1.3 Exercices
2.1.5 Opérateurs Laplacien et de Helmholtz en basse
Ddr ρ(r)GN H(r;r) +
∂DdΣ GN H(r;r)N(r). (2.49) Comme dans le cas du Laplacien, la détermination explicite des fonctions de GreenGDHouGN Hn’est pas chose aisée pour une géométrie du domaineD sans symétries particulières. Il peut alors être plus avantageux de considérer la version (2.40) de la formule générale (2.27) en termes de la fonction de GreenG∞du sytème infini. En particulier, nous voyons immédiatement que, commeG∞ est maintenant à courte portée, les effets de bord surφ(r)seront extrêmement faibles si le point d’observationrest loin de la surface∂D,i.e.à une distance grande devant1/m. Alors, avec une très bonne approximation, on pourra identifierφ(r)au simple champ de superpositionφG∞(r).
2.1.5 Opérateurs Laplacien et de Helmholtz en basse dimension
Les propriétés précédentes des opérateurs de Laplace et de Helmholtz sont indépendantes de la dimension. Pour des raisons pratiques évidentes, nous avons parfois mis l’accent sur le cas tridimensionnel. Cela dit, il existe de nom-breuses situations physiques, où tout se passe comme si l’espace était réduit à deux voire une seule dimension, soit pour des raisons de symétrie, soit par des effets de confinement. Pour ces basses dimensions, il existe des méthodes spé-cifiques qui sont très utiles. En fait, à une dimension, les EDP (2.18) et (2.42) deviennent des équations différentielles ordinaires dont la résolution explicite est élémentaire. À deux dimensions, les difficultés intinsèques aux EDP ap-paraissent. Néanmoins, la méthode des transformations conformes permet de calculer explicitement les fonctions de Green d’intérêt dans des géométries fré-quemment rencontrées en pratique, en introduisant un problème équivalent dans un domaine de forme très simple. Nous concluons cette section par une brève description des fonctions de Green pour un plan et une droite infinis.
Segment de longueur L
À une dimension, le domaineD est un segment de longueur L. Par com-modité, nous choisissons l’origine au centre du segment de sorte que les bords décrivant∂Dse réduisent aux deux points d’abscisses respectivesx− =−L/2 et x+=L/2(voir figure 2.4).
−L2 0 L2 x
Fig. 2.4 –Segment de longueurL.
Opérateur de Helmholtz. Considérons d’abord l’opérateur de Helmholtz.
L’intégration de l’équation différentielle
− d2 dx2 +m2
φ(x) =ρ(x) (2.50)
est élémentaire, par la méthode de la variation de la constante décrite dans l’annexe C, page 310. Ici, deux fonctions indépendantesφ1et φ2solutions de l’équation (2.50) homogène avec un second membre nul, sont φ1(x) =emx et φ2(x) = e−mx, dont le Wronskien φ1φ2−φ1φ2 est la constante−2m. Nous trouvons alors la solution générale de (2.50),
φ(x) = c1− 1
2m x
−L/2dx ρ(x)e−mx emx +
c2+ 1 2m
x
−L/2dx ρ(x)emx
e−mx , (2.51) oùc1etc2sont des constantes d’intégration déterminées par les C.L. imposées surφ.
Les fonctions de Green sont aisément calculées en appliquant la for-mule (2.51), avec ρ(x) = δ(x −x0) et les C.L. appropriées. Ainsi, nous obtenons
GDH(x;x0) =−2m1 sh(m|x−x0|) + 2m1 coth(mL) ch(m(x−x0))
− 2msh(mL)1 ch(m(x+x0)) (2.52) pour les C.L. de Dirichlet homogènes, et
GN H(x;x0) =−2m1 sh(m|x−x0|) + 2m1 coth(mL) ch(m(x−x0)) + 2msh(mL)1 ch(m(x+x0))
(2.53) pour les C.L. de Neumann homogènes. Conformément aux propriétés géne-rales, nous vérifions queGDH(x;x0)et GN H(x;x0)sont bien réelles et symé-triques dans l’échange de xet x0. Elles ne sont évidemment pas invariantes par translation à cause des bords.
