Exemples de diviseurs ∆ onvenables

Si

S

est leplan proje tif

P

2

F_q

et

X, Y, Z

des oordonnéeshomogènessur

S

. Soient

U

la arteane

U := {Z 6= 0}

et

∆

lasommeformelledetousrationnelsde

U

.Pourtoutélément

α

appartenantà

Fq

,ondénit lesdroites

La,α:= {X = α}

et

Lb,α:= {Y = α},

puislesdiviseurs

Da

:=

X

α∈Fq

La,α

et

Db:=

X

α∈Fq

Lb,α.

Laguresuivantereprésente ettepairedediviseursdansle asoùle orpsdebaseest

F3

.La droiteenpointillésnsestladroiteàl'inni etles

•

représententlesélémentsdusupport de

∆

.

Z

= 0

La paire

(Da, Db)

vériele ritèredela proposition II.3.8.En eet, soit

P

unpoint du support de

∆

de oordonnées homogènes

(α : β : 1)

, alors

La,α

(resp.

Lb,β

) est la seule omposante de

Da

(resp.

Db

) passant par

P

, es deux omposantes sont lisses en

P

et s'interse tent ave multipli ité

1

. En un point géométrique

P

de

S

n'appartenant pas au supportde

∆

, aumoinsl'undesdiviseurs

Da

ou

Db

nepossèdepas

P

danssonsupport, on luifaitdon jouerlerlede

D∗

(voirremarqueII.3.10).

Le produitdedeux droitesproje tives

Supposonsque

S

estlavariété

P

1

F_q× P1F_q

.Soit

((U, V ), ((X, Y ))

unsystèmede oordon- néesbihomogènessur

S

.Soient

W

la arteane

W := {V 6= 0} ∩ {Y 6= 0}

et

∆

lasomme despointsrationnelsde

W

.Pourtout

α

appartenantà

Fq

,onintroduitlesdroites

La,α:= {U = α}

et

Lb,α:= {X = α},

puislesdiviseurs

Da

:=

X

α∈Fq

La,α

et

Db:=

X

α∈Fq

Lb,α.

Laguresuivante représente ettepairedediviseurs dansle asoùle orps debaseest

F3

. Lesdroitesenpointillésns orrespondentauxdeuxdroitesàl'inni etles

•

représentent lesélémentsdusupportde

∆

.

Y

= 0

V

= 0

Onmontreaisémentquele oupledediviseursainsi onstruitsatisfaitle ritèredelapropo- sitionII.3.8, 'estdon un oupledediviseurs

∆

- onvenable.

Remarque II.3.15. La onstru tion i-dessuss'étend aisémentau asoù

S

estunproduit de deux ourbesadmettant toutesdeuxdespointsrationnels.

Quadriqueslisses de

P

3

Surun orpsalgébriquement los,unequadriquelisses'obtientàpartirde

P

2

ené latant deux points

P

et

Q

puisen ontra tantlatransforméestri te l'uniquedroite ontenant es deux points. De fait, une quadriquelisse de

P

3

est toujoursgéométriquementisomorpheà unproduitdedeuxdroitesproje tives.Sile orpsdebaseestun orpsni

Fq

,ondistingue deux lassesd'isomorphismedequadriqueslissesdans

P

3

.Lesquadriqueshyperboliquessont

Fq

-isomorphesà

P

1_{× P}1

et orrespondentau asoùlespoints

P

et

Q

sontrationnels.Les quadriqueselliptiquessont

Fq2

-isomorphesà

P

1_{× P}1

et orrespondentau asoùlespoints

P

et

Q

sontdénissur

Fq2

et onjuguéssousl'a tiondeGal

(Fq2/Fq)

.

