de es référen es, la notion de résidu présentée dans le hapitreI provient d'une onstru tion expli ite ne faisantappelà au un raisonnementde type fon toriel. Lavolonté de onstruire des odes diérentiels sur des surfa es algébriques adon permis l'élaboration d'une introdu tion au résidus sur des surfa esparuneappro heplusexpli iteet onstru tiveque elles quiexistaientjusque-là

2 .

Avantde passer àune présentation plusdétaillée des diérentes parties de lathèse. Si-gnalonsquele ontenudes hapitresIetIIenversion ondensée adonnélieuàlaréda tion d'unarti le[Cou08℄.

Présentation de la première partie

Si la notion de résidu est bien onnue dans le as des

1

-formes diérentielles sur une ourbealgébriqueetqu'uneuniquedénitionde etobjetfaitl'unanimitédanslalittérature, en dimensionsupérieure lasituation estnettementmoins laire. Parexemple,en géométrie algébrique omplexe,ladénitionénon éedansl'ouvrage[GH78℄deGrithsetHarrisdière de elledulivre[BHPV ℄deBath,Peters,HuleketVandeVen.Pourlepremier,unrésiduest unélémentdu orpsdebase(le orpsdes omplexes)obtenuàpartirdeladonnéed'une

n

-formeméromorphe

ω

déniesurunevariété omplexe

X

dedimension

n

,d'unpoint

P

de

X

et d'unefamilleordonnéede

n

diviseursde ette variétés'interse tanten

P

.Pourlese ond, étant donnéeune variété omplexe

X

et une sous-variété

Y

de odimensionun dans

X

, le résidud'une

r

-formeméromorphesur

X

lelongde

Y

estladonnéed'une

(r − 1)

-formesur

Y

. Notonsdèsmaintenantque esouvragessepla entdansle ontextedesvariétés omplexes, ontexte dans lequel on peut al uler les résidus ave l'aide de la formule de Cau hy. En d'autrestermes,lesrésiduspeuventêtreobtenusenintégrantuneformediérentiellesurune sous-variétéréelle.Cepointdevueutiliselefaitqu'unevariété omplexededimension

n

peut êtrevue ommeunevariétéréellededimension

2n

.Un telpointdevuenepeutévidemment pass'étendreàunautre adre ommeparexemple eluidesvariétéssurun orpsni.

Dans un ontexte plusgénéral, on trouvedans [Har66℄ un objet appelé résidu de Gro-thendie k qui ressembleàl'objetdéniparGrithset Harrisen esensqu'ilasso ie àune formediérentiellededegrémaximalunélémentdu orps(oudel'anneau)debase.Cetobjet est ependant plus fortement relié àun système de oordonnées lo ales et sa onstru tion né essiteunimportantarsenald'objetsetderaisonnementsfon toriels.

Danslapremièrepartie,quiest omposéeduseul hapitreI,onintroduiralesnotionsde

1

-résidu qui orrespondront àla dénition de [BHPV℄ et de

2

-résidu qui orrespondrontà ladénitionde[GH78℄.Nousétudieronségalementlesrelationsquilient esobjets.Pour e faire,nousétudieronslesdéveloppementsdefon tionsetde

2

-formesdiérentiellesenséries deLaurentdedeuxvariables.Le

2

-résiduseral'objetquisus iteraleplusnotreattention.Il permetd'extraireunélémentdu orpsdebaseàpartirdeladonnéed'une

2

-formerationnelle

ω

surune surfa e, d'une ourbe

C

plongéedans ette surfa eet d'un point rationnel

P

de

2

Peudetempsaprèsl'envoidelase ondeversionde emanus rit,OlegOsipovduSteklovMathemati al Institute,m'a onta téaprèsavoir onsultéuneprépubli ationdemesrésultatssurArXiv(voir[Cou08℄).Il m'aalorssignaléqu'uneappro hesimilaireavaitété donnéepar Par²indans[Par76 ℄.J'ignoraisl'existen e

C

.Onlenotera

res

2

C,P

(ω).

Présentation des résultats de la première partie

Les travaux ee tués dans la première partie (don le premier hapitre) aboutissent à deuxtypesderésultats.

Invarian edes

2

-résidus

Le premier résultat majeur est lethéorème I.5.3 qui assure quel'appli ation res

2

C,P

est bien dénie. En d'autrestermes, le

2

-résidu en un point

P

le long d'une ourbe

C

d'une

2

-formerationnelle

ω

nedépend pasd'un hoixde oordonnéeslo ales.

Formulesde sommation

L'obje tifprin ipalde etravailestd'obtenirdesformulesdutype:lasommedesrésidus de

ω

estnulle,envuederelationsd'orthogonalitéentre odesdanslase ondepartie.Dans lase tionI.7du hapitreI,onfourniratroisformulesdesommation

3 .

Théorème I.7.1 (Première formule desrésidus).Soit

S

une surfa e proje tive irrédu tible lisse dénie sur un orps algébriquement los. Soient

C

une ourbe proje tive irrédu tible plongée dans

S

et

ω

une

2

-formerationnelle sur

S

.Ona

X

P ∈C

res

2

C,P

(ω) = 0.

Théorème I.7.4 (Deuxième formule des résidus). Soit

S

une surfa e quasi-proje tive ir-rédu tible lisse dénie sur un orps algébriquement los. Soient

P

un point de

S

et

C

S,P

l'ensemble des germes de ourbes irrédu tibles tra ées sur

S

et ontenant

P

. Pour toute

2

-forme

ω

rationnelle sur

S

,on a

X

C∈CS,P

res

2

C,P

(ω) = 0.

Latroisièmeformuledesommationné essiteladénitionde

2

-résiduenunpointlelong d'undiviseur.Nousrenvoyonslele teuràladénitionI.7.10page50.

Théorème I.7.11 (Troisième formule des résidus, [Lip84℄ hap. 12). Soit

S

une surfa e proje tive irrédu tible lisse dénie sur un orpsalgébriquement los. Soient

D

a

et

D

b

deux diviseurssur

S

dont l'interse tion des supports est unensembleni

Z

.Soit

Ω

2

_(−D

a

− D

b

)

lefais eaude

2

-formes rationnelles vériantlo alement

(ω) ≥ −D

a

− D

b

.

