Définition et propriétés des fonctions de Green

Considérons un système contenu dans un domaineDde dimensiona priori quelconque, et comprenant des sources distribuées avec une certaine den-sité ρ(r), où icirdésigne un point du domaineD. Supposons que ces sources induisent un certain champ φ(r), univoquement déterminé par le système

Oφ(r) =ρ(r)

C.L.(φ). (2.1)

Dans la première équation de ce système, O désigne un opérateur linéaire incluant des dérivations partielles par rapport aux différentes composantes de r. De plus, la notation C.L.(φ) représente les conditions aux limites (C.L.) spécifiques à la situation étudiée. En géneral, celles-ci porteront sur la valeur deφ(r)et/ou de ses dérivées spatiales sur le bord∂D, du domaineD. Dans la suite, et par abus de langage, nous appellerons∂Daussi surface, en référence au cas où le domaineDest tri-dimensionnel.

D

∂D

Fig.2.1 –DomaineDet son bord∂D.

En toute généralité, nous envisagerons un champ φ(r) pouvant prendre des valeurs complexes.

L’EDP satisfaite parφétant linéaire, il est tentant d’introduire le principe de superposition,i.e.de décomposerφcomme la somme de champs créés par des sources élémentaires adéquates. Immédiatement, cette tentative se heurte aux difficultés induites par les conditions aux limites. Lesquelles faut-il choisir pour définir univoquement les champs élémentaires, afin de s’assurer que la superposition correspondante satisfasse bien aux conditions de bord originelles portant sur φ? En fait, il n’existe pas de réponse générale à cette question, qui sera traitée au cas par cas dans la suite.

Définition

Revenons à l’idée de superposition. En vertu de l’identité ρ(r) =

D

drρ(r)δ(r−r), (2.2) valable pourrstrictement à l’intérieur deD(et non sur la frontière∂D), il est naturel d’introduire l’assemblée de toutes les sources ponctuelles, assemblée décrite par la position de la source en un point quelconquer deD. À chacune de ces sources localisée en un pointrdonné est associée une densité purement locale qui n’est autre que δ(r−r). Chacune d’entre elles induit un champ élémentaire, défini univoquement par la donnée de conditions aux limites sur la frontière∂D. Ce champ est appelé fonction de Green de l’opérateur O, et il est donc défini par le système

OrG(r;r) =δ(r−r) (2.3) C.L.(G).

Soulignons que la fonction de Green G(r;r)dépend de deux positions qui ne jouent pas le même rôle : r désigne le point d’observation où le champ élémentaire est évalué, alors quer dénote la position de la source ponctuelle.

Ainsi dans l’EDP satisfaite par G(r;r), l’opérateur agit sur la variabler, ce qui est stipulé par la notation O_r. De plus, il existe souvent plusieurs types de C.L., qui, en particulier, peuvent être différentes de celles définissantφ.

Intérêt

Poursuivons maintenant l’idée de superposition. Considérons pour cela le champ φG(r), défini comme la combinaison linéaire, sommée sur r, des champs élémentairesG(r,r)pondérés parρ(r),i.e.:

φG(r) =

D

dr G(r;r)ρ(r). (2.4)

Appliquons l’opérateur Or à φG(r). Le caractère linéaire de cet opérateur nous permet de le passer sous le signe somme dans l’expression intégrale (2.4).

De plus, ce même caractère linéaire implique qu’il agit alors uniquement sur G(r;r), la densitéρ(r)jouant le rôle d’une simple constante multiplicative.

En utilisant enfin l’EDP satisfaite parG(r;r), nous trouvons aisément

O_rφG(r) =ρ(r). (2.5)

Comme attendu, ce champ φG(r)satisfait donc la même EDP que le champ cherchéφ(r). Ceci met bien en lumière l’intérêt majeur des fonctions de Green dans la résolution du système général (2.1). Une fois ces fonctions détermi-nées, il suffit en effet de calculer une intégrale spatiale pour avoir accès à une solution particulière de l’EDP étudiée.

Bien sûr, φG(r) ne se réduit pas àφ(r)en général, car il ne satisfait pas aux bonnes conditions aux limites. Il en diffère typiquement par une intégrale de surface, où le point d’intégration parcourt la frontière ∂D du domaine comme cela sera vu plus loin dans le cas de l’opérateur Laplacien. Une étude exhaustive de cette contribution de surface n’est pas possible, sauf dans le cas simple des C.L. homogènes que nous présentons ci-dessous.

Commentaire 2.1.1. Considérons un champφ_ψ(r)défini par une intégrale surfacique surr ∈∂DdeG(r;r), ou de l’une quelconque de ses dérivées spatiales, pondérée par une fonction arbitraireψ(r). En exploitant à nouveau la linéarité de l’opérateurOr, ainsi que les propriétés (2.3) définissantG(r;r), nous trouvons que l’action de cet opérateur surφ_ψ(r)donne zéro pourrstrictement à l’intérieur deD. Autrement dit,φ_ψ(r)est une solution particulière de l’EDP homogène,i.e.avec une densité de sources identiquement nulle. Alors, la sommeφ_G(r) +φ_ψ(r)est solution de l’EDP originelle, et il est concevable qu’un ajustement adéquat de la forme deφ_ψ puisse donner le champφcherché avec les bonnes conditions aux limites.

