Le as des odes fon tionnels sur une surfa e

Jusqu'à la n du hapitre, nous nous plaçons sous l'hypothèse III.4 énon ée page 89. ReprenonslaremarqueIII.4.6.LethéorèmeIII.4.4dePoonennous assurel'existen ed'une ourbelissegéométriquementintègre

C ⊂ S

obtenue parinterse tionde

S

ave une hyper- surfa ede

P

r

et qui interpoletous lespoints

P1, . . . , Pn

dusupport de

∆

. Puis, d'aprèsle lemme III.4.3,l'appli ationderestri tionà

C

Γ(S, L(G)) → Γ(C, L(G∗))

est surje tive. Si l'on note

D

le diviseur sur

C

déni par

D := P1

+ · · · + Pn

, alors la surje tivitédel'appli ation i-dessusentraînequeles odes

CL,S(∆, G)

et

CL,C(D, G

∗₎

sont identiques.Le ode

CL,S(∆, G)

s'identiedon àun odesurune ourbealgébrique.Si

G

est linéairementéquivalent à

mLS

, alors

G

∗

es linéairementéquivalentà

mLC

. Le tout est de savoirquelestledegréde

LC

.Cedegréestlenombredepointsgéométriquesdel'interse tion de

C

ave unhyperplangéométriquegénérique, 'estdon ledegrédela ourbe

C

pourson plongementdans

P

r

.Enn,auvudela onstru tionde

C

,sondegrén'estautrequeledegré de

S

multipliéparle degréde l'hypersurfa e

H

telle que

C = H ∩ S

. Par onséquent, une estimationsusammentnedudegrédel'hypersurfa e

H

permettraitdeminorerladistan e minimaledu ode

CL,S(∆, G)

.

Question 5(Arithmétique). Soient

X

une variétéproje tivelisse géométriquement intègre sur un orps ni

Fq

et

P1, . . . , Pn

, une famille de points fermés de

X

. Peut-on évaluer expli itement ou majorer de façon pré ise le plus petit entier

d

tel qu'il existe au moins une hypersurfa e dénie sur

Fq

de degré inférieur ou égal à

d

qui interpole tous les

Pi

et dont l'interse tion s hématique ave

X

soit une sous-variété lisse géométriquement intègre de odimension

1

?

Dans [Poo04℄, Poonenmontre que de telles hypersurfa es existentet formentmême un sous-ensemblededensitépositivedansl'ensembledeshypersurfa esde

P

r

,maisilnedonne au une information sur le degré minimal d'une telle variété. On est de e fait assurés de l'existen edel'entier

d

maisnedisposed'au unpro édéd'estimationexpli ite.

Notonsquelaquestion5A(Arithmétique)neportequesurleshypersurfa esdéniessur

Fq

. La remarque qui suit assure que l'on peut seposer la questionpour les hypersurfa es dénies sur

Fq

.

RemarqueIII.6.1. Soit

Fqm

uneextensionde

Fq

et

S

′

lasurfa e

S

′_{:= S ×}

F_qFqm

.Notons

∆′

et

G

′

pourlestirésenarrière respe tifsde

∆

et

G

sur

S

′

.Ondisposealors del'égalitéde odes

CL,S(∆, G) ⊗F_qFqm

= C_L,S′(∆′, G′).

Enparti ulier, es odesont lamême distan e minimale.

Par onséquent, on peut her her une réalisationdu ode

CL,S(∆, G) ⊗ Fqm

pour une extensionquel onque de

Fq

, equi ramènenotreproblèmeàlaquestionsuivante.

Question 5 (Géométrique). Soit

X

une variété proje tive irrédu tible lisse dénie sur

Fq

et

P1, . . . , Pn

unefamilledepointsde

X

.Peut-onévaluer expli itementoumajorerde façon pré iselepluspetitentier

d

telqu'ilexisteaumoinsunehypersurfa e

H

dedegréinférieurou égalà

d

,qui ontiennetousles

Pi

ettelleque

H ∩X

soitunesous-variétélissede odimension

1

de

X

?