Alors,pour toutese tionglobale

ω

dufais eau

Ω

2

_(−D

a

− D

b

)

,ona

X

P ∈S

res

2

Da,P

(ω) =

X

P ∈Z

res

2

Da,P

(ω) = 0.

3

Commesignalé danslanoteau basdelapage16, unepartie desrésultatsprésentés dans lapremière partiede ette thèseavaientenfaitdéjàétédémontréesdans[Par76 ℄pardesméthodessimilaires.C'estpar

Latroisième formule desrésidus est le résultat quenous utiliserons dans le hapitre II pourobtenirunrésultatd'orthogonalitéentre odes.Ellesedémontreàl'aidedesdeuxautres formules de sommationénon ées(les théorèmesI.7.1 et I.7.4). Cettetroisième formule des résidusn'estpasnouvelle,onentrouveunénon ésimilairedansle hapitre12de[Lip84℄qui est valable entoute dimensionet passeulementsur lessurfa es.Nousinsistons unefois de plussurlefaitqueladémonstrationdonnéedans ette thèse al'intérêtdefaireappelàdes onstru tionsplusexpli itesetplus onstru tivesque ellesutiliséesdanslesdémonstrations onnuesde erésultat.A hevonsnotreargumentationà e sujetparune itationjustement extraitede[Lip84℄,andelégitimer(moreorless)le hoixquenousavonsfaitdeprésenter et démontrer esrésultatsdemanièrenouvelleetplusa essible.

Statements0.3Aand0.3B,are onsequen es(moreorless)of([Har66 ℄page383 orollary 3.4). However, oneof ourmainpurposesinthis paper istoprovide aproof of0.3for whi h lo . it. isnot aprerequisite. The other main purpuseisto des ribe the onne tion between lo al andglobal duality, viaresidues( .f. [Har66℄page 386prop 3.5).

Avant de passer à la présentation de la se onde partie, nissons par une remarque. Il peut sembler naturel de se demander pourquoi les résultats énon és dans ette thèse ne portentprin ipalementquesur lessurfa eset non surlesvariétésde dimensionsupérieure. Diérentesraisonsontmotivé e hoix.Lapremièreestque,mêmes'ilestfortprobablequeles onstru tionsetlesrésultatsprésentésdanslapremièrepartieadmettentunegénéralisation en dimensionsupérieure à

2

, touttravaildans ette dire tion auraitentraînéd'importantes lourdeursdanslesnotations.Nousavonsdon hoisidenousrestreindreau asdéjànontrivial des surfa es,sa hantque, pour etypede problèmede géométriealgébrique, lepassagede la dimension

1

à

2

est l'étapedi ile àfran hir. Enn, l'obje tif étantde travaillersur les odes orre teurs, il semblaitdéjà fortintéressantde ne onsidérer que le as dessurfa es, e derniern'ayantétéquerarementexploré. Ilnousadon sembléinutilede partirversde telles généralités alors que lemonde des surfa es algébriques oraitdéjà de si nombreuses perspe tives.

Présentation de la se onde partie

Lase onde partie ontient les hapitresII àV. Elle on erneles odesgéométriqueset pluspré isémentles odesdiérentiels onstruits surdessurfa esalgébriques.

Présentation des résultats de la se onde partie

Les odesdiérentielssurunesurfa ealgébriquesontdénisdansle hapitreII(dénition II.3.2page59).Onsedonnedanstout e hapitreune surfa eproje tivelisse géométrique-mentintègre

S

sur

F

q

,undiviseur

G

sur

S

etunefamilledepointsrationnels

P

1

, . . . , P

n

de

S

qui évitentlesupport de

G

.Onnote

∆

le

0

- y le

∆ := P

1

+ · · · + P

n

.

Danstout equisuitetjusqu'àlande ette introdu tion,les odesfon tionnelsseront notés

C

L

etles odesdiérentiels

C

Ω

.Lesdénitionsrespe tivesde es odessontdonnées ense tionsII.3.2et II.3.3.

Codesdiérentiels sur lessurfa es

La onstru tion de es odes né essite l'introdu tion d'unepaire dediviseurs

(D

a

, D

b

)

. Pour obtenir une relation d'orthogonalité on dénit la notion de paires de diviseurs

∆

- onvenables(voirdénition II.3.5 page 60). Il s'agit de paires de diviseurs qui sont en un ertainsensreliées au

0

- y le

∆

. Lepremierrésultatmajeur de e hapitreest unerelation d'othogonalité quiest plusfaiblequelapropriété(

R1

)dansle asdes ourbespuisqu'il ne

Théorème II.4.1 (Théorèmed'orthogonalité).Soient

(D

a

, D

b

)

une paire

∆

- onvenable de diviseurset

D := D

a

+ D

b

. Onaalors,

C

Ω,S

(∆, D

a

, D

b

, G) ⊆ C

L,S

(∆, G)

⊥

.

L'in lusion ré iproqueest en généralfausse, omme lemontre le ontre-exempledonné ense tionII.5.2.Plus pré isément,onprésente l'exempled'unesurfa e(leproduit dedeux droitesproje tives)surlaquellel'orthogonald'un odefon tionnelneseréalisesouslaforme d'un odediérentielpourau un hoixdepairedediviseurs

∆

- onvenable

(D

a

, D

b

)

.

Nousétudionsensuitelapossibilitéd'étendreaux odessurlessurfa eslapropriété(

R2

). Àladiéren ede(

R1

), ettese onderelations'étendparfaitementau asdessurfa es. Théorème II.4.6. Soient

(D

a

, D

b

)

une paire

∆

- onvenable de diviseurs et

D := D

a

+ D

b

, alors ilexiste undiviseur anonique

K

telque

C

Ω

(D

a

, D

b

, G) = C

L

(∆, K − G + D).

Théorème II.4.9. Étantdonné undiviseur

G

sur

S

,il existe undiviseur anonique

K

et unepaire

∆

- onvenable

(D

a

, D

b

)

telleque

C

L

(∆, G) = C

Ω

(D

a

, D

b

, K − G + D).

