1.3 Exercices
2.2.3 Densité d’états d’une particule quantique
l=0
(Alrl+Blr−l−1)Pl(cosθ).
La condition de bord à l’infini impose Al = 0 pour tout l = 0. Comme la vitesse est le gradient de ψ, nous pouvons fixer la constante A0 = 0. La condition de bord surSR s’écrit alors
l
(l+ 1)BlR−l−2Pl(cosθ) =−V cosθ .
Comme les Pl forment une base orthogonale, et comme P1(cosθ) = cosθ, il vient Bl = 0 pour tout l = 1 et B1 = −V R3/2. On retrouve alors bien l’expression (2.94) de ψ(r) obtenue précédemment. Dans les deux méthodes présentées, les propriétés des polynômes de Legendre Pl(cosθ)constituent la clé de la résolution explicite du problème.
2.2.3 Densité d’états d’une particule quantique
PrésentationComme exposé dans la partie générale de ce chapitre, la connaissance du spectre des opérateurs en jeu donne accès aux fonctions de Green. Inverse-ment, un calcul direct des fonctions de Green peut permettre de déterminer
19. L’annexe G contient des rappels sur les harmoniques sphériques.
des propriétés spectrales. Ce point de vue inverse va être illustré dans cet exemple de mécanique quantique, où le formalisme des fonctions de Green fournit des informations très utiles sur le spectre du Hamiltonien, notamment en physique de la matière condensée.
Afin de fixer les idées, considérons une particule quantique de Hamiltonien H =−2
2mΔr+V(r),
enfermée dans un domaine D. Une fonction propre ψn(r) de H de valeur propre En est solution de l’EDP
[H−En]ψn(r) = 0, (2.95) avec des C.L. de Dirichlet homogènes sur la frontière ∂Dde la boîte. Cette équation est de la forme générale (2.72), p. 100, avec O = H, λ = −En
et ρ(r) = 0. Pour cette valeur de λ, l’opérateur [λ+H] ne saurait être in-versible : autrement ψn(r) serait identiquement nulle, car la fonction nulle est bien solution de l’EDP (2.95) avec les bonnes C.L. ! Par conséquent, nous pouvons annoncer que λ =−En doit être une singularité de la fonction de GreenGλ(r;r)associée à la résolvante[λ+H]−1. Nous allons d’abord explici-ter la nature de cette singularité, puis montrer comment en inférer la densité d’états de la particule. Ensuite, nous aborderons deux exemples unidimen-sionnels. Cette seconde étape servira de laboratoire pour appliquer certaines techniques générales.
Étude et résolution
La représentation spectrale (2.77) deGλ(r;r)s’écrit ici Gλ(r,r) =
n
ψn(r)ψ∗n(r) λ+En
. (2.96)
Clairement,λ=−Enapparaît bien comme un pôle simple deGλ(r;r), conçue comme une fonction analytique de la variable complexe λ. Le résidu de ce pôle se réduit au produit ψn(r)ψn∗(r), ou bien à la somme de tels produits si l’énergie propreEnest dégénérée. Ainsi, la connaissance a priorideGλ(r;r) dans le plan complexe en λ, donne accès au spectre de H par identification des positions et résidus des pôles simples sur l’axe réel.
Formule de la densité d’état. En application des considérations précé-dentes, montrons comment le comportement de Gλ(r;r =r)lorsqueλ s’ap-proche de l’axe réel, permet de déterminer la densité d’étatsρ(E)définie par
ρ(E) = Tr{δ(H−EI)}=
n
δ(En−E),
oùI est l’identité et où la seconde égalité correspond à l’expression de cette trace dans la base propre{ψn} du Hamiltonien.
Posonsλ=−E+iavec >0, et définissons G+E(r;r) = lim
→0+G−E+i(r;r).
