3.5 Rides longitudinales ` a la surface de la dune
3.5.2 Observations
Le dispositif exp´erimental et le syst`eme d’acquisition d’images utilis´es ici ont ´et´e les mˆemes que ceux utilis´es pour mesurer la forme des barkhanes, la seule diff´erence ´etant le type d’´eclairage
76 CHAPITRE 3. DYNAMIQUE DES DUNES ISOL ´EES
utilis´e. Puisque les rides longitudinales ont une petite amplitude (de l’ordre d’un diam`etre d), un ´eclairage rasant a ´et´e utilis´e pour mettre en ´evidence les crˆetes et les creux. Comme nous avons utilis´e une seule source de lumi`ere, seule une moiti´e de la dune ´etait ´eclair´e, vu le caract`ere tridimensionnel des barkhanes. La figure 3.23 montre un exemple d’image obtenue avec cet ´eclairage.
Comme pour les essais pr´ec´edents, le fluide utilis´e a ´et´e l’eau et la dune ´etait constitu´ee de billes de mat´eriaux divers, cependant, l’amplitude des rides ´etant tr`es faible, certaines billes ont ´et´e tamis´ees de fa¸con `a avoir une plage plus serr´ee de diam`etres. On a utilis´e donc des billes de verre (ρp = 2680 kg/m3) de diam`etre moyen d = 0, 53 mm (0, 500 mm 6 d 6 0, 560 mm),
d = 0, 21 mm (0, 200 mm 6 d 6 0, 224 mm) et d = 0, 11 mm (0, 100 mm 6 d 6 0, 125 mm) et des billes de zircone de diam`etre moyen d = 0, 19 mm (non tamis´ees). Le nombre de Reynolds de l’´ecoulement d’eau a ´et´e vari´e entre 16200 et 25200. Les valeurs de vitesse de frottement u∗ utilis´ees ici correspondent `a u∗w, vitesse de frottement sur la paroi inf´erieure du canal (´equation 2.2 Section 2.4).
La figure 3.25 pr´esente de fa¸con concise les r´esultats des essais. Les graphiques sont des Fonctions de Densit´e de Probabilit´e (Probability Density Function, PDF) des longueurs non- dimensionnelles des rides λ+Rmesur´ees sur les dunes, toutes les conditions exp´erimentales confon- dues.
Afin de comparer la longueur d’onde des rides avec celle des stries et v´erifier si elles sont corr´el´ees, il est n´ecessaire de connaˆıtre la hauteur caract´eristique de formation des rides, puisque la longueur d’onde des stries varie avec la distance `a la paroi. On consid`ere ici que cette hauteur caract´eristique est de l’ordre du diam`etre des grains, vu que les amplitudes des rides longitudi- nales sont de cet ordre. En divisant par la longueur visqueuse, on a d+ = du∗w
ν = Re∗, et donc :
Billes de verre de diam`etre d = 0, 53 mm : 9, 7 < d+ < 13, 3 Billes de verre de diam`etre d = 0, 21 mm : 3, 2 < d+ < 5, 3
Billes de verre de diam`etre d = 0, 11 mm : 1, 7 < d+ < 2, 9 Billes de zircone de diam`etre d = 0, 19 mm : 3, 5 < d+ < 5, 4
La figure 3.25 nous montre que :
– pour d+ < 5, les pics des fonctions densit´e de probabilit´e sont autour de λ+R = 100 ; – pour d+ ∼ 5, quelques pics sont autour de λ+R = 100, tandis que d’autres sont autour de
λ+ = 150 ;
– pour d+ > 5 les pics sont autour de 120 < λ+R < 260.
Il semble donc exister une forte corr´elation entre les longueurs d’onde des rides longitudinales et celles des stries form´ees `a partir de la sous-couche visqueuse de l’´ecoulement turbulent, vu que λ+R ∼ λ+ ∼ 100 pour y+ < 5 et λ+
R ∼ λ+ ∼ 200 pour y+ > 5.