Le hapitreII setermineparunedis ussionense tionII.6autour desraisons dudéfaut d'in lusionré iproquedanslethéorèmed'othogonalitéII.4.1.Cettedis ussionest onsé utive àlaprésentationd'un ontre-exempleàl'in lusionré iproqueduthéorèmeII.4.1donnéeen se tionII.5.2.Par ailleurs, e ontre-exemplepermetde on lurelese ond hapitresurune importante onstatation.Ilassureeneetqueles odesfon tionnels onstruitssurunesurfa e algébrique et leurs orthogonaux appartiennent en généralà une lassediérente.C'est un phénomènequidiéren iefondamentalementle asdes ourbesde eluidessurfa es.Notons que ette asymétrieentre les odesfon tionnelset leursorthogonauxavaitdéjàété signalée parVolo het Zarzardans[VZ05℄.

It is interesting to note that Goppa odes oming from urves are seldom LDPC sin e their duals are also Goppa odes oming from urves and, as su h, have a large minimal distan e, whereasthe dualof anLDPC has asmall minimal distan eby denition.

Pourlereste, etteobservationouvreunintéressantaxedere her he, eluidel'étudede l'orthogonald'un odefon tionnelsurunesurfa e.C'est equidonneralieuau hapitreIV, nousyreviendronsplusloin.

Théorèmederéalisation

Dans le hapitre III on montre omment, sous ertaines onditions sur la surfa e

S

et le diviseur

G

, on peut réaliser l'orthogonal d'un ode fon tionnel non pas ommeun ode diérentielmais ommeunesommede odesdiérentiels.L'énon éduthéorèmefaitappelà lanotiondesous-

∆

- onvenan edénie ense tionIII.2(dénitionIII.2.1page84).

Théorème III.4.1 (Théorèmede réalisation).Soient

S

une surfa elisse géométriquement intègre etinterse tion omplète dansunespa e proje tif

P

r

F

_q

et

G

undiviseur sur

S

linéai-rement équivalent à une se tion de

S

par une hypersurfa e de

P

r

. On se donne également un

0

- y le

∆

qui estlasomme de

n

pointsrationnels de

S

évitant lesupportde

G

.Soit

c

un motdu ode

C

L,S

(∆, G)

⊥

.Alors, il existeune pairede diviseurs

(D

a

, D

b

)

etune

2

-forme

ω

appartenantàl'espa e desse tionsglobales

Γ(S, Ω

2

_{(G − D}

a

− D

b

))

,telsque

c =

res

2

Da,∆

(ω).

Remarque. Le théorèmede réalisation dit enfait unpeuplusqueça, il fournit également des informations sur les stru tures géométriques et les lasses d'équivalen e linéaires des diviseurs

D

a

et

D

b

(voirpage 89).

CorollaireIII.4.2.Sousleshypothèsesduthéorèmederéalisation,ilexisteunefamillenie

(D

a

(1)

, D

(1)

_b

), . . . , (D

(s)

a

, D

_b

(s)

)

de paires de diviseurssous-

∆

- onvenables tellesque

C

L,S

(∆, G)

⊥

=

s

X

i=1

C

Ω,S

(∆, D

a

(i)

, D

(i)

b

, G).

La démonstration du théorème de réalisationutilise un théorème àla Bertini sur les orps nisdémontré parPoonenen2004dans[Poo04℄.Onterminele hapitreenmontrant qu'unargumentàlaBertini detypediérentpourraitpermettred'obtenird'intéressantes informations sur ladistan e minimaled'un ode fon tionnel sur une surfa e. Ce problème resteouvert,nousendis uteronsdenouveaupage21.

Étude del'orthogonal d'un odefon tionnel

Le hapitreIVexplorelavoieouverteparle hapitreII,àsavoirl'étudede ettenouvelle lassede odesquesontlesorthogonauxde odesfon tionnelssurune surfa e.Lapremière se tion de e hapitre sepla e en fait dans un ontexte plusgénéral, elui des variétés de dimensionquel onque.Sonobje tifestdeminorerladistan eminimaledel'orthogonald'un odefon tionnelsurune tellevariétéàl'aidedeméthodesd'algèbrelinéaire.Onobtientun résultatdeminoration.

ThéorèmeIV.1.7. Onsuppose

N

supérieurouégalà

2

.Soit

m

unentiertelque

G ∼ mL

X

, alors (1) ladistan eminimale

d

⊥

du ode

C

L,X

(∆, G)

⊥

vérie

d

⊥

≥ m + 2

etily aégalitésiet seulementsilesupportde

∆

ontient

m + 2

pointsalignés; (2) sinon,silesupport de

∆

ne ontientpas

m + 2

pointsalignés, alors

d

⊥

_{≥ 2m + 2}

etil yaégalitésietseulementsilesupportde

∆

ontient

2m + 2

pointssurunemême onique plane.

On on lut ette premièrese tion en donnant quelques appli ations de e résultat. On montre par exemple que si

X

est une ourbe plane, alors pour ertaines valeursde

m

, la bornefournie parlethéorèmeIV.1.7(1)estmeilleure queladistan e onstruite

4

deGoppa ([Sti93℄ defII.2.4).

Ladeuxièmese tion du hapitreIVprésente une méthodedeminorationde ladistan e minimale de l'orthogonal d'un ode fon tionnel sur une surfa e, sous réserve de disposer d'un résultat à la Bertini que l'on énon e. Cette partie ne fournit don pas de résultat à proprement parler mais motive un problème ouvert que l'on énon era à la n de ette introdu tion(voirquestion5Gpage21).

CodesLDPC etdé odageitératif

Le hapitreVportesurl'étudede ertains odesfon tionnels onstruitssurdessurfa es. CettequestionadéjàétéabordéeparVolo het Zarzardans[VZ05℄.

Le hapitre ommen eparunesériedeprérequis on ernantles odesLDPC(LowDensity Parity Che k, esontles odesadmettantune matri e deparité reuse).On yrappelleles notionsdegraphedeTanneret présenteunalgorithmededé odageitératif.

Dansunse ondtempsonétudielapossibilitéde onstruireune matri edeparité reuse pour ertains odes fon tionnelssurdessurfa es et onapplique à es odesl'algorithme de dé odageitératifprésentéenpremièrepartiede hapitre.Ce hapitreprésenteunvoletplus expérimentalde etravaildethèse,endé rivantdes al ulsee tuésave lelogi ielMagma.

