Équation de d’Alembert

L’équation de d’Alembert est l’équation la plus simple décrivant un phé-nomène de propagation dans un milieu homogène sans atténuation. De ce fait, elle est l’équation d’onde par excellence, et elle est omniprésente dans des domaines variés allant de l’électrodynamique à la théorie de l’élasticité ou la mécanique des fluides, incluant l’optique ondulatoire ou l’acoustique par exemple. Elle intervient également dans le cadre de théories quantiques rela-tivistes, sous l’appelation d’équation de Klein-Gordon, dans la description de particules sans spin et de masse nulle. Sa forme générale est

1 oùcest un paramètre donné, dépendant du milieu et de la nature du champφ considérés. Comme nous le verrons par la suite, c représente la vitesse de propagation de φ. Par exemple, dans le cas du champ électromagnétique se propageant dans le vide, cest la vitesse de la lumière.

L’opérateurOen jeu ici, est O=

l’opérateur de d’Alembert, aussi dit d’Alembertien. L’opérateurOest de nou-veau de la forme additive (3.10), avec

Ot= 1

Contrairement aux opérateurs intervenant dans l’équation de diffusion ou l’équation de Schrödinger, Ot est du second ordre par rapport au temps.

Comme nous allons le montrer plus loin, cette différence a des conséquences majeures sur les comportements induits par l’évolution.

Comme dans les sections précédentes, nous commençons par l’étude des conditions aux limites puis par la transformation de l’EDP (3.85) en une équation intégrale faisant intervenir les fonctions de Green causales. Pour des conditions au bord homogènes, nous déterminons les représentations spec-trales de ces fonctions de Green causales, à l’aide de la méthode générale exposée dans la section 3.1.2. Leur structure est analysée et comparée à celle des fonctions correspondantes obtenues pour la diffusion ou l’équation de

Schrödinger. Nous donnons ensuite l’expression de la solution de l’équation de d’Alembert en termes de ces fonctions de Green et discutons quelques consé-quences provenant de cette expression. Vient ensuite le calcul de la fonction de Green du d’Alembertien pour le système infini. En particulier, il en ressort la notion d’onde progressive se propageant à la vitesse finie c.

Conditions aux limites

Ouvrons donc la voie avec l’examen des conditions aux limites. Ici, l’opé-rateurO^test du second ordre par rapport à la variable temps,i.e.p= 2avec les notations de la page 148. Il faut donc spécifier, à un instant initialt0, à la fois φ(r, t₀)et sa dérivée(∂/∂t)φ(r, t₀)en tout point du domaine, soit

φ(r, t0) =φ0(r)et ∂

∂tφ(r, t0) =π0(r)pour toutr∈ D. (3.89) À ces conditions initiales, il faut ajouter des conditions de bord. Comme argumenté dans la section 3.1.2, celles-ci peuvent être aisément déterminées en passant dans le monde de Laplace. L’opérateur statique correspondant, [P2(s) +Or]vaut

s²

c² −Δ_r, (3.90)

et se réduit donc simplement à l’opérateur de Helmholtz avecm=s/c. Alors, d’après les résultats établis dans le chapitre 2, les conditions de Dirichlet, ou bien les conditions de Neumann, suffisent pour garantir l’unicité de la solu-tion de l’équasolu-tion de Helmholtz, autrement dit ici l’unicité du champ φ(r, s).

Les conditions correspondantes pour le champ φ(r, t) sont immédiatement obtenues par transformation de Laplace inverse, à savoir

φ(r, t) =D(r, t)pourr∈∂Det toutt , pour Dirichlet, ou bien

n·∇φ(r, t) =N(r, t)pourr∈∂Det toutt ,

pour Neumann. Chacune de ces conditions de bord C.L.(φ|∂D), combinée aux conditions initiales (3.89) déterminent univoquement le champφ(r, t).

