1.2 Applications et exemples
1.2.1 Admittance d’un circuit RLC
Les exemples les plus simples de réponse linéaire proviennent des systèmes classiques à petit nombre de degrés de liberté dont la dynamique interne est déjà linéaire. Un représentant standard de ces systèmes est un circuit électrique RLC, dont les états sont décrits par la charge Qdu condensateur et l’intensité I du circuit, variables analogues à la position et à la vitesse d’une particule en une dimension. L’état stationnaire E0 est caractérisé par une charge nulle et une intensité du courant nulle. Le forçage extérieur F correspond à une tension U appliquée aux bornes du circuit, et branchée de manière adiabatique. Nous allons étudier l’intensité du courant traversant le circuit, en réponse à l’application de cette tension extérieure. Le rôle de l’observableA est donc tenu ici par l’intensitéI.
Notons d’emblée, que la réponse en courant à une tension, entre bien dans le cadre physique général introduit dans la première partie de ce chapitre. En effet, pour faire apparaître un courant dans le circuit, il faut nécessairement appliquer un champ électrique extérieur aux porteurs de charge. En pratique, ce champ pourra être induit par un générateur de tension branché aux bornes du circuit.
Étude et résolution
Rappelons l’équation différentielle régissant l’évolution du circuit repré-senté sur la figure 1.4. Soient U la tension aux bornes du circuit,Il’intensité
R L C
I
U
Fig.1.4 –CircuitRLC.
du courant, et Q la charge du condensateur. Les tensions aux bornes de la résistance, de la bobine inductive et de la capacité sont repectivement RI, LdI/dt etQ/C. CommeI=dQ/dten vertu de la conservation de la charge,
la loi des noeuds s’écrit d2Q
dt2 +R L
dQ dt + 1
LCQ= U
L. (1.32)
Dans la situation considérée ici, les conditions initiales sont rejetées àt=
−∞, et s’écriventQ(−∞) = 0 etI(−∞) = 0. La tension appliquée U(t)est également nulle ent=−∞. Lorsque celle-ci est monochromatique, de la forme U = Uz e−izt avec z =ω+i et > 0, la susceptibilitéχ(z) contrôlant la réponse en courant est ici directement calculable sans passer par la fonction de réponse K0(τ). Nous montrons que cette susceptibilité exhibe bien les propriétés d’analyticité générales. Puis, nous donnons la forme de K0(τ), qui peut être obtenue de trois manières différentes.
Susceptibilité. Par suite de la linéarité des équations de l’électrocinétique, l’intensitéI(t)oscille avec la même fréquencezque la tension,i.e.I=Ize−izt. En insérant cette forme monochromatique dans la dérivée membre à membre de l’équation différentielle (1.32), il vient le résultat bien connu
Iz=Uz
Z
où Z =R−i(Lz−1/(Cz)) est l’impédance du circuit. La susceptibilité est donc simplement égale à l’admittance, soit
χ(z) = iCz
LCz2+iRCz−1. (1.33)
La susceptibilitéχ(z)est ici une fraction rationnelle. En définissant δ=−R2C2+ 4LC,
ses pôles sont situés en (voir figure 1.5) : z1=−iRC−√
δ
2LC ; z2= −iRC+√
δ
2LC si δ >0 ou
z1=−iRC−
|δ|
2LC ; z2=−iRC+
|δ|
2LC si δ <0.
CommeRC >
|δ|lorsque δ <0, les deux pôles deχ(z)sont toujours dans le demi-plan complexe inférieur. Par conséquent, χ est bien analytique dans C+. Par ailleurs, les pôles de χ(z) correspondent manifestement aux modes propres du circuit RLC.
z1
ω
z1
−i2LR z2
z2
Fig. 1.5 – Les pôles (z1, z2) ou (ez1,ez2) de l’admittance χ(z) d’un circuit RLC se situent dans le demi-plan complexe inférieur.
Comme la fraction rationnelle (1.33) est analytique dans C+, axe réel compris, les relations de Kramers-Kronig sont nécessairement satisfaites. Cela dit, sur un plan technique, il est intéressant de le vérifier explicitement sur cet exemple simple. Nous indiquons donc quelques étapes qui jalonnent les calculs correspondants. Pourz=ω réel, les parties réelle et imaginaire deχ(z)sont
χ(ω) = R
[R2+ (Lω−Cω1 )2] et χ(ω) = (Lω−Cω1 )
[R2+ (Lω−Cω1 )2] . (1.34) Pour effectuer les intégrations en jeu dans les relations de K.K., il est commode de décomposerχ(ω)et χ(ω)en éléments simples.