Bas´e sur ces r´esultats, nous proposons ici que les rides longitudinales sont form´ees `a partir des tourbillons longitudinaux originaires de la sous-couche visqueuse (streaks), quand ceux-ci
3.6. VITESSE DE D ´EPLACEMENT 77 0 100 200 0 0.2 0.4 0.6 0.8 λ+ 0 100 200 0 0.05 0.1 0.15 0.2 λ+ 0 100 200 300 0 0.2 0.4 0.6 0.8 λ+ 0 100 200 0 0.1 0.2 0.3 0.4 λ+
Fig.3.25 – Fonctions de Densit´e de Probabilit´e des longueurs non-dimensionnelles des rides λ+
R.
Du haut vers le bas et de la gauche vers la droite, ils correspondent `a des billes de verre de diam`etres d = 0, 11 mm, d = 0, 21 mm, d = 0, 53 mm et `a des billes de zircone de diam`etre d = 0, 19 mm, respectivement. Re = 16200 (◦), Re = 18500 (), Re = 20800 (∗), Re = 23100 (+) et Re = 25200 (⊳).
sont capables de transporter lat´eralement des mat´eriaux granulaires. Cette proposition, `a la diff´erence de celle d’une instabilit´e du type G¨ortler, permet aussi de justifier la pr´esence des rides au le bord d’attaque des dunes.
3.6
Vitesse de d´eplacement
Des barkhanes isol´ees ont ´et´e suivies par le dispositif cam´era/miroir/rail et leur vitesse moyenne calcul´ee comme le d´eplacement du front de la barkhane entre deux images divis´e par l’intervalle de temps qui les s´epare. L’intervalle de temps utilis´e correspondait toujours `a un d´eplacement de la dune de l’ordre d’une ou deux fois sa longueur, ce qui ´etait suffisamment court pour ´eviter une variation importante de la taille de la barkhane entre deux images et suffisamment long pour limiter les fluctuations (et d’incertitudes) dans le calcul de la vitesse moyenne.
La figure 3.26 pr´esente, en ´echelle logarithmique, la vitesse de d´eplacement des dunes V en fonction de leur longueur L. On observe sur cette figure, pour chaque symbole, des groupes (paquets) de donn´ees. De fa¸con g´en´erale, chaque paquet correspond `a un, deux ou trois essais diff´erents : une dune isol´ee, form´ee `a partir d’un tas initial, qui a ´et´e suivie.
78 CHAPITRE 3. DYNAMIQUE DES DUNES ISOL ´EES
10
100
0.01
0.1
1
10
L (mm)
V
(mm/s)
10
100
0.01
0.1
1
10
L (mm)
V
(mm/s)
10
100
0.01
0.1
1
10
L (mm)
V
(mm/s)
10
100
0.01
0.1
1
10
L (mm)
V
(mm/s)
Fig. 3.26 – Vitesse de d´eplacement des dunes V en fonction de leur longueur L. De la gauche vers la droite et du haut vers le bas : des billes de verre de diam`etre moyen d = 0, 12 mm, d = 0, 20 mm et d = 0, 50 mm et des billes de zircone de diam`etre moyen d = 0, 19 mm. Re = 13900 (♦), Re = 16200 (◦), Re = 17400(×), Re = 18500 (), Re = 19700 (△), Re = 20800 (∗) et Re = 23100 (+).
3.6. VITESSE DE D ´EPLACEMENT 79 10−1.8 10−1.7 10−2 10−1 100 101 u *w (m/s) V 40 (mm/s)
Fig. 3.27 – Vitesse de d´eplacement des dunes V40 en fonction de la vitesse de frottement `a la paroi inf´erieure du canal u∗w. Les ♦, ◦, et ∗ correspondent `a des billes de verre de diam`etre moyen d = 0, 12 mm, d = 0, 20 mm et d = 0, 50 mm et `a des billes de zircone de diam`etre moyen d = 0, 19 mm, respectivement.
