Dis ussion autour du théorème de réalisation

Quelques ommentairess'imposentausujet duthéorèmeIII.4.1et desadémonstration. D'abord,ilest importantdenoterquelapreuvede ethéorèmederéalisationn'estmalheu- reusementpas onstru tive.Eneet, ettedernièrereposesurlethéorèmeIII.4.4dePoonen qui n'est lui-mêmequ'un résultatd'existen e. Ce dernierne donne parexempleau unein- formationsurledegréminimal del'hypersurfa equipermetde onstruirelediviseur

Da

Ensuite,onrappellequelerésultatn'estdémontréquesous ertaines onditions,àsavoir quelasurfa e

S

est interse tion omplèteet quelediviseur

G

est linéairementéquivalentà

mLS

.Enfait, es onditionssontprin ipalementlàpourassurerlasurje tivitédel'appli ation

Γ(S, L(G)) → Γ(C, L(G∗)).

Il s'avère que ette appli ation est fréquemment surje tivemais e n'est pas systématique (un ontre-exempleestdonnéenIII.5.1).Leshypothèsesduthéorèmeassurentlasurje tivité del'appli ationpourtoute ourbelisseobtenueparinterse tionde

S

ave unehypersurfa e. En on lusion,ils'agitde onditionssusantes, maisabsolumentpasné essaires.Ilestfort possibleque lerésultat restevraien omettant es hypothèses,nous n'avons ependantpas été àmêmedele démontrer dansun as plusgénéral.L'exempleélémentaireprésenté dans lase tionIII.5.1va onrmerl'aspe tnonné essaire de eshypothèses.

Celanousamèneàposerlaquestionouvertesuivante.

Question3.Lerésultatduthéorèmederéalisationreste-t-ilvraisil'onélimineleshypothèses quedoivent vérier

S

G

Notonségalementquelethéorèmederéalisation(plusexa tementle orollaireIII.4.2)répond àlaquestion2poséepage81 sous ertaineshypothèsessur

S

G

.Cependant, sil'on sait que sous es hypothèsesl'orthogonal d'un odefon tionnelseréalise ommeune sommede odesdiérentiels,laquestionsuivante resteouverte.

Question4. Sousles onditionsdu orollaireIII.4.2,peut-onestimerlenombredeminimal de odesdiérentielsdontlasommeestégaleàl'orthogonal d'un ode fon tionnelenfon tion d'invariants géométriques de la surfa e?

III.5.1 Un exemple de réalisation sans que les onditions du théorème

de III.4.1 soient vériées

Soient

S

lasurfa eobtenueparl'é latementde

P

2

enunpoint

O

π : S → P2_,

l'é latementde

P

2 O

.Le diviseur

G

estlediviseur ex eptionnelde

S

et le

0

- y le

∆

, la sommedespointsrationnelsde

S

non ontenusdanslesupportde

G

.Lasurfa e

S

peutêtre plongée dans

P

5

viale plongement deSegré ([Sha94℄ I.5.1). Pour e plongement,

S

est un interse tion omplète.Cependant,lediviseur

G

nepeuts'identieràunese tionhyperplane de

S

pour au un plongement de ettesurfa e.En eet, il est d'auto-interse tion

−1

, don nevériepasle ritèredeNakai-Moishezon([Har77℄théorèmeV.1.10).L'espa e

Γ(S, L(G))

estdedimension

1

etne ontientquelesfon tions onstantes.Eneet, omme

G

estd'auto- interse tionnégative,ilestleseulélémentdusystèmelinéaire

|G|

quiestdon dedimension nulle. Par onséquent, ladimension de

Γ(S, L(G))

est égaleà

1

. On vérieensuite que les onstantessontbiendesélémentsde etespa e.

Soit àprésent

L

la transformée stri ted'une droite de

P

2

passant par

O

. La ourbe

L

interse te

G

transversalementenununiquepoint

Q

.Letiréenarrière

G

∗

G

parl'in lusion anoniquede

L

dans

S

estégalà

Q

.Defait,l'espa e

Γ(L, L(G

∗₎₎

estdedimension

2

etdon l'appli ation

Γ(S, L(G)) → Γ(L, L(G∗))

n'estpassurje tive.Montronsmaintenantquel'onpeuttoutdemêmeréalisertouslesmots de

CL(∆, G)

⊥

ommerésidusde

2

-formessur

S

Appro henon onstru tive.

Soit

c

unmotde

CL(∆, G)

⊥

et soit

Λ

0

- y lede

S

orrespondantausupport de

c

. Il existe une ourbeirrédu tiblelisse

C

S

qui ontient touslespointsdusupport de

Λ

et dontl'interse tionave

G

est vide.Eneet, elarevientà onstruireune ourbelissede

P

2

quiinterpoleunefamilleniedepointset évitelepoint

O

.Letiréenarrière

G

∗

G

sur

C

est nul et don

Γ(C, L(G

∗₎₎

est l'ensemble desfon tions onstantes sur

C

. Par onséquent, l'appli ation

Γ(S, L(G)) → Γ(C, L(G∗))

estsurje tiveetonpeutee tuerla onstru tionee tuéedansladémonstrationduthéorème III.4.1.

Appro he onstru tive.