Problèmes ouverts

Dans e qui pré ède, nous avons signalé à plusieurs reprises l'existen e de problèmes ouvertsposéspar etravaildethèse.Nous on luons etteintrodu tionenénonçantlesplus importants.

Sur l'orthogonal d'un ode fon tionnel

Dans le hapitre III, on montre que sous ertaines hypothèses sur la surfa e

S

et le diviseur

G

, l'orthogonaldu odefon tionnelseréalise ommesommede odesdiérentiels. On remarque ensuite par l'étude d'un exemple (page 93) que les onditions que doivent vérier

S

et

G

dansl'énon éduthéorèmederéalisationsontsusantesmaispasné essaires. Question 3.Le résultat duthéorème de réalisation (théorème III.4.1) reste-t-il vrai si l'on élimine leshypothèses sur

S

et

G

dans l'énon é?

Une autrequestionnaturelle sepose on ernantlethéorèmederéalisation,ouplutt le orollaireIII.4.2.

Question4.Sous les onditionsdu orollaireIII.4.2,peut-onestimerlenombreminimalde odesdiérentiels dontla somme estégale àl'orthogonal d'un ode fon tionnel en fon tion d'invariants géométriques de lasurfa e?

Sur les théorèmes à la Bertini

Unequestionmajeureestposéeàlandu hapitreIII etune variantede ette dernière estposéeàlandu hapitreIV.Uneréponseà eproblèmepourraitfournirdesminorations de ladistan e minimale de odes fon tionnels onstruits sur des surfa es et d'orthogonaux detels odes.

Question 5(Arithmétique).Soient

X

une variété proje tive lisse géométriquementintègre sur un orps ni

F

q

et

P

1

, . . . , P

n

, une famille de points fermés de

X

. Peut-on évaluer expli itement ou majorer de façon pré ise le plus petit entier

d

tel qu'il existe au moins une hypersurfa e dénie sur

F

q

de degré inférieur ou égal à

d

qui interpole tous les

P

i

et dont l'interse tion s hématique ave

X

soit une sous-variété lisse géométriquement intègre de odimension

1

?

Question 5(Géométrique). Soit

X

une variété proje tive irrédu tible lisse dénie sur

F

q

et

P

1

, . . . , P

n

unefamillede pointsde

X

.Peut-on évaluerexpli itementoumajorerdefaçon pré ise le pluspetit entier

d

telqu'il existe aumoins unehypersurfa e

H

de degré inférieur ouégalà

d

ontenanttousles

P

i

ettelleque

H ∩ X

soitunesous-variétélissede odimension unde

X

?

Uneprésentationplus omplètedesquestionsetproblèmesouvertsposéspar ettethèse serafaitedansla on lusionpage129.

Résidus de 2-formes sur une

surfa e

Résidu.n.m(lat.residuum).Matièrequisubsisteaprès une opération physique ou himique, un traitement in-dustrielet ...Syn.Débris,dé het,rebut,reste.

Ce hapitreestrelativementdiérentde euxquivontsuivre.Ilesteneetleseuldontle ontenu nesoit pasdire tementreliéàlathéoriedes odes orre teursd'erreurs.L'obje tif estdefournirlematérielthéoriquené essaireàla onstru tionetl'étudede odesdiérentiels onstruitssurdessurfa esalgébriques.

Lanotion entralede epremier hapitreest ellederésidu.

I.1 Notations

Soit

X

unevariétéalgébriquedéniesurun orps

k

,onnote

k(X)

le orpsdesfon tions rationnellessur

X

.Demême,onnote

Ω

i

k(X)/k

le

k(X)

-espa eve torieldes

i

-formes diéren-tiellesrationnellessur

X

.Soit

Y

unesous-variétéirrédu tiblede

X

,ondiraqu'unefon tion (resp.uneformediérentielle) rationnellesur

X

est régulièreauvoisinage de

Y

,siet seule-ment si elleest régulière sur unouvert dontl'interse tion ave

Y

est non vide

1

. L'anneau lo al des fon tions régulières au voisinage de

Y

et son idéal maximal sont respe tivement notés

O

X,Y

et

m

X,Y

.On rappelleque le orpsrésiduel de et anneauestle orps

k(Y )

des fon tionsrationnelles sur

Y

. Si

u

est un élément de

O

X,Y

, on note

u

|Y

sa restri tion à

Y

. Si par ailleursil n'y apas d'ambiguïté on ernant lasous-variété

Y

le longde laquelle on restreintnotrefon tion etterestri tionpourraêtrenotée

u

¯

.Enn,le omplété

m

X,Y

-adique de etanneauest noté

O

b

X,Y

I.2 Cadre

Dans e hapitre,sauf mention ontraire,

k

désigneun orpsquel onque(don de ara -téristique quel onque) et

S

une surfa ealgébrique quasi-proje tivelisse géométriquement intègre

2

dénie sur

k

. De plus, sauf mention ontraire,

C

désigne une ourbe irrédu tible absolumentréduitedéniesur

k

etplongéedans

S

et

P

unpointrationnellissede

C

.Notons que, omme

S

est supposéelisse,

C

est non ontenuedanslelieu singulierde ette surfa e. Par onséquent,l'anneau

O

S,C

est devaluation dis rète. Deplus, lavaluation

m

S,C

-adique de etanneaus'étendenunevaluationdis rèteval

C

sur

k(S)

.

1

Danslelangagedess hémas, elarevientàdirequelafon tion(resp.laformediérentielle)estrégulière auvoisinagedupointgénériquede

Y

.

2

C'est-à-direquesurtoutouvertane

U

de

S

,l'anneaude oordonnéesde

U ×

k

¯

k

estintègre.End'autres termes,lasurfa e

S

estabsolumentréduiteetabsolumentirrédu tible.

Sur la notion de variété

Dans toute ette thèse, nous parlerons de variétés, oril s'avèreque e terme n'est pas réellement standard. Il est don né essaire de ommen er parxer une dénition de ette notion.

Dénition I.2.1. Une variété

X

surun orps

k

est uns héma noethérien de typeni sur

k

.