De e fait, onpeutremarquer unerelation entre les ouplesde diviseurs

∆

- onvenables des deuxexemplespré édents.Partonsde l'exempleoù

S

est leplan proje tif. Appelons

P

et

Q

lespoints de on oursrespe tifsdes omposantes de

Da

et

Db

et

D

ladroite quirelie es deux points. Alors, le pro essus d'é latements et ontra tions dé rit i-dessus permet d'obtenir le ouple de diviseurs

∆

- onvenablesde l'exemple où

S

est

P

1_{× P}1

àpartir de eluioù

S

est

P

2

,parlepro édésuivant

D

P

Q

EP

e

D

EQ

Les ourbes

EP

et

EQ

de la gure entrale sontles diviseurs ex eptionnels orrespondant respe tivementà

P

et

Q

.Dansladernièregure,les ourbesenpointilléssontlesimagesde

EP

et

EQ

après ontra tionde

De

.

Constru tiond'un diviseur

∆

- onvenablesur une quadrique elliptique de

P

3

. Dans et exemple,onsupposequele orpsdebase

Fq

est de ara téristique diérente de

2

. On onsidèreune quadriqueelliptique

Q

plongéedans

P

3

. Soit

P∞

unpointrationnel de

Q

et

∆

,lasommedetouslespointsrationnelsde

Q

sauf

P∞

.

D'aprèsles ommentairessurlesquadriquesdonnéspage 66,lasurfa e

Q

se onstruit à partirde

P

2

ené latantunpointfermédedegré

2

puisen ontra tantlatransforméestri te del'uniquedroiterationnelle ontenant epoint.

Nousallons onstruirenotrepairedediviseurs

∆

- onvenableàpartirde

P

2

.On onsidère leplan proje tif munid'un système de oordonnéeshomogènes

(X, Y, Z)

. Soit

D

, ladroite d'équation

Z = 0

et

P

un point fermé de

D

de degré

2

. On notera

p

et

p

σ

les points orrespondantsaprèsextensiondess alairesdedegré

2

,l'exposant

σ

représentele onjugué sousl'a tion duFröbenius. Onpose

∆1

, lasomme despointsrationnels de

P

2_{r D}

. Après é latementde

P

et ontra tiondelatransforméestri te

De

de

D

, onobtientune quadrique elliptique,l'imagede

∆1

par etteopérationest

∆

.

Soient

L

ladroited'équation

X = 0

et

s

lasymétried'axe

L

déniepar

s : (x : y : z) 7→ (x : −y : z).

On rappelle que la ara téristique du orps

Fq

est supposée diérente de deux dans et exemple.De efait,l'appli ation i-dessusn'estpasl'identité.

Constru tionde

Da

.Soit

α ∈ Fq2r Fq

dontlatra e

α + α

q

sur

Fq

estnulle.Soit

v ∈ F

2

q2

, leve teur

v := (1, α)

. Le onjugué

v

σ

de

v

estégalausymétriquede

v

par

s

.On onsidère l'ensemblede oniquesrationnelles ontenant

P

etadmettant

{v, v

σ_}

ommeve teurtangent en epoint.Lesystèmelinéaire orrespondantestdedimension

1

,ilyadon

q + 1

oniques rationnellessatisfaisant es ontraintes.L'uned'entreellesestladroitedouble

2D

,lesautres sontnotées

C

a

1, . . . , Cqa

.

v

vσ

C_ka

D

L

Ca

q

pσ

p

C₁a

Lagureestdeplusinvariantepar

s

.

Remarque II.3.16. Comme ela apparaît, l'une des oniques notée

C

a

k

dans la gure est dégénérée, elleest réunion dedeuxdroites quadratiques onjuguées.

Onpose

Da:=

q

X

i=1

Cia.

Constru tionde

D

+

b

.Onsedonneunautreve teur

w ∈ F

2

q2rF2_q

dontle onjugué oïn ide ave sonimagepar

s

eton onstruitunese ondefamillede oniques

C

b

1, . . . , Cqb

ommedans l'étapepré édente.Onpose

D+_b

:=

q

X

i=1

Cib.