Le nombre de Shields θw peut ˆetre calcul´e par l’´equation 1.18 avec τ = τw = ρu2∗w, o`u
la vitesse de frottement u∗w est donn´ee par les ´equations 2.1 et 2.2. On peut remarquer que, pour θw fix´e (chaque ensemble de symboles de chaque graphique), les points, ainsi comme les
paquets, sont bien align´es. Cet alignement des paquets nous donne une bonne indication de la r´ep´etitivit´e des essais. L’alignement des donn´ees nous indique aussi une d´ependance de V par rapport `a L selon une loi de puissance. L’inclinaison de ces lignes ´etant ´egale `a L−1 (ligne en
trait continu sur la figure), la vitesse de d´eplacement des dunes est proportionnelle `a l’inverse de leur taille. Cela est v´erifi´e pour les quatre types de grains utilis´es ainsi que pour les diff´erents ´ecoulements d’eau impos´es. On retrouve des r´esultats obtenus pour des dunes ´eoliennes et pour de dunes aquatiques dans une configuration diff´erente de la nˆotre (Section 3.1) :
V ∼ L1 (3.20)
N´eanmoins, ici, diff´eremment des tous les autres travaux, l’´ecoulement de la phase liquide ´etait parfaitement maˆıtris´e et connu. Encore, cet ´ecoulement a ´et´e trait´e comme un param`etre de l’´etude et a ´et´e vari´e. Cette variation du d´ebit d’eau nous permet d’observer sur la figure 3.26 une forte variation de V avec u∗w : pour un mˆeme type de grain, la vitesse de d´eplacement des dunes varie sur 2 ou 3 ordres de grandeur au augmenter u∗w de 57 %.
La figure 3.27 pr´esente, pour des barkhanes de longueur L = 40 mm, leur vitesse de d´eplacement V40en fonction de de la vitesse de frottement `a la paroi inf´erieure du canal u∗w, en
80 CHAPITRE 3. DYNAMIQUE DES DUNES ISOL ´EES
`
a des dunes d’une mˆeme longueur L, il nous a fallu ajuster les points exp´erimentaux. Ainsi, pour chaque grain et chaque d´ebit, une courbe V = cL−1 a ´et´e trouv´ee (correspondant aux droites
de la figure 3.26), o`u c est une constante et o`u, pour la figure 3.27, L = 40 mm. On observe que l’alignement des points est l´eg`erement courb´e, et donc la vitesse V40 ne semble pas suivre une
loi de puissance de la vitesse de frottement u∗w.
D’apr`es l’´equation 3.1, la vitesse de d´eplacement V40 doit faire ´echelle avec le d´ebit de grains
transport´es par charriage. Ce d´ebit, en tenant compte des mod`eles pr´esent´es au Chapitre 1, fait intervenir la vitesse de frottement de l’´ecoulement. N´eanmoins, le d´ebit de grains `a ˆetre utilis´e doit ˆetre celui sur la dune, proche `a la crˆete, ce qui fait intervenir la vitesse de frottement `a la surface de la dune u∗, et pas u∗w. En plus, ces lois font aussi intervenir la vitesse de frottement seuil u∗t (`a la surface de la dune), qui ne peut pas ˆetre n´eglig´ee dans un ´ecoulement proche au seuil de mise en mouvement de grains.
Cependant, `a ce stade, nous pouvons v´erifier si la vitesse de d´eplacement des dunes fait ´echelle avec l’´ecart entre le frottement appliqu´e et le frottement seuil `a la parois inf´erieure du canal. Cela veut dire que, pour les mˆemes conditions de l’´ecoulement d’eau, nous consid´erons le d´ebit de grains transport´e par charriage `a la paroi inf´erieure du canal comme ´etant directe- ment proportionnel `a celui sur la dune. Ainsi, sur la figure 3.28, nous pr´esentons, la vitesse de d´eplacement des dunes V40 en fonction de l’´ecart de la vitesse de frottement u∗w par rapport `a
la vitesse de frottement seuil pour la mise en mouvement des grains u∗tw.