Notons que les conditions de bord précédentes sont identiques aux condi-tions (3.28) et (3.29) introduites pour la diffusion. Naturellement, les fonccondi-tions de bordD(r, t)etN(r, t)doivent être compatibles avec les conditions initiales (3.89) : dans le cas contraire, il n’existe pas de solution ! Enfin, comme pro-posé dans l’exercice 3.1, p. 236, on peut vérifier, sans passer dans le monde de Laplace, que les conditions aux limites précédentes garantissent effectivement l’unicité, en s’inspirant de la démonstration établie pour l’opérateur Laplacien dans la section 2.1.3.

Fonctions de Green causales et équation intégrale

Comme pour la diffusion ou l’équation de Schrödinger, nous allons trans-former l’EDP originelle satisfaite parφ(r, t)en une équation intégrale faisant intervenir une fonction de Green causale, appelée aussi retardée,G⁺_Hsolution de l’EDP

1 c²

∂²

∂t² −Δ_r

G⁺_H(r;r;t, t) =δ(r−r)δ(t−t), (3.91)

avec la condition de causalité G⁺_H(r;r;t, t) = 0 pour t < t. A priori, il serait possible d’obtenir une équation intégrale pour n’importe quelle fonc-tion de Green causale, indépendamment des condifonc-tions aux bords la définis-sant. Ici, nous nous restreignons aux fonctions de Green causales homogènes, qui sont d’un usage plus simple et plus transparent. Rappelons en particu-lier leur propriété d’invariance temporelle établie dans la section 3.1.1, à sa-voir G⁺_H(r;r;t, t) =G⁺_H(r;r;t−t). De plus, leur transformée de Laplace G⁺_H(r;r;s)est une fonction de Green de l’opérateur de Helmholtz statique (3.90) avec les mêmes conditions de bord homogènes.

Comme pour la diffusion ou l’équation de Schrödinger, l’équation cher-chée est facilement obtenue en raisonnant dans le monde de Laplace. Le point de départ est encore l’équation intégrale (2.27), page 75, établie dans le cha-pitre 2 pour un champ solution de l’EDP de Helmholtz (2.42). Ici, il suffit d’appliquer cette équation à φ(r, s). La seule différence avec la diffusion ré- side maintenant dans la structure de la source effective I1(r, s) prenant en compte les conditions initiales,

I1(r, s) =−1

c²π0(r)− s c²φ0(r).

Pour revenir au champ φ(r, t), les opérations de transformation de Laplace inverse des différents termes sont identiques à celles effectuées dans la sec-tion 3.1.3. La transformée inverse du terme de condisec-tion initiale fait apparaître en particulier

L⁻¹[sG⁺_H(r;r;s)] = ∂

∂τG⁺_H(r;r;τ),

où nous avons utilisé la condition initiale G⁺_H(r;r; 0⁺) = 0, qui est une conséquence de la condition de causalité comme prouvé dans la section 3.1.2,

page 150. Il vient finalement φ(r, t) = t−t₀

0 dτ

Ddr ρ(r, t−τ)G⁺_H(r;r;τ) +_c¹₂

Ddr π0(r)G⁺_H(r;r;t−t0) +_c¹₂

Ddr φ0(r) _∂t^∂G⁺_H(r;r;t−t0)

−t−t₀

0 dτ

∂DdΣ φ(r, t−τ)n·∇rG⁺_H(r;r;τ) +t−t₀

0 dτ

∂DdΣ G⁺_H(r;r;τ)n·∇rφ(r, t−τ).

(3.92) Dans l’équation intégrale (3.92), les termes de source et de surface ont exactement la même structure que dans la relation (3.32) correspondant à la diffusion. Ils admettent des interprétations analogues. La seule différence entre ces deux équations tient à la forme de la propagation de la condition initiale. Ici, le champ initialφ0est propagéviala dérivée partielle temporelle (∂/∂t)G⁺_H, alors que la dérivée partielle initialeπ0 est propagéeviaG⁺_H elle-même. Signalons que la relation (3.92) peut aussi être démontrée en exploitant la seconde formule de Green.