Pour un domaine de grande taille (L1/m), si xet x0 restent loin des deux bords (|x− ±L/2| 1/met |x0− ±L/2| 1/m), alors les effets de bord surGDHetGN H deviennent exponentiellement petits, en accord avec la prédiction générale : ces deux fonctions tendent alors verse−m|x−x0|/(2m)qui n’est autre que la fonction de GreenG∞pour une droite infinie comme nous le redémontrerons plus loin. Enfin, le lecteur pourra vérifier que l’insertion des fonctions de Green (2.52) et (2.53) dans les formules respectives (2.37) et (2.49), redonne bien la solution générale (2.51), où les constantesc1 et c2
sont quant à elles ajustées à partir des C.L. correspondantes surφ.
Laplacien. Pour l’opérateur Laplacien, le problème devient encore plus simple, puisqu’il suffit d’intégrer deux fois successivement la densitéρ(x)pour obtenir
φ(x) =c1+c2x+ x
−L/2dx ρ(x) (x−x). (2.54) La fonction de Green de Dirichlet homogène devient simplement
GDH(x;x0) =−1
2|x−x0| −xx0
L +L
4 (2.55)
alors qu’il n’existe pas de fonction de Green de Neumann homogène. Notons qu’on peut retrouver l’expression (2.55) en prenant la limitem→0àL,xet x0fixés, de la formule (2.52) pour l’opérateur de Helmholtz.
Transformations conformes en deux dimensions
Dans ce paragraphe, nous présentons des méthodes spécifiques à la dimen-sion deux et basées sur les transformations conformes. Nous allons montrer que l’intérêt de ces transformations est de permettre de transformer un domaine bidimensionnel en un autre de géométrie plus simple. De plus, l’opérateur La-placien, ainsi que ses fonctions de Green, ont des propriétés de transformation remarquables.
Définition. Rappelons d’abord la définition des transformations conformes en dimension quelconque. Une transformation des coordonnées {ξi} aux co-ordonnées {ηi} est dite conforme, si les éléments de matrice,gij et&gij, de la métrique respectivement pour les coordonnées {ξi} et{ηi}vérifient
&
gij =f({ξk})gij
avecf({ξi})une fonction scalaire11. Il est facile d’identifier comme éléments de ce groupe les translations, les rotations et les dilatations dans l’espace euclidien. La particularité de la dimension deux est que le groupe des trans-formations conformes y est de dimension infinie, contrairement aux cas des autres dimensions. Désormais, nous nous restreignons à cette dimension.
Transformations conformes et fonctions analytiques. Déterminons maintenant la nature des transformations conformes en deux dimensions qui préservent l’orientation. L’espace euclidien R2 est décrit par les coor-données cartésiennes (x, y). Pour ces coordonnées, la métrique g correspond tout simplement à la matrice identité I, et l’élément de ligne se réduit à ds2=dx2+dy2. Considérons la transformation de coordonnées
x→x(x, y) et y→y(x, y).
La métrique &g dans les coordonnées (x, y)est définie par la réécriture de l’élément de ligne comme
ds2=&gxxdx2+ 2&gxydxdy+&gyydy2. Elle est donnée par (voir annexe F) la relation matricielle :
&
g= ∂x
∂x
∂x
∂y
∂y
∂x
∂y
∂y
T
I ∂x
∂x
∂x
∂y
∂y
∂x
∂y
∂y
, oùAT désigne la transposée de la matriceA.
11. Voir l’annexe F pour des rappels sur les changements de coordonnées.
Il est alors possible de montrer à partir de cette équation que la transformation Les équations (2.56) ne sont autres que les conditions de Cauchy-Riemann, qui imposent que la fonction
F(x, y) =x(x, y) +iy(x, y) est une fonction analytique de la seule variable complexe z = x+iy,i.e. F(x, y) =F(z).
Commentaire 2.1.6. Indiquons simplement quelques étapes de cette dé-monstration. En appelant
on obtient dans un premier temps les conditions Il faut alors étudier les condi-tions (2.57), (2.58) et (2.59) : tout d’abord se convaincre qu’il n’est pas possible d’avoirAi= 0(aveci= 1,2) ; les conditions A1 =A2 = 0, (2.58), et de préservation de l’orientation mènent alors au résultat. trans-formation de coordonnées bidimensionnelle est conforme12 si et seulement si F(z)est analytique enzet dF/dz= 0. Autrement dit, à toute fonction analy-tiqueF(z)est associée une transformation conforme. C’est pourquoi le groupe des transformations conformes bi-dimensionnelles est de dimension infinie.