Le ode

CL,S(∆, G)

estle odederépétitionpureetdelongueur

n = q

2_+q

.Sonorthogonal estdon un odededimension

n − 1

.Onnote

c2, . . . , cn

lesmotsdelaforme

ci:= (1, 0, . . . , 0, −1, 0, . . . , 0),

−1

apparaissant en

i

-ème position.Lafamille

(c2, . . . , cn)

est une base de

CL(∆, G)

⊥

. D'aprèslapropositionIII.3.1,il sutderéaliser es

n − 1

motspourmontrerquetout mot de

C

estréalisable.

Étape 1.Soit don

i

unentier ompris entre

2 n

et supposons que lespoints

π(P1)

π(Pi)

ne sontpas alignés ave

O

dans

P

2

. On appelle

C

, ladroite de

P

2

reliant

π(P1)

π(Pi)

.On hoisitdeuxdroites

C1

Ci

dans

P

2

distin tesde

C

et ontenantrespe tivement

π(P1)

π(Pi)

et évitantlepoint

O

π(P1)

C1

C

π(Pi)

O

Ci

Onrappellequela lasse anoniquedans

P

2

est égaleà

−3L

,où

L

désignela lassed'équi- valen elinéairedesdroitesduplanproje tif.Defait,lediviseur

−C − C1− Ci

est anonique, il existedon une

2

-forme

ω

sur

P

2

telle que

(ω) := −C − C1− C2.

D'aprèslelemme II.3.12,la

1

-formeres

1 C(ω)

sur

C

n'a deples qu'en

π(P1)

π(Pi)

et es ples sontsimples. Elleadon desrésidus nonnuls en espointset d'aprèslaformuledes résidus,ils sontopposés.De efait, quitteàmultiplier

ω

paruns alairenon nul,ona

res

2 C,P1(ω) = 1

et res

2 C,Pi(ω) = −1.

Deplus,la

2

-forme

ω

n'ani zéronipleauvoisinagede

O

. Don ,d'aprèslelemmeI.7.7la

2

-forme

π

∗_ω

sur

S

estdevaluation

1

lelongdudiviseurex eptionnel,onadon

(π∗ω) = G − eC − eC1− eC2.

Onpose

Λi:= P1+ Pi,

Da:= eC

Db:= eC1+ eC2

etonvérieaisémentque

(Da, Db)

est

Λi

- onvenable(onpeutparexemplevoirqu'ilsatisfait le ritèredelapropositionII.3.8).Defait,lemot

ci

estréaliséparla

2

-forme

π

∗_ω

Étape2.Simaintenantlespoints

π(P1)

π(Pk)

sontalignésave

O

.On hoisitdeuxautres pointsrationnels

π(Pj)

π(Pk)

P

2

telsquelespoints

π(P1), π(Pi), π(Pj)

π(Pk)

soient enpositiongénérale(troisd'entreeuxnesontpasalignés).Ilexisteaumoins deux oniques rationnelles

C

′

distin tesinterpolant esquatrepointsetévitantlepoint

O

.Eneet,le systèmelinéairedes oniquesinterpolant espointsestdedimension

1

,don mêmesile orps de baseest

F2

, il yaaumoins

3

élémentsdans e systèmeet unseul d'entreeux interpole

0

.Onappelle

C

′′

ladroitereliant

π(Pj)

π(Pk)

C

C′

C′′

0 π(P1)

π(Pk)

π(Pj)

π(Pi)

Lediviseur

−C − C

′_{+ C}′′

estlinéairementéquivalentà

−3L

, 'estdon undiviseur anonique etil existeune

2

-forme

ω

sur

P

2

vériant

(ω) = −C − C′+ C′′.

Ave lelemmeII.3.12onmontreque

π(P1)

π(Pi)

sontlesseulsplesdela

1

-formeres

1 C(ω)

sur

C

.Onendéduitque,quitteàmultiplier

ω

paruns alaireinversible,ona res

2 C,P1(ω) = 1

et res

2 C,Pi(ω) = −1.

Parailleurs,

ω

n'ani zéroni ple auvoisinagede

O

,don

π

∗_ω

vérie

(π∗ω) = G − eC − eC′+ eC′′.

Onnitenposant

Λi:= P1+ Pi,

Da:= eC

Db

:= eC

′_{+ e}_C′′

etenvériant(grâ eau ritèredelapropositionII.3.8)quelapaire

(Da, Db)

ainsi onstruite estbien

Λi

- onvenable.

Dans le document Résidus de 2-formes différentielles sur les surfaces algébriques et applications aux codes correcteurs d'erreurs (Page 93-96)

Dis ussion autour du théorème de réalisation

Da

S

G

mLS

Γ(S, L(G)) → Γ(C, L(G∗)).

S

S

G

S

G

S

P

2

O

π : S → P2,

P

2

O

G

S

0

∆

S

G

S

P

5

S

G

S

−1

Γ(S, L(G))

1

G

|G|

Γ(S, L(G))

1

L

P

2

O

L

G

Q

G

∗

G

L

S

Q

Γ(L, L(G

∗))

2

Γ(S, L(G)) → Γ(L, L(G∗))

CL(∆, G)

⊥

2

S

c

CL(∆, G)

⊥

Λ

0

S

c

C

S

Λ

G

P

2

O

G

∗

G

C

Γ(C, L(G

∗))

C

π : S → P2_,

∗₎₎

∗₎₎

2_+q

∗_ω