Dans la Section 3.3, nous avons estim´e, bas´es sur des mesures exp´erimentales et sur la corr´elation empirique de Soulsby et Whitehouse (1997), que le rapport u∗t/u∗tw ≈ 1, 3. Si pour les diff´erents seuils mesur´es il existe un rapport u∗t/u∗tw constant, il est raisonnable d’admettre que :
u∗
u∗w ≈ 1, 3 (3.21)
La vitesse de frottement seuil u∗tw a ´et´e calcul´e `a partir de θtw = 0, 0175 pour des billes
de verre de d = 0, 50 mm et de θtw = 0, 0219 pour des billes de verre de d = 0, 12 mm,
d = 0, 20 mm et des billes de zircone de d = 0, 19 mm. Le nombre de Shields seuil pour la mise en mouvement d’un grain θtw correspond ici au seuil de mise en mouvement d’un grain
plac´e sur la paroi du canal, puisqu’on utilise la vitesse de frottement sur la paroi. Des essais pour d´eterminer ce seuil de mise en mouvement sur la paroi du canal ont ´et´e r´ealis´es, mais la grande dispersion des donn´ees ne permet pas d’exploiter (directement) les r´esultats. Ainsi, les valeurs de θth utilis´ees ici ont ´et´e d´etermin´ees de fa¸con indirecte. Pour cela, nous avons suppos´e
que l’´ecart u∗w − u∗tw sur la paroi du canal est proportionnel `a celui sur la dune, de fa¸con que, la vitesse de d´eplacement des dunes variant comme V40 ∼ qb, les points exp´erimentaux doivent
d´ecrire des droites sur la figure 3.28. Donc, les valeurs de θtwont ´et´e cherch´ees de fa¸con `a aligner
les points exp´erimentaux selon une fonction exponentielle : on trouve alors la mˆeme valeur de θtw pour tous les types de billes, sauf pour les billes de verre de d = 0, 50 mm. Ces billes ayant
3.6. VITESSE DE D ´EPLACEMENT 81 10−3 10−2 10−1 10−2 10−1 100 101 u *w − u*tw (m/s) V 40 (mm/s)
Fig.3.28 – Vitesse de d´eplacement des dunes V40en fonction de l’´ecart de la vitesse de frottement u∗w par rapport `a la vitesse de frottement seuil pour la mise en mouvement des grains u∗tw. Les ♦, ◦, et ∗ correspondent `a des billes de verre de diam`etre moyen d = 0, 12 mm, d = 0, 20 mm et d = 0, 50 mm et `a des billes de zircone de diam`etre moyen d = 0, 19 mm, respectivement.
6 < Re∗ < 11 (pendant que les autres billes ont 1 < Re∗ < 5) il est normal qu’elles poss`edent une valeur de θtw plus petite. En plus, les valeurs de θtw ainsi trouv´ees sont du mˆeme ordre des
valeurs mesur´ees exp´erimentalement (elles sont dans la plage de dispersion des essais).
Avec le valeurs de θtwainsi ajust´ees, les donn´ees exp´erimentales s’alignent selon des fonctions
exponentielles, mais les valeurs de θtw utilis´ees ici produisent des droites sur la figure 3.28 qui
n’ont pas la mˆeme inclinaison : V40 ∼ (u∗ − u∗th)a, a ´etant ´egal `a 4, 3, 4, 2 , 3, 3 et 3, 6 pour des
billes de verre de diam`etre moyen d = 0, 12 mm, d = 0, 20 mm et d = 0, 50 mm et des billes de zircone de diam`etre moyen d = 0, 19 mm, respectivement. En utilisant une loi de transport du type Meyer-Peter et Mueller (1948) et l’´equation 3.21, des valeurs de a diff´erents signifient que la valeur du d´ebit ne d´ependrait pas juste de θ, mais aussi d’un deuxi`eme nombre sans dimension.