Cette dernière question ressemble fortement à un théorème à la Bertini. En eet, si l'on note

dd

le système linéaire des se tions hyperplanes de

X

de degré

d

et

d

′

d

le sous- système linéaire de

dd

des se tions hyperplanes de

X

interpolant les

Pi

, alors la question 5G (Géométrique)setraduitpar:le système linéaire

d

′

d

possède-t-ilunélément irrédu tible lisse?

Lesquestions5Aet5Grestentouvertes.Notonsquel'arti le[KA79℄d'AltmanetKleiman donneunepistepourtenterd'y répondre.Les ommentaires i-dessousontétésuggéréspar

ThéorèmeIII.6.2(Altman,Kleiman1979). Soient

k

un orpsinni,

X

unsous-s hémade l'espa eproje tif

P

r

k

et

Z

unsous-s hémade

X

.Soit

I

Z

lefais eaud'idéauxde

OPr

asso iéà l'adhéren ede

Z

dans

X

.Soit

d

unentiertelque

I

Z(d)

estengendréparsesse tionsglobales. Supposons que

X r Z

est lisse, alors l'interse tion de

X

par des hypersurfa es génériques indépendantes dedegré

d + 1

estlisse horsde

Z

.

Dansnotresituation,soit

Z

laréuniondespoints

P1, . . . , Pn

.Supposonsquel'on onnaisse unentier

d

telque

IZ(d)

soitengendréparsesse tionsglobalesetquepourtout

i

,lefais eau

(IZ/mPiIZ)(d)

soit engendré parles se tions globalesde

IZ(d)

. Alors, une se tion globale génériquede

IZ(d)

seraenvoyéesurunélémentnonnulde

mPi/m

2

Pi

etseradon nonsingulière en e point, ellesera également lissehors de

Z

d'aprèslethéorème i-dessus. Le problème resteentousles asdetrouveruntelentier

d

ouunebornesupérieurepour elui- i.

Orthogonal d'un ode

fon tionnel

Dans e hapitre, nous allonstravaillersur leproblème de laminorationde ladistan e minimale de l'orthogonal d'un odefon tionnel. Nous allons présenter deux appro hes. La premières'applique aux odes fon tionnels onstruits àpartirde variétésproje tivesdedi- mensionquel onqueetpasseulementauxsurfa es.Elleestdeplusindépendantedetousles résultatspré édemmenténon éset ne faitpasintervenir lanotiondeformes diérentielles. Lase ondeappro he,elle,utiliselesrésultatsobtenusdansle hapitreIII.

Pourlereste, e hapitrenepeutêtre onsidéré ommetotalementabouti.Ilouvre epen- dantun ertainnombredeproblèmesdegéométriealgébriquesurlessystèmeslinéairesdont larésolutionpermettraitd'obtenir desminorationsdeladistan e minimaledel'orthogonal d'un odefon tionnel.

Notations

Nous allonsreprendredans e hapitreun ertainnombrede notationsutiliséesdans le hapitre III. En parti ulier, on rappelle que si

X

est une sous-variété fermée d'un espa e proje tif,on note

LX

la lasse d'équivalen elinéaired'unese tion hyperplanede

X

et

KX

la lasse anoniquesur

X

.

IV.1 Première appro he

Cetteappro he onsisteen faitàn'utiliser quedes méthodesd'algèbrelinéairerelative- ment élémentaires. Dans ettese tion,

N

désigne un entier naturel non nul et

k

un orps quel onque.Onsedonneunevariétéproje tivelissegéométriquementintègre

X

interse tion omplètedansunespa eproje tif

P

N

et munied'undiviseur

G

etd'un

0

- y le

∆

.Onsup- pose égalementqu'ilexisteunentiernaturel

m

telque

G ∼ mLX

et que

∆

est une somme depointsrationnelsde

X

quiévitentlesupportde

G

.

Dans le document Résidus de 2-formes différentielles sur les surfaces algébriques et applications aux codes correcteurs d'erreurs (Page 97-100)