Interprétation géométrique. Il est utile de remarquer que les transfor-mations conformes ont une interprétation géométrique locale très simple. En effet, au voisinage d’un point donné (x0, y0), une transformation conforme
12. Dans le cas où la transformation inverse l’orientation,F(¯z)est une fonction anti-holomorphe.
se réduit à la composition d’une rotation d’angle arg(dF/dz(z0)) et d’une dilatation de facteur d’homothétie|dF/dz(z0)|. En conséquence, cette trans-formation conserve localement les angles (voir par exemple les angles du bord du domaine dans la figure 2.5). L’angle de rotation et le facteur d’homothétie dépendent du point considéré(x0, y0). Ils ne sont constants dans tout l’espace que siF(z) =az+b avecaet bconstantes complexes.
Considérons l’image d’un domaineDpar une transformation conforme de fonction analytique associéeF(z), analytique dansDet telle que dF/dz= 0 pour(x, y)∈ D. La transformation est bijective,i.e.chaque point du domaine image a un seul point antécédent dans D. De plus, le domaine image a la même topologie queD. Lorsque la frontière (ici une courbe)∂Dprésente des points anguleux, il est souvent utile d’introduire une transformation conforme qui devient singulière en ces points. Alors, au voisinage de tels points singu-liers, la transformation ne conserve plus les angles. Ceci est mis alors à profit pour transformer une arête en surface lisse,viaun choix judicieux de la fonc-tionF(z): c’est le principe de la transformation de Schwartz-Cristoffel. Nous en donnons une illustration simple au §2.2.5, page 122.
Transformation du Laplacien et de la distribution de Dirac. Dans un changement de coordonnées conforme de fonctionF(z), l’opérateur Laplacien, ainsi que la distribution de Dirac, se transforment comme
∂2
∂x2 + ∂2
∂y2 = dF
dz 2
∂2
∂x2 + ∂2
∂y2
, (2.60)
et
δ(x−x0)δ(y−y0) = dF
dz
2δ(x−x0)δ(y−y0), (2.61) ces formules étant des applications des résultats généraux (F.5) et (F.2) de l’annexe F. Autrement dit, le Laplacien et la distribution de Dirac se trans-forment exactement de la même manière.
Fonctions de Green de Dirichlet. Les résultats précédents suggèrent d’utiliser des transformations conformes pour calculer des fonctions de Green du Laplacien dans des domaines de géométrie sans symétrie simple. Considé-rons d’abord une fonction de Green de DirichletGD pour un domaine donné D. L’idée consiste d’abord à chercher une transformation conforme,
r= (x, y) → r= (x, y) avec x= ReF(z) et y = ImF(z), par laquelle l’image de D soit un domaine D de géométrie plus simple, comme illustré dans la figure 2.5. Dans les nouvelles coordonnées, définissons
D
∂D ∂D
D
Fig. 2.5 – Transformation conforme dans le plan complexe permettant de passer d’un domaine D de bord∂D de forme compliquée à un domaine D de forme rec-tangulaire et de bord∂D.
la fonction de Green GD, solution unique de
−ΔrGD(r;r0) =δ(r−r0) avec les C.L. de Dirichlet13
GD(r;r0)
r∈∂D =D(r),
où∂D est l’image de ∂Dpar la transformation conforme, etD(r) =D(r).
Par construction, cette fonction GD est alors plus simple à déterminer. De plus, la fonctionGD définie par
GD(r;r0) =GD(r;r0)
est la fonction de Green de Dirichlet du problème originel. En effet, elle sa-tisfait aux C.L. et, compte tenu des propriétés de transformations (2.61) du Laplacien et de la distribution de Dirac, nous avons :
−ΔrGD(r;r0) = − dF
dz
2ΔrGD(r;r0),
=
dF dz
2δ(x−x0)δ(y−y0),
= δ(x−x0)δ(y−y0).
Pour D(r) = 0, nous obtenons ainsi la fonction de Green de Dirichlet ho-mogèneGDH. Comme montré dans la section 2.1.3, la connaissance de GDH
donne accès à n’importe quel champφdéfini par des C.L. de Dirichlet. Lorsque les C.L. sur φ sont de type Neumann, l’utilisation de GDH dans la formule générale (2.27), page 75, ne fournit pas explicitement φ. L’expression ainsi obtenue peut néanmoins aider à une résolution ultérieure.