Ce diviseurestégalementinvariantsousl'a tiondelasymétrie

s

. Lesdiviseurs

Da

et

D

+

b

sonttousdeuxlinéairementéquivalentsà

2qL

où

L

estla lasse d'équivalen elinéaired'une droitequel onque de

P

2

. Le produit d'interse tion de esdivi- seursestdon

4q

2

.Ilvadon falloiréliminerdespointsenajoutantà

Db

unepartienégative. Prenonsletempsdedé rirele

0

- y led'interse tion

Da∩ D

+

b

.

(1) Tous lespoints dusupport de

∆

y apparaissent. Les points doubles orrespondentà unetangen eentreunélémentdusupportde

Da

etundusupportde

Db

.L'invarian e de es deux diviseurs sousl'a tion de

s

entraîne que lespointsdoubles sontsur l'axe desymétrie

L

.Onadon dans e

0

- y leles

q

2

pointsdusupportde

∆1

dont

q

points de

L

quiapparaissentave oe ient

2

.

(2) La multipli ité d'interse tion de

Da

et

D

+

b

en

p

(resp.

p

σ

) est

q

2

, don le point

P

apparaît

q

2

foisdans e

0

- y le. (3) Ilrestedon

q

2_{− q}

pointsgéométriquesàidentierdans e

0

- y le.Ilss'agitenfaitde

(q2_{− q)/2}

pointsdedegré

2

provenantdel'interse tion d'un élémentde Supp

(Da)

et d'unélémentdeSupp

(Db)

.

Constru tionde

D

−

b

.Pour onstruire

D

−

b

,nousallonsavoirbesoindedonnerdeséquations expli ites pour

Da

et

D

+

b

. Soit

a ∈ F

×

q

r F×q

2

et

α ∈ Fq2

une ra ine arréede

a

. Onpeut supposer que lepoint

p

est de oordonnées

(1 : α : 0)

. On peut alorsse onvain redu fait quelesdeuxéquationssuivantesfournissentdebons andidatspour

Da

et

D

+

b

.

Ha=

Y

t∈Fq

(x2+ y2+ tz2)

et

Hb

=

Y

t∈Fq

((x − z)2+ y2+ tz2) =

Y

t′_∈Fq

(x2+ y2− 2xz + t′z2).

Trouverunpointd'interse tiondansleplananede

Da

et

D

+

b

revientàtrouverunpoint d'interse tionentreune oniquedusupportde

Da

et une oniquedusupportde

Db

.Ce qui revientàrésoudrelesystème:



x2_{+ y}2_{+ t}

_{= 0}

x2_{+ y}2_{− 2x + u}

_{= 0}

⇐⇒



x2_{+ y}2_{+ t}

_{= 0}

x

=

t−u

2

⇐⇒



x =

t−u

2

y2

₌

_{t − (}t−u

2

)

2_.

Onvérieensuitequel'appli ation

(t, u) → t − (t − u)

2_/4

estsurje tivede

Fq× Fq

dans

Fq

.En d'autrestermes lespointsd'interse tionsdans leplan anededeux telles oniques sontsoitdespoints

Fq

-rationnelsduplananesoitdespointsdelaforme

(s, τ )

où

s

estun élémentde

Fq

et

τ

unélémentde

Fq2r Fq

dontle arréestdans

Fq

.

Rappelonsquelespointsdoublesdans l'interse tionde

Da

et

D

+

b

sonttoussurl'axe de symétrie,àsavoirladroited'équation

y

.Aussi,lediviseuree tifd'équation

Hc:= y

Y

s∈F×

qrF×_q2

(y2− sz2)

fournit unbon andidatpourlediviseur

D

−

b

. Onposealors

Db:= D

+

b

− D

−

b.

On dénit enn sur

Q

les diviseurs

Dea

et

Deb

onstruits omme étant les transformées stri tes des diviseurs du même nom par l'opération d'é latement/ ontra tion. Le

0

- y le d'interse tion de es diviseursest exa tement

∆

, arl'opérationd'é latementaséparé les diviseurs

Da

et

Db

en

P

.Onvériealorsque ette pairedediviseursvériele ritèredela propositionII.3.8,elleestdon

∆

- onvenable.