Fonctions de Green causales homogènes d’un domaine fini Ce paragraphe est consacré à l’étude des fonctions de Green causales, définies par des conditions aux bords de Dirichlet homogène

G⁺_DH(r;r;τ) = 0pourr∈∂Det toutτ , ou bien de Neumann homogènes

n·∇rG⁺_{N H}(r;r;τ) = 0pourr∈∂Det toutτ .

Nous déterminons d’abord leurs représentations spectrales, puis nous exami-nons brièvement leurs propriétés essentielles.

Représentation spectrale. Indiquons ici rapidement comment obtenir la représentation spectrale de chaque fonction de Green causale homogène, en suivant l’analyse générale de la section 3.1.2. Pour cela, nous choisis-sons une base complète orthonormale de fonctions propres ψn de l’opérateur Or=−Δ_r, et satisfaisant aux mêmes conditions aux bords homogènes que la fonction de Green considérée. L’hermiticité de l’opérateur Laplacien dans l’es-pace des fonctions qui satisfont des conditions aux bords homogènes du type Dirichlet ou Neumann nous garantit que les valeurs propres λn sont réelles.

Comme déjà remarqué dans l’étude de la diffusion, ces valeurs propres sont toutes positives ou nulles, ce qui permet de pouvoir définir √

λn.

Chaque G⁺_H est décomposable suivant la représentation spectrale (3.15) générale, avec iciZn(τ)solution de l’équation différentielle ordinaire

1 c²

d²

dτ²Zn(τ) +λnZn(τ) = 0

avec les conditions initialesZn(0) = 0et(dZn/dτ)(0) =c². Un calcul élémen-taire donne

Zn(τ) =csin c√

λnτ

√λn

.

En appliquant la formule spectrale (3.15), nous en déduisons G⁺_H(r;r;t−t) =θ(t−t)

n

csin c√

λn(t−t)

√λn

ψn(r)ψ_n^∗(r). (3.93)

Comme déjà souligné à maintes reprises, la détermination du spectre de l’opérateur Laplacien dans un domaine quelconque reste un problème à part entière. Néanmoins, la représentation (3.93) se révèle utile. Elle permet même de calculer explicitement les fonctionsG⁺_H pour certaines géométries simples.

Par exemple, comme utilisé dans l’exemple du §3.2.2 relatif à la diffraction de Fraunhofer, la formule spectrale (3.93) indique qu’il est possible de calculer G⁺_H, pour un domaine semi-infini délimité par une paroi plane, par la méthode des images.

Propriétés générales. Les fonctions de Green causales homogènesG⁺_H sa-tisfont la relation de réciprocitéG⁺_H(r;r;t−t) =G⁺_H(r;r;t−t). Cette re-lation est une conséquence immédiate du caractère réel des fonctions propres ψn de l’opérateur Laplacien dans la formule (3.93). Elle se démontre égale-ment en appliquant la seconde formule de Green, comme cela est proposé dans l’exercice 3.2. Notons aussi queG⁺_H est à valeurs réelles.

Aux temps courts, les fonctionsG⁺_DH etG⁺_{N H} ont le même comportement, déterminé par les conditions initiales établies dans la section 3.1.2, page 150, à savoir

G⁺_H(r;r; 0⁺) = 0 et ∂G⁺_H

∂τ (r;r; 0⁺) =c²δ(r−r). (3.94) La condition sur la dérivée temporelle est obtenue à partir de la formule générale (3.17) avecp= 2eta2= 1/c². Contrairement au cas de la diffusion, ce n’est pasG⁺_H(r;r;τ)elle-même, mais sa dérivée temporelle, qui se réduit, au facteurc²près, à la distribution de Dirac quandτ →0⁺.

Aux temps longs, la situation est semblable au cas de l’équation de Schrö-dinger. L’évolution de chaque fonction G⁺_H est complexe, car elle met en jeu