Pourlesdénitionsdes hémanoethérienet detypenivoir[Har77℄II.3.

I.3 Résidus en odimension 1 et 2

Ilestsignalédansl'introdu tion,qu'endimensionsupérieureà

1

,diérentsobjetsportent lenomderésidu danslalittérature.Nousallonsintroduire esobjetsetétudierlesrelations qui les relient. La dénition de résidu la plus simple à introduire est elle de résidu en odimension

1

.Rappelonsquel'onsepla e sousleshypothèsesénon éesense tionI.2. Proposition I.3.1. Soit

v

une uniformisante

3

de l'anneau

O

S,C

. Soit

ω

une

2

-forme ra-tionnellede valuation supérieureouégale à

−1

lelongde

C

.Alors, ilexiste

η

1

∈ Ω

1

k(S)/k

et

η

2

∈ Ω

2

_k(S)/k

,toutesdeuxrégulièresauvoisinage de

C

ettellesque

ω = η

1

∧

dv

v

+ η

2

.

(I.1)

De plus, la forme diérentielle

η

1|C

∈ Ω

1

k(C)/k

estuniqueet ne dépendni du hoix de l'uni-formisante

v

nidu hoix de la dé omposition (I.1).

DénitionI.3.2. Onappelle ette

1

-formesur

C

le

1

-résidude

ω

lelongde

C

etonlanote res

1

C

(ω) := η

1|C

.

UnanaloguedelapropositionI.3.1esténon éetdémontré dans[BHPV ℄audébutdela se tionII.4.Notonsqueladiteréféren esepla edansun adresensiblementdiérent,àsavoir eluidesformesholomorphessurlesvariétés omplexes.Toutefois,lapreuved'invarian ene faitenau un asappelàdespropriétésspé iquesdesvariétés omplexes.Elles'étenddefait aisémentau adredanslequelnous travaillons.Nousdonneronsense tionI.5.1une preuve de ette proposition-dénitiondansun ontexteplusgénéral(voirlemmeI.5.6).

Dénition I.3.3. Sous les hypothèses de la proposition I.3.1, soit

P

un point

k

-rationnel lisse de

C

.Le

2

-résidude

ω

en

P

lelongde

C

estlerésidu en

P

du

1

-résidude

ω

lelongde

C

.Onlenote res

2

C,P

(ω) :=

res

P

(

res

1

C

(ω)).

Remarque I.3.4. Étant donné quela

2

-forme

ω

est

k

-rationnelle sur

S

,que la ourbe

C

estdénie sur

k

etque

P

est unpoint

k

-rationnel de

C

, e

2

-résidu estunélémentde

k

.

Notonsque, ommele orpsdebasen'estpassupposéalgébriquement los,ilpeutsembler logique de sepla er dansun adreplusgénéral, àsavoirque

P

est unpoint fermé lissede

C

. Cependant, la motivation de e hapitre est d'aboutirà des formules desommation de

2

-résidus,dontl'une(lethéorèmeI.7.11)peutêtrevue ommeuneversionendimension

2

de laformuledesrésidusbien onnueendimension

1

.Pourparvenirà esformules,nousavons trouvé plus onfortable d'adopter une appro he géométrique.Ainsi, dans lase tion I.7 qui on erne esformulesdesommation,le orpsdebaseest supposéalgébriquement los.

D'unautre té,nousauronstoutdemêmebesoindansles hapitressuivantsd'unrésultat de typearithmétique,àsavoirlaremarque I.3.4.En eet,l'obje tif étantde onstruiredes

3

odesparévaluationderésidus,ilfaut s'assurerquelesmotsde ode onstruits sontbienà oe ientsdansun orpsxé.

Ainsi, le ompromis adopté est le suivant. Étant donné que tout point géométrique de

S

est unpointrationnel de ettesurfa eaprès une ertaineextension dess alaires,on tra-vailleratoujoursave despointsrationnels.Dansunse ondtempslorsqu'ils'agirad'énon er des résultatsde sommation, on sepla era dans

S ×

k

¯

k

de façonà pouvoir onsidérer sans distin tiontouslespointsgéométriquesde

S

.

Avant de passer à la se tion suivante, donnons quelques exemples et remarques pour ommen eràdévelopperune ertaineintuitiondesrésidus.

Remarque I.3.5. Dans les deuxdénitionspré édenteson asupposéque

ω

n'avaitpas de ple multiple le long de

C

. Dans e qui va suivre, nous verrons que les

2

-résidus sont bien dénismême sil'on retire ettehypothèse. Cependant, ette onditionsurla valuation de

ω

le longde

C

est indispensable pour la bonne dénition des

1

-résidus le longde

C

.C'est e quemontrel'exemple I.3.6.

Exemple I.3.6. Supposons que

S

est leplan ane omplexe

A

2

C

munid'un système de o-ordonnées anes

(x, y)

. Soient

C

la droite d'équation

y = 0

et

P

l'originedu plan ane. Considéronsla

2

-forme

ω := xdx ∧

dy

y

2

.

Une généralisationnaturelle de lanotionde

1

-résiduserait d'extrairede

ω

,la restri tionà

C

duterme en

dy/y

.Dansl'expression i-dessus onobtiendraitun

1

-résidu nul.Ee tuons maintenantle hangementdevariables,

x := u + y

.L'expressionde

ω

devient

ω = (u + y)du ∧

dy

y

2

= udu ∧

dy

y

2

+ du ∧

dy

y

etonobtiendraitdans e asun

1

-résiduégalà

d¯

u

.

Remarque I.3.7. Il faut insister dès à présent sur le fait que l'on ne peut pas parler de résidud'une

2

-formeenunpointmais derésidud'une

2

-forme,le long d'une ourbe

C

en unpoint

P

.Cela peut sembler étrange, mais le al ul présenté dans l'exemple I.3.8 permet de se onvain redufaitque ettespé i ationest in ontournable.

Exemple I.3.8. Onreprend

S = A

2

C

etlesmêmes

C

et

P

quedansl'exempleI.3.6.Soit

ω :=

dx

x

∧

dy

y

.