En vertu de la relation (A.1), p. 303, lim
la représentation spectrale (2.96) devient dans la limite considérée G+E(r;r) = PP Prenons la partie imaginaire membre à membre de cette égalité. Comme le premier terme dans le membre de droite de l’équation (2.97) est réel, seul le second terme contribue. Par ailleurs, après intégration sur r dans le do-maine D, la somme surn se réduit àρ(E)par suite de la normalisation des fonctions propresψn(r). Nous en déduisons la formule
ρ(E) =−1
Notons qu’il est aussi possible de définirG−E(r;r)en prenant la limite de G−E+i(r;r)quand→0−. On obtient alors une formule analogue à (2.98) exprimant ρ(E) en termes de G−E(r;r), avec un préfacteur 1/π à la place de −1/π. Ceci implique que la partie de l’axe réel correspondant à la partie continue du spectre, est nécessairement une coupure pour Gλ(r;r). En effet, celle-ci y est discontinue carG+E(r;r)etG−E(r;r)sont de signe opposés.
Particule libre à une dimension. Considérons une particule libre sur une droite infinie, dont le HamiltonienH0 est simplement donné par
H0=−2 2m
d2 dx2.
Déterminons la fonction de GreenGλ(x;x)à partir de l’équation différentielle ordinaire dimension avec un paramètre complexe. Similairement au calcul menant à la
formule (2.66), p. 96, il est commode de procéder à une transformation de Fourier. Nous obtenons ainsi
Gλ(x;x) = 1 2π
∞
−∞dk eik(x−x)
λ+2k2/(2m) . (2.100) Dans cette formule, l’intégrant conçu comme une fonction analytique de la variable k, a deux pôles simples en k±(λ) = ±(−2mλ/2)1/2. La fonction (−Z)1/2 est définie ici par le choix de détermination
(−Z)1/2=
|Z|ei(argZ+π)/2
avec une coupure sur le demi-axe réel négatif etargZ∈]−π, π[. Six−x est positif, il est habile de compléter l’axe réel d’intégration sur k par un grand demi-cercle dans le demi-plan complexe supérieur. En effet, l’intégrant satis-fait alors au lemme de Jordan sur ce demi-cercle, de sorte que l’application du théorème de Cauchy au contour fermé correspondant, fait seulement in-tervenir le pôle k+(λ). De même, si x−x est négatif, en bouclant dans le demi-plan complexe inférieur maintenant, seul le pôle k−(λ) contribue. En définitive, il vient
Gλ(x;x) =i −m
22λ 1/2
exp
i|x−x|(−2mλ/2)1/2
, (2.101)
qui peut être vue comme le prolongement analytique de la formule (2.66).
Quandλ=−E+is’approche du demi-axe réel positif, que ce soit par au dessus ou par en dessous, Gλ(x;x)tend vers la même valeur purement réelle
G+E(x;x) =G−E(x;x) = m
22|E| e−|x−x|
√2m|E|/2 pourE <0 . (2.102)
L’application de la formule (2.98) donne bien alorsρ(E) = 0pourE <0. Par contre, quandλ=−E+is’approche du demi-axe réel négatif, nous trouvons
G±E(x;x) =∓i m
22E e∓i|x−x|√
2mE/2 pourE >0 . (2.103) Ces deux valeurs étant complexes conjuguées,Gλ(x;x)n’est pas continue à la traversée du demi-axe réel négatif, qui est en fait une coupure partant du point de branchement λ = 0, en accord avec le continuum de valeurs propres En
positives.
L’application brutale de la formule (2.98) conduit à une densité d’états infinie pour E >0 car Gλ(x;x)est une constante. Cette divergence est sim-plement due au caractère infini du domaine considéré. On peut reprendre cette étude dans un segment de longueurL. Alors, comme déjà remarqué pour
l’opérateur de Helmholtz à une dimension p. 89, les effets de bord deviennent négligeables quand L devient suffisamment grand. L’expression (2.101) est asymptotiquement correcte loin des bords, de sorte que la formule (2.98) donne pour E >0
ρ(E)L
m
2π22E quandL→ ∞. (2.104) Nous retrouvons ainsi l’expression bien connue, qu’on peut obtenir directe-ment par un simple comptage basé sur la quantificationEn=n2π22/(2mL2) des énergies propres.
Particule dans un puits localisé. Soumettons la particule précédente au potentiel attractifV(x) =−U δ(x)avecU >0, son Hamiltonien devenant
H =H0+V(x) =−2 2m
d2
dx2 +V(x).
