Les mobilit´es propres de la zone de tol´erance sont les mobilit´es qui laissent invariante la zone de tol´erance. Les repr´esentations vectorielles des zones de tol´erances sont donn´ees par la figure 4.1.
Figure 4.1 – Repr´esentations vectorielles des zones de tol´erances
Par exemple, la localisation de l’axe d’un cylindre de direction Z peut ˆetre d´efini avec une zone de tol´erance cylindrique, qui aura alors pour mobilit´es cZ(P), avec P un point de l’axe du cylindre, car la zone de tol´erance sera inchang´ee si elle subit une translation de direction Z ou une rotation autour de l’axe (P,Z). Cette localisation peut ´egalement ˆetre d´efinie avec une zone de tol´erance plane de normale perpendiculaire `a l’axe du cylindre, qui aura pour mobilit´e pX par exemple, car cette zone plane sera inchang´ee si elle subit une translation perpendiculaire `a sa normale ou une rotation autour d’un axe de direction sa normale.
1.2 Mobilit´es du syst`eme de r´ef´erences
Pour obtenir les mobilit´es du syst`eme de r´ef´erences, il suffit de calculer l’intersection des mobilit´es de chacune des r´ef´erences.
En effet, pour qu’un syst`eme de r´ef´erences laisse des mouvements possibles, il faut que ces mouvements soient permis par chacune des r´ef´erences.
Par exemple, un syst`eme de r´ef´erences compos´e d’une r´ef´erence primaire plane A de normale X et d’une r´ef´erence secondaire plane B de direction Y gardera une mobilit´e en translation de direction Z. La translation en X et les rotations autour de Y et Z sont bloqu´ees par la r´ef´erence primaire, la translation en Y et la rotation autour de X sont bloqu´ees par la r´ef´erence secondaire.
En calculant les mobilit´es du syst`eme de r´ef´erence MSR= MA.MB, il vient : MA= pX = bX + rX (4.1) MB = pY = bY + rY (4.2)
MSR = (bX + rX).(bY + rY) (4.3) = bX.bY + rX.rY
= mZ + e = mZ (4.4)
On retrouve donc bien la mobilit´e du syst`eme de r´ef´erences Plan-Plan, `a savoir une unique translation dans la direction Z. Cette relation est vraie quelles que soient les directions X et Y.
2 Mobilit´es de la zone de tol´erance pour une sp´ecification
2.1 Cumul des mobilit´es de la zone de tol´erance et du syst`eme
de r´ef´erences
Les mobilit´es propres `a la zone de tol´erance sont d´etermin´ees par la figure 4.1. Ce-pendant, la zone de tol´erance peut b´en´eficier des mobilit´es suppl´ementaires laiss´ees par le syst`eme de r´ef´erences. Il est important de prendre en compte ces mobilit´es afin de ne pas cr´eer de sp´ecifications de fabrication sur-contraintes, qui pourraient entraˆıner des surcoˆuts lors de la fabrication.
La zone de tol´erance a donc pour mobilit´es le cumul des mobilit´es laiss´ees par le syst`eme de r´ef´erences, et des mobilit´es propres `a la zone de tol´erance.
En notant MZT les mobilit´es propres de la zone de tol´erance, nr le nombre de r´ef´erences du syst`eme de r´ef´erences, et Mi les mobilit´es de la r´ef´erence i, les mobilit´es de la zone de tol´erance d’une sp´ecification S1 deviennent alors :
MS1= MZT + MSR (4.5) MS1= MZT + nr Y i=1 Mi (4.6)
2.2 Cas de calcul avec des mobilit´es localis´ees
L’´equation 4.6 n’est pas applicable dans certaines situations. En effet, lorsque des mobilit´es localis´ees sont utilis´ees, des mobilit´es peuvent ne pas ˆetre ind´ependantes et donc, n’ob´eissent pas aux mˆemes lois de calcul.
Figure 4.2 – Mobilit´es de la zone de tol´erance avec des mobilit´es localis´ees
Dans l’exemple figure 4.2, l’axe de la surface cylindrique B est localis´e par rapport au cylindre A. La zone de tol´erance est une zone cylindrique d’axe (Q, Z) et on a donc MZT = cZ(Q).
Le syst`eme de r´ef´erences est compos´e d’une unique r´ef´erence A, qui est une surface cylindrique. Les mobilit´es du syst`eme de r´ef´erences sont MSR = cZ(P ). L’´equation 4.6 permettant le calcul des mobilit´es de la zone de tol´erance pour une sp´ecification nous donne alors :
MS = MZT + MSR = cZ(Q) + cZ(P ) = mZ + rZ(P + Q) (4.7) La r`egle 1 du calcul de l’union de mobilit´es donne alors pour r´esultat :
L’application de l’´equation 4.6 donne pour mobilit´es de la zone de tol´erance tous les degr´es de libert´e en translation, et un degr´e de libert´e en rotation autour d’une axe de direction Z. Ce r´esultat n’est pas coh´erent. En fait, dans cette situation, la zone cylindrique peut tourner autour de son axe (Q, Z), qui peut lui mˆeme tourner autour de l’axe (P, Z). La rotation autour de l’axe (Q, Z) est d´ependante de la rotation autour de l’axe (P, Z), ce qui empˆeche de faire l’union des mobilit´es.
La solution retenue pour contourner ce probl`eme est de ne pas tenir compte des rotations localis´ees des r´ef´erences dans le calcul des mobilit´es d’une zone de tol´erance pour un syst`eme de r´ef´erences donn´e. Ce choix se justifie car prendre en compte une telle mobilit´e n’est utile que si cette mobilit´e est pr´esente lors de la fabrication. Ce cas sera trait´e lors du calcul des mobilit´es des r´ef´erences. Ne pas tenir compte des mobilit´es localis´ees des r´ef´erences lors du calcul des mobilit´e de la zone de tol´erance revient `a transformer l’´equation 4.6 en : MS1= MZT + D( nr Y i=1 Mi) (4.9)
Cette ´equation est utilisable dans tous les cas, la d´elocalisation n’ayant aucune in-fluence sur des mobilit´es non localis´ees. Elle remplace donc l’´equation 4.6.