Conditions aux limites homogènes

Ces C.L. obéissent à la propriété remarquable suivante. Si deux fonctions f1 et f2 définies dansD satisfont ces conditions, alors α1f1+α2f2, avec α1

et α2 des fonctions régulières arbitraires, satisfait aussi ces mêmes C.L.

Supposons que les C.L. définissant le champ φ soient homogènes. Intro-duisons alors la fonction de Green homogèneGH définie par les mêmes C.L.

dans le système (2.3). D’après la propriété d’homogénéité de ces C.L., il est clair que le champ φG_H donné par la superposition (2.4) satisfait également ces C.L., et donc ce champ n’est autre que le champφcherché,i.e.:

φ(r) =

D

dr GH(r;r)ρ(r). (2.6)

La fonction de Green homogène GH se révèle donc particulièrement utile ici, puisqu’elle fournit la solution générale de l’EDP en φ par une simple superposition des champs élémentaires correspondants.

Un exemple simple de C.L. homogène est donné par les conditions dites de Dirichlet homogènes, qui imposent la nullité des fonctions sur la frontière du domaine. La condition C.L.(φ)devient alorsφ(r) = 0pour r∈∂D. La fonc-tion de Green homogène satisfait aux mêmes condifonc-tions GDH(r;r) = 0pour r ∈ ∂D. Ces C.L. de Dirichlet homogènes apparaissent dans de nombreuses situations et nous les étudierons en détail plus loin.

Propriétés usuelles

Quelques propriétés simples des fonctions de Green découlent immédiate-ment de leur définition. Ces propriétés sont reliées aux symétries du problème déterminées à la fois par la forme du domaineD, la structure de l’opérateurO et la nature des conditions aux limites. Dans la suite, nous énumérons celles qui sont le plus fréquemment rencontrées.

Réciprocité. Supposons queOsoit hermitien dans l’ensemble des fonctions définies dans D et satisfaisant à des C.L. données. Cela signifie que quelque soient les fonctionsu(r)etv(r)appartenant à cet ensemble,

D

dr

u^∗(r)O_rv(r)−(O_ru(r))^∗ v(r)

= 0, oùu^∗(r)dénote le complexe conjugué deu(r). Alors,

G(r₁;r₂) =G^∗(r₂;r₁), ∀r₁, r₂∈ D. (2.7) Cette propriété est un cas particulier de relations dites de réciprocité. Elle se démontre en partant des deux équations

O_rG(r;r₁) = δ(r−r₁), (2.8) OrG(r;r2) = δ(r−r2), (2.9) obtenues en spécifiant l’EDP satisfaite par G(r,r) aux deux points sources r = r₁ et r = r₂ respectivement. Multiplions membre à membre l’équa-tion (2.8) parG^∗(r;r₂)d’une part, et le complexe conjugué de l’équation (2.9) parG(r;r1)d’autre part. Intégrons ensuite chaque terme surr. Par soustrac-tion membre à membre, nous obtenons finalement :

D

dr

G^∗(r;r₂)O_r G(r;r₁)−(O_rG(r;r₂))^∗ G(r;r₁)

=G^∗(r₁;r₂)−G(r2;r₁).

Comme Oest hermitien, le terme de gauche est nul, ce qui implique bien la relation (2.7).

Dans le cas oùGest réelle, la relation (2.7) devientG(r1;r2) =G(r2;r1).

Alors, les points r1et r2 jouent des rôles symétriques : le champ élémentaire créé enr1 parr2, est identique à celui créé parr2 enr1.

Invariance par translation. Si les symétries du problème impliquent l’in-variance par translation, alorsG(r;r)est fonction uniquement de la différence r−r. Il est facile de s’en convaincre en exprimantGen termes des variables r−r et r+r. En effet, l’invariance par toute translation spatiale de vec-teur quelconquer₀, se manifeste alors par l’identité G(r−r;r+r+ 2r₀) = G(r−r;r+r), pour toutr₀, ce qui implique bien l’indépendance deGpar rapport à la variabler+r.

L’invariance par translation peut être observée dans différentes situations.

La plus courante est celle d’un système infiniment étendu (le domaineD est l’espace tout entier), avec un opérateurOlui-même invariant par translation, et des C.L. de Dirichlet homogènes. Notons que l’invariance par translation peut être restreinte à certaines directions spatiales, en particulier dans le cas des systèmes semi-infinis.

Invariance par translation et rotation. Supposons que les symétries du problème induisent la double invariance par translation et rotation. D’après ce qui précède, G(r;r) = G(r−r). De plus, comme Gdoit être inchangée par n’importe quelle rotation de centrer avec axe et angle arbitraires,Gne peut pas dépendre des angles der−rdans un repère donné. Par conséquent, G est une fonction uniquement de la distance relative |r−r|. Remarquons que si de plus O est hermitien, la relation de réciprocité (2.7), combinée à G(r₁;r₂) =G(|r₁−r₂|), impliquent alors que Gest réelle.

La double invariance par translation et rotation sera typiquement observée pour un système infiniment étendu dans toutes les directions, avec un opéra-teur O ayant lui-même ces propriétés d’invariance, et des C.L. de Dirichlet homogènes.