Puis, il faut réécrire les parties princi-pales comme des intégrales sur]−L, ω− ]et[ω+, L[, et prendre ensuite les li-mites L→+∞et →0+. La vérifica-tion s’achève en utilisant l’identité
lim
L→+∞
L
−L
dω 1
(ω−z0)
=iπsign(Im(z0)) (1.35) où sign(x)désigne le signe de x.
Commentaire 1.2.1.
Pour démontrer l’iden-tité (1.35), il suffit d’absorber la partie réelle de z0 via une translation sur la variable ω, puis de calculer l’intégrale de la partie paire en ω par le théorème des résidus. Lorsque z0 est réel, la limite de l’inté-grale, qui est alors comprise au sens de la partie principale, est nulle.
Fonction de réponse. Pour déterminer K0(τ), une première méthode consiste à déterminer le courantI(t)induit par une tensionU(t)quelconque.
L’équation différentielle élémentaire (1.32) pour Q(t)est alors résolue par la méthode de variation de la constante3. Dans l’expression intégrale obtenue pour I(t) =dQ/dt, qui est de la forme (1.4), p. 5, la fonction de réponse est signification physique deK0(0), et à l’interprétation de la bobineLcomme dé-crivant l’inertie électrique dans l’analogie électromécanique habituelle. Ainsi, le comportement aux grandes fréquences χ(z)∼i/(Lz)obtenu à partir de la formule (1.33), est bien en accord avec le comportement asymptotique géné-ral (1.14), p. 12.
Le lecteur est encouragé à retrouver les expressions (1.36) et (1.37), en considérant un forçage pulse Upulse(t) = F0δ(t−t0). Il faut alors étudier la relaxation libre du circuit sans forçage, à partir des conditions initiales Q(t+0) = 0 et I(t+0) = (F0/L), induites par le pulse, et calculer l’intensité Ipulse(t) du courant résultant. La fonction de réponse est alors obtenue en écrivantK0(τ) =F0−1Ipulse(t0+τ).
Enfin, il existe une troisième méthode pour retrouver les expressions (1.36) et (1.37) de K0(τ). En effet, comme la susceptibilité χ a déjà été calculée directement, il suffit de prendre la transformée de Laplace inverse de χ(z), comme cela est proposé à l’exercice 1.2, p. 54.
Interprétation
Bien que cet exemple soit simple, il met déjà en valeur le contenu physique très riche des fonctions de réponse. En particulier, il illustre bien la relation générale, discutée dans le paragraphe 1.1.3, entre la dissipation et les proprié-tés d’analyticité de la susceptibilité. En effet, lorsque R = 0, la fonction de réponse K0(τ) décroît exponentiellement aux grands temps. La présence de dissipation pour R = 0, se manifeste également par la nécessité de fournir constamment de l’énergie au circuit pour maintenir des oscillations du cou-rant sans amortissement. Ainsi, la puissance fournie par le forçage, moyennée sur une période T = 2π/ω,
3. Cette méthode est rappelée dans l’annexe C, p. 310.
est égale à
P= χ(ω)
2 |Uω|2 . (1.38)
Cette puissance est bien positive comme attendu, carχ(ω)est positif d’après la formule (1.34).
LorsqueR= 0, c’est-à-dire en l’absence de dissipation, alorsδ= 4LC >0 de sorte que les expressions (1.36) et (1.33) se réduisent respectivement à
K0(τ) = 1 L cos
τ /√
LC et χ(z) = iCz
LCz2−1 .
La fonction de réponse ne tend donc plus vers zéro à l’infini, alors que la susceptibilité n’est plus analytique sur tout Rcar elle est singulière en ω =
±ω0 où ω0 = 1/√
LC est la fréquence propre du circuit LC. Pour ω = ω0, comme la partie réelleχ(ω)de la susceptibilité s’annule, la puissance fournie Pest également nulle, en accord avec l’absence de dissipation. Le casω→ ±ω0
doit être examiné avec soin en prenant
z=±ω0+i avec →0+. Dans ce cas, nous trouvons
χ(±ω0+i)∼ 1 2L.
Ainsi, la susceptibilité diverge mais en étant réelle, ce qui signifie que la puis-sanceP diverge pour la fréquenceω0. Ceci correspond bien sûr au phénomène de résonance pour l’oscillateur LC soumis au forçage.
Pour conclure, soulignons que les résultats de cet exemple sont caractéris-tiques de tout système dynamique en un point fixe stable vu comme un état stationnaire. Lorsqu’un tel système est soumis à un faible forçage extérieur, il reste au voisinage de ce point fixe, et les équations d’évolution correspondantes prennent une forme linéaire analogue à celle de l’équation différentielle (1.32).
La susceptibilitéχ(z)est alors une fraction rationnelle, dont les pôles, situés dans le demi-plan complexe inférieur ou sur l’axe réel, sont contrôlés par les modes propres de relaxation intrinsèques au point fixe considéré.