Origine de la méthode des images

Fig.2.9 –Représentation de l’équation (2.81) avec les mêmes conventions que pour la figure 2.8.

2.2 Applications et exemples

2.2.1 Origine de la méthode des images

En électrostatique, il est fréquent de rencontrer une situation où un plan infini, pris par exemple enx= 0, est la paroi d’un conducteur maintenu à un potentiel nul (voir figure 2.10). Le conducteur remplit le demi-espace x <0, l’autre demi-espace x > 0 étant vide. Si on veut calculer le potentiel élec-trostatique créé par une distribution de charge extérieure au conducteur, la fonction de Green la plus adéquate est définie par

−Δ_rGDH(r;r) =δ(r−r)

dans le demi-espace défini par x >0, avec des C.L. de Dirichlet homogènes, GDH(r;r) = 0, sur la paroi conductrice en x = 0 d’une part, et à l’infini (|r| → ∞) dans le demi-espace vide d’autre part. Le potentiel électrostatique créé par une distribution arbitraire localisée dans le demi-planx >0est alors donné, au facteur1/0près, par la formule générale (2.37), p. 81, où le terme de surface disparaît car ici D(r) = 0. Nous allons déterminer la fonction de Green GDH, et expliciter l’origine de la méthode des images.

x y

z

Fig. 2.10 –Plan conducteur enx= 0.

Étude et résolution

Afin de déterminer GDH, on pourrait s’inspirer du calcul de la fonction de Green dans le système infini effectué page 78. Ici, le système est toujours invariant par toute translation le long des axesOyetOz, mais cette invariance est brisée le long de l’axeOxpar la présence de la paroi conductrice enx= 0.

Une possibilité pour calculer GDH, serait donc de commencer par effectuer une transformée de Fourier selonOy etOz. Cette méthode est proposée dans l’exercice 2.7, page 131. Cela dit, il existe une autre approche, efficace et systématique, exploitant la formule spectrale (2.13), p. 69. C’est cette méthode que nous présentons.

Détermination du spectre. Il est facile d’obtenir la base de fonctions propres du Laplacien avec les C.L. de Dirichlet homogènes en x = 0 : les fonctions

ψk_x,k_y,k_z(r) = 2

(2π)³ e^i(kyy+kzz) sin(kxx) (2.82) aveckx>0forment une base orthonormée de l’espace des fonctions définies dans le demi-espacex >0 s’annulant enx= 0. Ces fonctions vérifient bien la relation de complétude pourretrdans le domainex, x>0, ainsi que la condition d’orthonormalité

x>0

drψk_x,k_y,k_z(r)ψ_k^∗

x,k_y,k_z(r) =δ(kx−k_x)δ(ky−k_y)δ(kz−k_z) (2.84) pour kx > 0 et k_x > 0. Pour s’en convaincre, il suffit de remarquer que l’expression (2.82) est une superposition d’ondes planes de vecteur d’ondes (kx, ky, kz)et(−kx, ky, kz)respectivement.

Commentaire 2.2.1. En toute rigueur, il faudrait introduire un domaine fini, et déterminer les fonctions propres correspondantes avec des C.L. de Dirichlet homogènes. Ensuite, on rejette à l’infini tous les bords autres que la paroi conductrice enx= 0elle-même. Il se trouve que cette procédure est équivalente à construire des fonctions propres avec des C.L. périodiques dans les directionsOyetOz. C’est cette équivalence qui justifie l’utilisation du jeu de fonctions (2.82).

Formule des images. En introduisant les fonctions propres (2.82) dans la formule spectrale (2.13), nous trouvons

GDH(r;r) =

En remplaçant sin(kxx) et sin(kxx) par leurs expressions respectives en termes d’onde plane dans l’intégrale (2.85), il apparaît une somme de quatre termes. Le domaine d’intégration étant restreint aux kx>0, il est judicieux de regrouper ces termes deux par deux de façon à obtenir une intégrale enkx

sur tout l’axe réel. Ainsi, nous reconnaissons les intégrales sur kintervenant dans les expressions (2.35) p. 79 de G_∞(r−r) et de G_∞(r−r_im) avec rim= (−x, y, z). Il vient en définitive

GDH(r;r) =G_∞(r−r)−G_∞(r−rim). (2.86) Nous retrouvons ainsi la célèbre formule des images : la fonction de Green GDH(r;r)est, au facteur q/0 près, le potentiel produit par la charge ponc-tuelleqenr et par une charge fictive opposée−q enrim.

Remarquons qu’il est tout aussi facile d’obtenir la fonction de Green satis-faisant les C.L. de Neumann homogènes (∂/∂x)GN H(r;r) = 0pour x= 0.

Une réalisation physique de ces C.L., est obtenue en remplaçant le conduc-teur dans le demi-espace x < 0 par un diélectrique de constante ε1, et le vide dans le demi-espace x > 0 par un autre diélectrique de constante ε2. Dans la limiteε1 ε2, tout se passe comme si la composanteEx du champ électrique devenait nulle en x= 0 en vertu des conditions de raccordement ε1Ex⁽¹⁾ =ε2Ex⁽²⁾. Pour déterminer GN H, il suffit d’utiliser une base de fonc-tions propres analogues aux précédentes, s’en déduisant par la simple substi-tutionsin(kxx)→cos(kxx)dans la formule (2.82). Nous trouvons ainsi

GN H(r;r) =G_∞(r−r) +G_∞(r−rim).

Maintenant, la charge image deq est égale àq.

Interprétation

Nous avons montré que la méthode des images apparaît très simplement à partir de la représentation spectrale des fonctions de Green en termes des fonctions propres du Laplacien vérifiant les C.L. adéquates. Le lecteur peut comparer l’efficacité de cette méthode à celle d’un calcul direct par trans-formation de Fourier. Cette méthode des images est très générale : elle est ainsi utilisée dans les exercices 2.9, p. 132 et 2.15, p. 137, ainsi que dans le chapitre 3 pour l’opérateur d’Alembertien dans l’exemple du §3.2.2 relatif à la diffraction de Fraunhofer.

Effet d’écran. Si la charge image est fictive, l’effet d’écran résultant est bien observé pour un conducteur réel ! Autrement dit, à grande distance, le potentiel électrostatique produit par la charge qdécroît plus rapidement que dans le vide tout entier. En fait, suite aux migrations induites de charges libres dans le conducteur, il se forme une distribution de charge de signe opposé àq

localisée au voisinage du plan x = 0. Au niveau mésoscopique, la densité de charge superficielle correspondante est simplement déterminée à partir de la composante Ex du champ électrique dans le vide en x = 0⁺, le champ électrique étant identiquement nul dans le conducteur. Soulignons que cette prédiction de l’électrostatique macroscopique est en parfait accord avec une analyse microscopique des processus de polarisation au sein du conducteur.

Une telle analyse peut être menée dans le cadre de la théorie de Debye, qui est une approche de champ moyen, tout à fait similaire à l’approximation de Vlasov présentée dans le chapitre 1. Ici, il faut déterminer la distribution de charge induite dans le conducteur par une charge ponctuelle extérieure, via l’équation de Poisson-Boltzmann. Cette théorie de champ moyen confirme la prédiction du point de vue macroscopique.

2.2.2 Boule en mouvement uniforme dans un fluide