13. Pour simplifier, nous nous sommes restreints au cas où la fonctionD(r;r0), définie p. 75 dans le cas général, ne dépend que der.
Fonctions harmoniques. En l’absence de source, le champφest une fonc-tion harmonique, solufonc-tion de l’équafonc-tion de Laplace,Δφ= 0. Il est alors parfois plus judicieux de chercher directement la solution de cette EDP par la mé-thode des transformations conformes, sans passer par les fonctions de Green.
Supposons donc que l’on veuille résoudre Δφ= 0dansDavec des C.L., soit de Dirichlet, soit de Neumann. Le champφétant harmonique dansD, il existe une fonction analytique de la forme
A(z) =φ(x, y) +iψ(x, y)
dont φ est la partie réelle. Interprétons dans un premier temps les C.L. sur φ en termes de C.L. sur A. Il est clair que les C.L. de Dirichlet (2.24) se réécrivent :
Dirichlet : ReA(z) =D(x, y) pour z= (x, y)∈∂D. (2.62) Pour les C.L. de Neumann (2.25), comme
dψ=∂ψ
∂x dx+∂ψ
∂y dy=−∂φ
∂y dx+∂φ
∂x dy=n·∇φ dΣ, nous avons, pourz∈∂D,
ImA(z)−ImA(zi) =
C
dΣN(r)
oùziest un point arbitraire sur le bord∂D,Cun contour allant deziàz(voir figure 2.6), etN(r)la fonction intervenant dans les C.L. de Neumann (2.25).
En appelant
N(x, y) =
C
dΣN(r), les C.L. de Neumann se réécrivent :
ImA(z) = ImA(zi) +N(x, y) pour z= (x, y)∈∂D, Neumann :
ReA(z0) =c pour z0= (x0, y0) fixé.
(2.63) Notons que la constante arbitraire ImA(zi) n’apparaît que dans la partie imaginaire deA(z), et donc pas dansφ(x, y).
Les C.L. étant écrites en termes deA(z), il reste à effectuer, comme pré-cédemment, un changement de coordonnées z=F(z), défini par la fonction analytique F(z), vers un domaine plus simple. Le problème est donc ramené à la détermination du champφ(r) =φ(r), solution de l’équation de Laplace Δφ = 0 dans le domaine D avec les C.L. induites par celles portant sur φ. Bien entendu, le champ φ(r)est lui-même la partie réelle d’une fonction analytiqueA(z), vérifiant les C.L. découlant des conditions (2.62) ou (2.63).
D
∂D
C zi
z n
x y
Fig. 2.6 – Contour d’intégration C allant d’un point fixe zi du bord à un point quelconquez du bord.
Au final, la solution de l’équation de Laplace, Δφ = 0, dans le domaine D s’écrit donc :
φ(x, y) = ReA(z) avec A(z) =A(z) =A(F(z)).
Nous donnons au §2.2.5, page 122, une application de ces méthodes à un problème d’hydrodynamique.
Plan et droite infinis
Opérateur de Helmholtz dans un plan. Commençons par l’opérateur de Helmholtz en deux dimensions, le domaineDétant le plan infini. La fonction de Green de Dirichlet homogène correspondante a pour transformée de Fourier
&
G∞(k) = 1/(k2+m2), expression valable en toutes dimensions (voir page 85).
Ici, en deux dimensions, nous avons donc G∞(|r−r0|) = 1
(2π)2
d2keik·(r−r0) 1 k2+m2,
= 1
(2π)2 ∞
0 dk k 2π
0 dθ eik|r−r0|cosθ 1 k2+m2,
= 1
2π ∞
0
dk k J0(k|r−r0|)
k2+m2 (2.64)
où J0 est la fonction de Bessel d’ordre zéro de première espèce. La dernière intégrale s’exprime en termes de la fonction de Bessel d’ordre zéro de troi-sième espèce notée K0, et également dite fonction de Hankel d’argument
imaginaire14. Nous trouvons ainsi G∞(|r−r0|) = 1
2πK0(m|r−r0|). (2.65) Aux grandes distances relatives, le comportement asymptotique de G∞(|r− r0|) est obtenu à partir du développement asymptotique de la fonction K0
aux grands arguments et vaut G∞(|r−r0|) e−m|r−r0|
2(2πm|r−r0|)1/2 quand |r−r0| → ∞.