I inoussommesdansun assympathique,la

2

-forme

ω

n'aquedesplessimplesauvoisinage de

P

.Onares

1

C

(ω) =

d¯

¯

x

x

et don res

2

C,P

(ω) = 1.

À présent, posons

C

′

_{:= {x = 0}}

. L'anti ommutativité du produit extérieur entraîne que res

1

C

′

(ω) = −

d¯

y

¯

y

.Defait, res

2

C

′

_,P

(ω) = −1.

Enn,sionappelle

C

′′

ladroited'équation

{x = y}

,enposant

v = y − x

, onobtient,

ω =

dx

x

∧

dv

v + x

.

OndéveloppealorsensériedeLaurentenlavariable

v

,

ω =

dx

x

∧

dv

x 1 +

_x

v

=



1 −

v

x

+

v

2

x

2

− · · ·



dx

x

2

∧ dv.

Par onséquent,iln'yapasdetermeen

dv

v

,don res

1

C

′′

(ω) = 0

et res

2

C

′′

_,P

(ω) = 0.

Cedernierexemplemotiveles onstru tionsintroduitesdanslase tionsuivante.Eneet, le al ulee tué orrespondàundéveloppementdu oe ientde ette

2

-formeenunesérie deLaurentappartenantà

k((x))((v))

. Parailleurs,lessériesdeLaurentétantl'objetutilisé enthéoriedes ourbesalgébriquespour al ulerdesrésidusilsemblenatureld'enintroduire une généralisationendimension

2

.

I.4 Complétions et séries de Laurent en deux variables

I.4.1 Problématique

Enunpoint

k

-rationnellisse

Q

d'une ourbealgébrique

X

, ilest aisédedé rirele om-plété

m

X,Q

-adique de

k(X)

. Ils'identieau orps desséries deLaurent

k((u))

,où

u

estun paramètrelo al en

Q

. I i, lefait que

k(X)

ontiennele orpsrésiduel de

k(X)

[

, àsavoir

k

, permet d'obtenir un unique plongement

k(X) ֒→ k((T ))

envoyant

u

sur

T

. On dispose en parti ulierd'uneméthodeexpli itepourdé omposerunefon tionensériesdeLaurentenla variable

u

,et al ulerlerésidud'une

1

-formeen

Q

.

Dansle asd'un orpsdefon tionsdedimension

2

,lasituationse ompliquelourdement. Si

Y

est une surfa eirrédu tiblesur

k

, lesanneauxde valuation dis rète de

k(Y )

sontses sous-anneauxdelaforme

O

Y,C

,où

C

estune ourbeirrédu tibleabsolumentréduite ontenue dansle omplémentairedulieusingulierde

Y

(oud'unesurfa ebirationnelleà

Y

).Soit

C

une telle ourbeet

v

uneuniformisantede

O

S,C

.Le orpsrésiduelde etanneaulo alestle orps

k(C)

desfon tions

k

-rationnellessur

C

.Defait,l'anneau

O

S,C

estdevaluation dis rète,de même ara téristiquequeson orpsrésiduel(ils ontiennenttousdeux

k

)et ontientun orps. D'aprèslethéorèmedestru turedeCohen(voir[Eis95℄théorème7.7ou[Coh46℄théorème9 pouruneréféren ehistorique),l'anneau

O

b

S,C

estisomorpheà

k(C)[[v]]

etle omplété

m

Y,C

-adique de

k(Y )

est isomorpheà

k(C)((v))

. Cettedes riptionpeutsembler ommode,ellea toutefois undéfaut qui larend di ile àexploiter : en général

k(Y )

ne ontient pas

k(C)

. L'exemplesuivantillustre ephénomène.

Exemple I.4.1. Soient

S = P

2

k

et

C ⊂ S

une ourbeelliptique.Alors,il existe

x ∈ k(S)

telle que

k(C)

est une extension quadratique de

k(x)

et

k(S)

une extension trans endante pure de

k(x)

. D'aprèslethéorèmedeLuröth,

k(S)

nepeutpas ontenir

k(C)

.

Une autre appro he onsiste à onsidérer l'anneau lo al

O

S,P

et à le ompléter

m

S,P

-adiquement.Si l'on sedonne unsystèmede oordonnéeslo ales

(u, v)

en

P

,l'anneau

O

b

S,P

est isomorphe à

k[[u, v]]

et la dé omposition en série de Taylor d'un élément de

O

S,P

est expli itement al ulable(voir[Sha94℄ II.2.2). Malheureusement,si le orps desfra tions de

k[[t]]

est isomorpheà

k((t))

,onnedisposepasd'unedes riptionaussiagréabledu orpsdes fra tions de

k[[u, v]]

. Ces onstatations motivent le travail qui va être ee tué dans ette se tion. Il s'agit de plonger les omplétés

m

P

et

m

C

-adiques de

k(S)

dans un orps plus gros. Deux appro hes vontêtre proposées. Moralement, lapremière utilise lastru ture de

O

S,P

etlase onde ellede

O

S,C

.

I.4.2 Développements en séries de Laurent, première appro he

Rappelonsque

C

estsupposéeêtreune ourbeirrédu tiblesur

k

plongéedans

S

et

P

un pointrationnellisse de

C

. Danslase tion I.3,nous avonsvu queles

2

-résidus d'uneforme diérentielledépendaientd'une ourbeetd'unpointde elle- i.Defaitnousallonsintroduire untypedesystème de oordonnéeslo alesrelié à

P

et

C

.

Dénition I.4.2 (

(P, C)

-pairesfortes). On dit qu'une paire

(u, v)

d'éléments de

O

S,P

est une

(P, C)

-paire forte,siellevérie lesdeux onditionssuivantes.

(1) Le ouple

(u, v)

est unsystème de oordonnées lo ales en

P

. (2) Lafon tion

v

est uneéquation lo alede

C

auvoisinage de

P

.

Lemme I.4.3. Soit

(u, v)

une

(P, C)

-paire forte, alors il existe unmorphisme

φ : k(S) ֒→

k((u))((v))

qui envoie

u

et

v

sureux-mêmes et tel que l'image de

O

S,P

est ontenue dans

k[[u, v]]

et ellede

O

S,C

dans

k((u))[[v]]

.

Remarque I.4.4. La proposition I.4.12 de la se tion I.4.3entraîneraqu'un telmorphisme estunique.

