D ´efinition et utilisation des indications vectorielles
3.2 Op´ erateur “union”
λm λr λb λo , µ = µm µr µb µo , τ = τm τr τb τo (3.4)
Dans chacune de ces matrices, λi, µi et τi sont des bool´eens. U, V et W sont trois vecteurs, repr´esentant chacun une direction. Le sens des vecteurs n’a par la suite aucune influence, seule la direction est importante.
Ce chapitre va pr´esenter trois op´erateurs, “union”, “intersection” et “compl´ementaire”. Pour all´eger la lecture de ce m´emoire, seul l’op´erateur “union” va ˆetre d´etaill´e. Les deux autres op´erateurs seront d´efinis rapidement, les d´etails seront report´es en annexe.
Pour chaque op´erateur, les translations et les rotations seront trait´ees ind´ependamment.
3.2 Op´erateur “union”
3.2.1 Pr´esentation
Pour le tol´erancement et les transferts de cotes, on peut laisser libre les mobilit´es de la surface tol´eranc´ee, mais aussi les mobilit´es du syst`eme de r´ef´erences.
Pour cela, l’op´erateur “union”, not´e “+”, repr´esente le cumul des mobilit´es. Il est d´efini tel que les mobilit´es de MA+ MB regroupent l’ensemble des mobilit´es de A et de B.
Figure 3.2 – Union des mobilit´es entre une surface de r´ef´erence et une surface tol´eranc´ee
Par exemple, “union” cumule la mobilit´e pZ de la surface de r´ef´erence et la mobilit´e cZ de la surface tol´eranc´ee sur la figure 3.2.
Valeurs de λi = µi+ τi @ @ @ @@ µi τi 0 1 0 0 1 1 1 1
Tableau 3.3 – Table de la loi “union”
La table de la loi “union” donne le r´esultat d’une union pour les composantes des matrices de mobilit´es, avec des directions identiques.
3.2.2 R`egles de calcul
3.2.2.1 El´´ement nul et ´el´ement neutre
La mobilit´e flottante f (toutes les mobilit´es) est l’´el´ement nul pour la loi “union” : L’union des mobilit´es entre n’importe quelle indication et toutes les mobilit´es (f) donnera toujours toutes les mobilit´es, soit f.
La mobilit´e encastrement e (aucune mobilit´e) est un ´el´ement neutre pour la loi “union”. En effet n’ajouter aucune mobilit´e (e) `a une indication ne change pas cette indication.
e + λX = λX, ∀λ, ∀X (3.6) La figure 3.6 repr´esente l’algorithme de calcul pour l’union de mobilit´es en transla-tion. La partie ¬ reprend les r`egles de calcul entre un ´el´ement quelconque et un ´el´ement nul ou neutre.
3.2.2.2 Algorithme de calcul pour la loi “union”
On cherche `a exprimer l’union µV + τ W sous la forme λU, soit :
λU = µV + τ W (3.7)
L’algorithme d´efini figure 3.6 donne l’union des degr´es de libert´e en translations des mobilit´es de deux ´el´ements.
Dans cette partie, l’objectif est de d´eterminer λm et λb, en fonction de µm, µb, τm, τb et de la configuration de V et W.
L’algorithme est identique pour les translations et les rotations, il suffit de remplacer dans l’algorithme m par r et b par o. Les rotations n’´etant pas prises en comptes, e est ici ´equivalent `a s, et f ´equivalent `a t.
En entr´ee de l’algorithme, µm, µb, τm, τb, V et W sont connus. Diff´erents tests sont r´ealis´es `a partir de ces ´el´ements afin de d´eterminer le r´esultat. Par exemple pour la premi`ere partie de l’algorithme, le premier test est “µ = t ou τ = t”. Dans le cas o`u l’une des indications autorise toutes les mobilit´es (t), alors la r´eponse au test est “oui”, et l’algorithme donne pour pour r´esultat “λ = t”. Le calcul est alors termin´e. Dans le cas contraire, la r´eponse est “non”et il faut alors effectuer un nouveau test.
3.2.2.3 Union de deux indications vectorielles de mˆeme direction V
L’union de deux indications vectorielles de mˆeme direction est trait´ee dans la partie de la figure 3.6. Pour cette configuration, il suffit simplement d’utiliser la table 3.3 afin de d´eterminer chaque composante de la matrice des mobilit´es. Chaque composante de la matrice finale est l’union des composantes correspondantes dans les matrices initiales.
λV = µV + τ V = µm µr µb µo V + τm τr τb τo V (3.8) λV = µm+ τm µr+ τr µb + τb µo+ τo V (3.9)
3.2.2.4 Union de deux indications unidirectionnelles ou bidirectionnelles `
A partir de la troisi`eme partie de l’algorithme figure 3.6, les directions d’´etudes ne peuvent plus ˆetre parall`eles. Si les deux indications autorisent toutes les mobilit´es en translation perpendiculairement `a leur direction d’´etude, alors toutes les mobilit´es en translations deviennent possibles. Ceci est illustr´e sur la figure 3.3 pour deux indications perpendiculaires, mais reste vrai pour toutes directions non parall`eles.
si V 6= ±W, bV + bW = t, ∀V, ∀W (3.10)
Figure 3.3 – Union d’indications bidirectionnelles perpendiculaires
Dans le cas d’une union de deux directions monodirectionnelles, toutes les mobilit´es en translations deviennent autoris´ees dans un plan form´e par les deux directions des indications vectorielles initiales. Ceci est illustr´e sur la figure 3.4, encore une fois pour des indications perpendiculaires, mais reste vrai pour toutes directions non parall`eles.
si V 6= ±W, mV + mW = bU avec U = V ∧ W, ∀V, ∀W (3.11)
3.2.2.5 Union d’une indication unidirectionnelle et d’une indication bidirectionnelle
Pour l’union d’une indication vectorielle unidirectionnelle et d’une indication vec-torielle bidirectionnelle, deux cas sont `a diff´erencier. Tout d’abord, si les indications initiales sont perpendiculaires, alors la mobilit´e de l’indication monodirectionnelle est comprise dans les mobilit´es de l’indication bidirectionnelles, ceci est repr´esent´e figure 3.5. Ceci correspond `a la partie ° de l’algorithme figure 3.6, le r´esultat de l’union est ´equivalent `a l’indication bidirectionnelle.
si V ⊥ W, mV + bW = bW (3.12) sinon mV + bW = t, ∀V, ∀W (3.13) Par contre, si les directions des indications initiales ne sont pas perpendiculaires, alors l’indication monodirectionnelle ajoute une mobilit´e en translation hors du plan contenant les mobilit´es de l’indication bidirectionnelle. Ainsi, toutes les mobilit´es en translations deviennent autoris´es. Ceci correspond `a la partie ¯ de l’algorithme figure 3.6.
Figure 3.5 – Union d’une indication monodirectionnelle et bidirectionnelle perpendicu-laires