Remarque II.3.17. Le groupe de Pi ard d'une quadrique elliptique est libre de rang

1

et engendré parla lasse d'une se tion plane

LQ

. OnPeut aisémentmontrer quelesdiviseurs ainsi onstruitsvérient

e

Da

∼ eD+b

∼ eD

−

b

∼ qLQ.

Autresexemples

D'unefaçongénéralele al uldepairesdediviseurs

∆

- onvenablesest ardue.Toutefois, le lemme II.4.7 et la remarque II.4.8 stipulent que des paires de diviseurs

∆

- onvenables sont expli itement al ulables via des méthodes d'interpolation implémentables sur ordi- nateur.Un programme appelé DeltaConvpermettantde al uler des pairesde diviseurs

∆ − convenables

à l'aide du logi iel magma est proposé en annexe F.1.Ave l'aide de e programmenousavons al ulédespairesdediviseurs

∆

- onvenablespourquelquesexemples moinstriviauxque euxquipré èdent.

Sur une surfa e Hermitienne. On onsidère lasurfa e Hermitienne sur

F4

plongéedans

P3

d'équation

X

3_{+ Y}3_{+ Z}3_{+ T}3_{= 0}

.Onlamunitdu

0

- y leégalàlasommedesespoints rationnelsdansla arteane

{Z 6= 0}

.Leprogrammenousretournelesrésultatssuivants.

> > F<w>:=FiniteField (4); > P3<x,y,z,t>:=Proje tiveSpa e(F,3); > Herm:=S heme(P3,x ^3+ y ^3+z^3+t^3); > >

> A:=DeltaConv(Herm,Points,1000,1000,10); D_a a ete trouve de maniere deterministe. D_b^+ a ete trouve de maniere deterministe. D_b^

−

a ete trouve de maniere deterministe. Le diviseur d'equation x

∗

y^3 + x

∗

z^3 + y^4 + y

∗

t^3 + z^4 + z

∗

t^3 onvient pour D_a. Le diviseur d'equation w^2

∗

x^4 + w^2

∗

x

∗

t^3 + w

∗

y^4 + w

∗

y

∗

t^3 + z^4 + z

∗

t^3 onvient pour D_b^+. Le diviseur d'equation x^2 + w^2

∗

y^2 + w

∗

z^2 onvient pour D_b^

−

.

Sur une surfa e quartique. On onsidère la surfa e d'équation

X

4_{+ Y}4_{+ Z}4_{+ T}4

_{= 0}

déniesur

F3

.Onprend omme

0

- y le

∆

,lasommedespointsrationnelsdela arteane

{Z = 0}

de ettesurfa e.Onobtientlerésultatsuivant.

> S:=S heme(P3,x ^4+y ^4+z^4+t^4);

> A:=DeltaConv(Herm,Points,1000,1000,10);

Le diviseur d'equation x^2 + y^2 + z^2 + t^2 onvient pour D_a. Le diviseur d'equation z^3 + 2

∗

z

∗

t^2 onvient pour D_b^+. Le diviseur d'equation x^3

∗

z + 2

∗

x^3

∗

t + 2

∗

x^2

∗

y^2 + x^2

∗

y

∗

z + x^2

∗

y

∗

t + x^2

∗

z^2 + x^2

∗

z

∗

t + x^2

∗

t^2 + x

∗

y^2

∗

z + 2

∗

x

∗

y^2

∗

t + x

∗

y

∗

z^2 + 2

∗

x

∗

z^2

∗

t + 2

∗

x

∗

z

∗

t^2 + 2

∗

x

∗

t^3 + y^4 + y^3

∗

z + y^3

∗

t + y^2

∗

z^2 + y^2

∗

z

∗

t + y

∗

z^2

∗

t + 2

∗

y

∗

z

∗

t^2 + y

∗

t^3 + z^3

∗

t + 2

∗

z^2

∗

t^2 + z

∗

t^3 + 2

∗

t^4

onvient pour D_b^

−

.

Dans le document Résidus de 2-formes différentielles sur les surfaces algébriques et applications aux codes correcteurs d'erreurs (Page 66-71)