Preuve. Comme

k(S)

estle orpsdesfra tionsde

O

S,C

,ilsutdemontrerl'existen ed'un morphisme

φ

0

: O

S,C

֒→ k((u))[[v]]

, qui envoie

u

et

v

sur eux-mêmes et inje te

O

S,P

dans

k[[u, v]]

.Lelemme s'endéduiraenappliquantlapropriétéuniverselledes orpsdefra tions. Commençonsparmontrerque

O

S,C

est isomorpheà

O

S,P (v)

.Soit

U

unvoisinageane de

P

telque

v

soitune fon tionrégulièresur

U

dontlelieu d'annulationsur etouvertsoit exa tement

C ∩ U

.Un telouvertexiste étantdonnéque

v

est uneéquation lo alede

C

au voisinagede

P

. Notons

k[U ]

l'anneaudesfon tionsrégulièressur

U

.

Les anneaux

O

S,P

et

O

S,C

s'identient respe tivement auxlo alisés

k[U ]

m

P

et

k[U ]

m

C

où

m

P

et

m

C

orrespondentrespe tivement à

P

et

C

. De plus, l'idéal

m

C

est prin ipal et engendrépar

v

.Defait, omme

m

C

⊂ m

P

,ona

O

_{S,P (v)}

∼

= (k[U ]

m

_P

)

m

_C

∼

= k[U ]

m

_C

∼

= O

S,C

.

Ensuite,la omplétion

m

S,P

-adiquede

O

S,P

fournitunmorphismeinje tif

O

S,P

֒→ k[[u, v]]

, quiàunefon tionrégulièreauvoisinagede

P

asso iesasériedeTaylorenlesvariables

u

et

v

.On onsidèrealorslediagramme

O

S,P

lo

O

S,C

omp

∃!

b

O

S,C

∃!

k[[u, v]]

lo

k[[u, v]]

(v)

omp

\

k[[u, v]]

(v)

.

(I.2)

Lesdeux premièresè heshorizontalesdu arréde gau hesontdeslo alisations.Celles du arrédedroitesontdes omplétions

(v)

-adiques.

Pourniril nenous restequ'à montrerque

\

k[[u, v]]

_(v)

est isomorpheà

k((u))[[v]]

. Pour efaire,on ommen eparmontrerquele orpsrésidueldel'anneau

\

k[[u, v]]

_(v)

est

k((u))

.En eet,

\

k[[u, v]]

_(v)

/(v) ∼

=

Fra

(k[[u, v]]/(v)) ∼

=

Fra

(k[[u]]) .

Oninvoqueensuitelethéorèmedestru turedeCohen.L'anneau

\

k[[u, v]]

_(v)

est omplet,de même ara téristique que son orps résiduel et ontient un orps.Il est don isomorphe à l'anneau

k((u))[[v]]

.

Remarque I.4.5. Noter que les variables

u

et

v

ne jouent pas un rle symétrique, par exemplela série

f :=

∞

X

n=0

v

n

u

n

estunélémentde

k((u))((v))

mais pas de

k((v))((u))

.Cette asymétrien'a riende hoquant étant donné que, dans la dénition de

(P, C)

-paire forte, les fon tions

u

et

v

elles-mêmes jouentdesrles asymétriques.

I.4.3 Développements en séries de Laurent, se onde appro he

Dans e paragraphe, nous allons introduire une autre appro he du développement en série de Laurent. Pour ette nouvelle appro he, nous nous pla erons dans le ontexte des

(P, C)

-pairesfaibles (voirdénition I.4.9),moins restri tifque eluides

(P, C)

-pairesfortes. Laprin ipalemotivationde ettese onde onstru tionestquesil'onprendunefon tion rationnelle

f

sur

S

,elle admetundéveloppementen sériede Laurentquel'on peut mettre souslaforme

f =

X

n≥l

f

i

(u)v

i

,

où l'entier

l

désignelavaluation

m

S,C

-adiquede

f

. Les oe ients

f

i

sontdesélémentsde

k((u))

. La série

f

l

(¯

u)

est le développement

¯

u

-adique au voisinagede

P

de la restri tionà

C

de lafon tion

v

−l

_f

.Ils'agitdon dudéveloppementen sériedeLaurentenlavariable

u

¯

d'une fon tion rationnellesur

C

. Une question sepose : en est-il de même pour les autres oe ients

f

i

?

Soit

(u, v)

une

(P, C)

-paireforte.Commenousl'avonssignalédansl'introdu tionde ette se tion,d'aprèslethéorèmedestru turedeCohen,l'anneau

O

b

S,C

estisomorpheà

k(C)[[v]]

. Malheureusement et isomorphisme n'est en au un as unique. En eet, d'après [Coh46℄ théorème10( ), si

k

estde ara téristiquepositive,ilyauneinnitédesous- orpsde

O

b

S,C

qui sont envoyés sur le orps résiduel

k(C)

via le morphisme de rédu tion modulo

m

S,C

. Plus pré isément, edéfaut d'uni ité d'unreprésentantdu orps résiduelest liéau faitque e derniern'estpasparfait.D'une ertainemanière,le hoixde

u

permetde ontournerles éventuels problèmes d'inséparabilité. De e fait, pour utiliser le théorème de Cohen, nous allons hoisirunreprésentantdu orps

k(C)

quiseraenun ertainsensreliéàlafon tion

u

. PropositionI.4.6 (Le orps

K

u

). Soit

u ∈ O

S,C

une fon tiondontlarestri tion

u

¯

à

C

est un élément séparant

4

de

k(C)

au-dessus de

k

. Alors, il existe un unique sous- orps

K

u

de

b

O

S,C

ontenant

k(u)

et isomorphe à

k(C)

via le morphisme de rédu tion modulo

m

S,C

. De plus, e orpsetune extensionmonogène de

k(u)

engendréeparunélément

y

de

O

b

S,C

. Preuve. Existen e.Parhypothèse,l'extensionde orps

k(C)/k(¯

u)

estuneextension nie séparable.D'après lethéorèmedel'élémentprimitif, il existe unefon tion

y

¯

rationnelle sur

C

quiengendre

k(C)

sur

k(¯

u)

.D'aprèslelemmedeHensel,

y

¯

serelèveenununiqueélément

y

de

O

b

S,C

dontlepolynmeminimalsur

k(u)

est eluide

y

¯

sur

k(¯

u)

.Soit

K

u

,lesous-anneau de

O

b

S,C

engendrépar

k(u)

et

y

, 'est-à-dire

K

u

:= k(u)[y].