Après avoir considéré le cas du spectre continu de H0, nous allons illustrer maintenant comment la détermination de la fonction de Green Gλ(x;x) as-sociée à [λ+H]−1, permet aussi d’accéder à la partie discrète du spectre deH. Dorénavant, nous noteronsG(0)λ (x;x)la fonction de Green précédente associée à[λ+H0]−1.
Partons de l’identité (2.80) démontrée p. 103, qui s’écrit ici Gλ(x;x) =G(0)λ (x;x)−
∞
−∞dxG(0)λ (x;x)V(x)Gλ(x;x). Comme V(x) =−U δ(x), cette équation intégrale pour Gλ(x;x)prend la forme simple
Gλ(x;x) =G(0)λ (x;x) +U G(0)λ (x; 0)Gλ(0;x). (2.105) En posantx= 0dans cette relation, nous obtenons immédiatementGλ(0;x) en résolvant une équation algébrique élémentaire. En reportant la valeur trou-vée dans la formule (2.105), nous trouvons finalement
Gλ(x;x) =G(0)λ (x;x) + U G(0)λ (x; 0)G(0)λ (0;x) 1−iU
(−m/(22λ)1/2, (2.106) avec la fonction de Green libreG(0)λ (x;x)donnée par la formule (2.101). Ceci achève le calcul, exact et explicite, de Gλ(x;x).
Intéressons-nous aux singularités de l’expression (2.106). Clairement, le demi-axe réel négatif enλreste une coupure pourGλ(x;x), puisque c’en est une pour G(0)λ (x;x). Par conséquent, le spectre de H comprend une partie
continue d’énergie E >0, comme celui deH0. Pourλréel positif,G(0)λ (x;x) est bien analytique. En revanche, par suite de la présence du dénominateur
1−iU
(−m/(22λ) 1/2
dans la formule (2.106), il apparaît un pôle simple de Gλ(x;x) pour la va-leurλP qui annule ce dénominateur, à savoir
λP =mU2
22 . (2.107)
Ce pôle simple isolé correspond à un état propre localisé d’énergie E0 =
−λP =−mU2/(22): c’est l’état fondamental de H, qui peut bien sûr être obtenu par une résolution directe de l’équation aux valeurs propres. Le lecteur pourra vérifier, en utilisant les formules (2.102) pourG(0)λ
P(x; 0)etG(0)λ
P(0;x), que le résidu du pôle λP redonne bien le produit ψ0(x)ψ0∗(x).
Interprétation
Cet exemple simple illustre les mécanismes à l’œuvre dans la relation fon-damentale entre les propriétés analytiques de la fonction de Green associée à la résolvante d’une part, et les propriétés spectrales du Hamiltonien d’autre part. Cette relation prend tout son intérêt dans des situations où une résolu-tion directe de l’équarésolu-tion de Schrödinger n’est pas possible. C’est le cas des systèmes dits désordonnés, une particule quantique étant soumise à un po-tentiel dépendant d’un ou plusieurs paramètres aléatoires. C’est aussi le cas dans le cadre du problème àN corps, où il est utile d’étudier le spectre d’une particule habillée par les interactions avec ses consœurs à partir de la fonction de Green réduite à un corps20.
À propos des développements perturbatifs. En général, un calcul exact de la fonction de Green reste évidemment très difficile. Il peut être alors bienvenu de procéder au développement perturbatif décrit dans la pre-mière partie de ce chapitre, en choisissant de plus judicieusement la fonction de Green de référence. Soulignons cependant que ces développements pertur-batifs peuvent manquer un effet essentiel. Par exemple, dans le cas du puits de potentiel enδtraité précédemment, le développement perturbatif deGλ(x;x) en puissances deU ne capture pas la singularité enλP. En effet, ce dévelop-pement donne par exemple, au premier ordre en U,
Gλ(x;x)G(0)λ (x;x) +U G(0)λ (x; 0)G(0)λ (0;x)
de sorte que l’état fondamental localisé reste invisible, cette propriété restant valable à un ordre fini de la série de perturbation ! Par contre, notons que l’identité (2.80) peut fournir des informations non-perturbatives plus fiables.
20. Voir aussi le commentaire p. 171.