Nous voyons donc que G∞(|r−r0|) décroît exponentiellement vite. Comme en trois dimensions, la présence deminduit l’effet d’écran, etG∞est à courte portée. Lorsque la distance relative |r−r0|devient petite devant 1/m, nous trouvons un comportement logarithmique,
G∞(|r−r0|)∼ − 1
2πln(m|r−r0|),
à partir du développement aux petits arguments de la fonction K0. Comme l’écran ne devrait plus être opérant à courte distance, nous en déduisons que ce comportement devrait aussi être celui de la fonction de Green du Laplacien, similairement à ce qui est observé dans le cas tridimensionnel (voir page 86).
Opérateur de Helmholtz sur une droite. Passons au cas unidimension-nel oùDest une droite infinie. La transformée inverse deG&∞devient ici
G∞(|x−x0|) = 1 2π
∞
−∞
dk eik(x−x0) 1 k2+m2.
Le calcul de cette intégrale se fait par la méthode des résidus15et donne G∞(|x−x0|) = 1
2m e−m|x−x0|. (2.66) Comme annoncé précédemment,G∞est bien la limite commune des fonctions de GreenGDH(2.52) etGN H (2.53) du système fini de tailleL, quandL→ ∞ à positions fixés. Comme en trois et deux dimensions, G∞(|x−x0|)décroît exponentiellement vite aux distances relatives grandes devant1/m. À courte distance, et à des constantes près, G∞(|x−x0|)se comporte en−|x−x0|/2, comme la fonction de Green de Dirichlet homogène du Laplacien (2.55) d’un grand (i.e.Lx, x0) système fini.
14. Le lecteur pourra trouver les définitions et autres propriétés des fonctions de Bessel dans les ouvrages [Gradshteyn] ou [Arfken].
15. Ce calcul est similaire à celui de l’intégrale (2.47), page 85.
Laplacien. En ce qui concerne le Laplacien dans un plan ou une droite infi-nis, il se trouve qu’il n’existe pas de fonction de Green non-divergente à l’infini, donc pas de fonction de Green de Dirichlet homogène en particulier. Ceci est une conséquence de la non-existence de la transformée de Fourier inverse de la fonction 1/k2 en deux ou une dimensions, à cause de son comportement singulier non-intégrable enk= 0. Cela dit, les fonctions
− 1
2πln (|r−r0|/) (2.67)
avecconstante arbitraire, et
−|x−x0|
2 (2.68)
sont bien des fonctions de Green du Laplacien en deux et une dimensions respectivement. Pour le cas bidimensionnel, le lecteur peut vérifier explici-tement que la fonction (2.67) satisfait bien à l’EDP correspondante au sens des distributions, en appliquant une fonction test, comme proposé à l’exer-cice 2.3, p. 128. À une dimension, la vérification est immédiate en appliquant successivement les identités(d/dx)|x|=θ(x)−θ(−x)et(d/dx)θ(x) =δ(x)où θ(x)est la fonction de Heaviside. Soulignons que les fonctions de Green (2.67) et (2.68) apparaissent naturellement dans les comportements à courte distance des fonctions de Green G∞ associées aux opérateurs de Helmholtz, qui sont eux-mêmes identiques à leurs formes limites quandm→0+ à des constantes divergentes près.
Les fonctions de Green (2.67) et (2.68) ont une interprétation physique simple. En fait, elles correspondent, à des constantes infinies près provenant de la présence de sources non localisées, au potentiel en trois dimensions créé respectivement par une ligne et un plan uniformément chargés. En guise d’exercice, le lecteur peut calculer la différence de potentiel entre deux points d’observationr1 etr2,
d3r
ρ(r)
4π|r1−r|− ρ(r) 4π|r2−r|
pour des distributions de charge linéaire ρ(r) = δ(x −x0) et planaire ρ(r) =δ(x−x0)δ(y−y0)respectivement (voir figure 2.7). Il vérifiera que ces différences se réduisent bien aux fonctions de Green (2.67) et (2.68), à des constantes près. Notons que le champ électrique créé par les distributions de charge précédentes est fini, et il est évidemment donné par le gradient de ces fonctions de Green.