Onobtientainsiune opiede

k(C)

qui ontient

k(u)

ets'envoieisomorphiquementsur

k(C)

vialarédu tionmodulo

m

S,C

.

Uni ité. Soit

K

′

un orps distin t de

K

u

et vériant les mêmes propriétés. Il existe don unélémentde l'unde es orps quin'appartientpasàl'autre.Supposons parexemplequ'il existe

z ∈ K

′

telque

z /

∈ K

u

.La lassede

z

modulo

m

S,C

est une fon tion

z ∈ k(C)

¯

.Cette dernièreadmetununiquerelevé

z

′

dans

K

u

.De fait,soit

R ∈ k(¯

u)[T ]

lepolynmeminimal unitairede

z

¯

audessus de

k(¯

u)

.Alorsles éléments

z

et

z

′

de

O

b

S,C

sonttousdeuxsolution duproblèmesuivant,



Z

≡

z

¯

mod

m

S,C

R(u, Z) =

0.

Ce problème admetune solutionuniqued'aprèsle lemme deHensel ([Eis95℄ théorème7.3) e qui ontreditl'hypothèseque

z

n'appartientpasà

K

u

.

CorollaireI.4.7. Soit

u

unefon tionrationnellesur

S

régulièreauvoisinage de

C

dontla restri tion

u

¯

à

C

estunélément séparantde

k(C)/k

.Alors, toutefon tionrationnelle

f

sur

S

admetununiquedéveloppement dans

K

u

((v))

.

RemarqueI.4.8. Enréalité,lerésultaténon édansle orollaireI.4.7estvalable pourtout élémentdu omplété

m

S,C

-adiquedu orps

k(S)

.

Notonsque,pourdé rire e orps

K

u

nousavonseubesoinde onditionsplusfaiblessur

u

que ellesqui sontexigéesdansla dénition de

(P, C)

-paireforte.C'est e qui motivela dénitionsuivante.

Dénition I.4.9 (

(P, C)

-paires faibles). Une

(P, C)

-paire faible est une paire

(u, v)

d'élé-mentsde

O

S,C

vériantles onditions suivantes.

(1) Larestri tion de

u

à

C

estune uniformisantede

O

C,P

. (2) Lafon tion

v

est uneuniformisante de

O

S,C

.

RemarqueI.4.10. Dans[Par76℄,le ontextedé ritpage699revientexa tementàsedonner une

(P, C)

-paire faible.

Il vade soi qu'une

(P, C)

-paire forte est faible, mais la ré iproque est fausse. En eet, en e qui on erne

u

,le fait quesarestri tion à

C

soit régulière auvoisinagede

P

ne signie pasque

u

l'est.Quantà

v

, la ondition : être une équation lo ale de

C

au voisinage de

P

estplusforteque elled'êtreune uniformisantede

O

S,C

.L'exemplequisuit permet des'en onvain re.

Exemple I.4.11. Supposonsque

S

soitleplanane omplexemunide oordonnéesanes

x

et

y

.Soient

C

ladroited'équation

y = 0

et

P

l'origineduplanane.Posons

u :=

(x + y)(x − y)

x

et

v := xy.

Alors,le ouple

(u, v)

est une

(P, C)

-pairefaible qui n'estpas forte.En eet,la fon tion

u

n'estpasrégulièreen

P

etlafon tion

v

estdans

m

2

S,P

,ellen'estdon pasuneéquationlo ale de

C

auvoisinagede

P

.

Nouspouvonsmaintenantprésenterlese ondpro édédedé ompositionensériesdeLaurent.

Proposition I.4.12. Soit

(u, v)

une

(P, C)

-paire faible, il existe un uniquemorphisme

ϕ :

k(S) ֒→ k((u))((v))

qui envoie

O

S,C

sur

k((u))[[v]]

etenvoie

u, v

sureux-mêmes.

Preuve. Existen e.Tout ommedanslapreuvedulemmeI.4.3,ilsut deprouver l'exis-ten e d'un morphisme

ϕ

0

: O

S,C

֒→ k((u))[[v]]

envoyant

u

et

v

sur eux-mêmes, puis d'ap-pliquerlapropriétéuniverselledes orpsdefra tions.La ourbe

C

estsupposéeabsolument réduite.Don ,d'après[Mum99℄propositionII.4.4(i),l'extension

k(C)/k

estséparable,don admetunebasedetrans endan eséparante.Parailleurs,lafon tion

u

¯

estuneuniformisante de

O

C,P

⊂ k(C)

, don sadiérentielle

d¯

u ∈ Ω

1

k(C)/k

est nonnulleet d'après[Bou59℄ V.16.7 théorème5, 'estunélémentséparantde

k(C)/k

.

D'aprèsle orollaireI.4.7,ondisposed'uneinje tion

O

S,C

֒→ K

u

[[v]]

et

K

u

estisomorphe à

k(C)

vialemorphismederédu tionmodulo

m

S,C

.Deplus, omme

u

¯

estuneuniformisante de

O

S,P

, le omplété

m

C,P

-adiquede

k(C)

est isomorpheà

k((¯

u))

. On dispose don d'une inje tion

K

u

֒→ k((u))

qui s'étend oe ient par oe ient en un morphisme

K

u

[[v]] ֒→

k((u))[[v]]

.Onendéduit l'existen edel'appli ation

ϕ

0

: O

S,C

֒→ k((u))[[v]]

re her hée. Uni ité. Soit

ϕ

′

0

: O

S,C

→ k((u))[[v]]

, unautre morphismed'anneauxenvoyant

u

et

v

sur eux-mêmes.Nousallonsmontrerquelediagrammesuivantest ommutatif.

O

S,C

ϕ

′

0

ϕ0

b

O

S,C

∼

K

u

[[v]]

r

k((u))[[v]]

id

k((u))[[v]]