Des lois de transport par charriage du type Meyer-Peter et Mueller (1948) (´equation 1.31), Shields (1936) (´equation 1.30) ou Bagnold (1956) (´equation 1.35) font intervenir un seul nombre sans dimension, θ, rapport entre les forces motrices et de r´esistance. N´eanmoins, nous pensons qu’un autre nombre sans dimension doit intervenir dans la d´etermination du d´ebit par charriage : Re∗ = u∗d
ν , puisque la mobilit´e des grains d´epend fortement de l’´ecoulement qui l’entoure. Nous
proposons de r´e´ecrire une loi du type exc`es de cisaillement comme :
qtop
p(S − 1)gd3 = B f (Re∗)(θ − θt)
82 CHAPITRE 3. DYNAMIQUE DES DUNES ISOL ´EES 10−3 10−2 10−1 100 101 102 103 104 105 (θ − θ t) V 40 (L/d) / ((S−1)gd) 1/2
Fig. 3.29 – Vitesse de d´eplacement des dunes Vad en fonction de θ − θt, f (Re
∗) = cste. Les♦,
◦, et ∗ correspondent `a des billes de verre de diam`etre moyen d = 0, 12 mm, d = 0, 20 mm et d = 0, 50 mm et `a des billes de zircone de diam`etre moyen d = 0, 19 mm, respectivement.
o`u f (Re∗) est une fonction de Re∗ et B et b sont des constantes. En utilisant la loi 3.1 pour la vitesse de d´eplacement de la dune, et en supposant de plus que L et H sont proportionnels, nous pouvons ´ecrire :
Vad = V
L
φf (Re∗)p(S − 1)gd3 = B (θ − θt)
b (3.23)
Pour confronter l’´equation 3.23 aux donn´ees exp´erimentales, nous avons besoin de connaˆıtre la fonction f (Re∗) (`a noter que nous consid´erons que la valeur de φ est approximativement constante). Nous pouvons tester des formes diff´erentes, de fa¸con `a : 1) v´erifier l’influence de f (Re∗) sur les lois d’´echelle des vitesses de d´eplacement V40; 2) trouver la forme de f (Re∗)
par un ajustement des nos donn´ees exp´erimentales. Les formes les plus simples `a ˆetre essay´ees sont les lois de puissance. Puisque nous avons 1 < Re∗ < 11, des fonctions f (Re∗) = Re∗ ou f (Re∗) = Re2
∗ nous semblent raisonnables, de fa¸con `a ne pas trop nous ´ecarter du coefficient
f (Re∗) = 8 de Meyer-Peter et Mueller (1948) (´equation 1.31).
Nous avons donc trac´e Vad pour L = 40 mm en fonction de (θ − θt), en utilisant f (Re∗) ´egal
`
a une constante (´equation 1.31), f (Re∗) = Re∗ et f (Re∗) = Re2∗, pr´esent´es sur les figures 3.29, 3.30 et 3.31, respectivement.
Sur la figure 3.31, toutes les donn´ees ont collaps´ee et semblent suivre une courbe maˆıtresse (le mˆeme n’est pas observ´e sur les figures 3.29 et 3.30). Par des r´egressions lin´eaires, les valeurs de b trouv´ees pour chaque type de grain sont : 3, 0, 3, 1, 2, 8 et 3, 0, pour des billes de verre de diam`etre moyen d = 0, 12 mm, d = 0, 20 mm et d = 0, 50 mm et des billes de zircone de diam`etre moyen d = 0, 19 mm, respectivement. L’exposant b a ainsi une valeur remarquablement
3.6. VITESSE DE D ´EPLACEMENT 83 10−3 10−2 10−1 100 100 101 102 103 104 (θ − θ t) V 40 (L/d) / Re * ((S−1)gd) 1/2
Fig. 3.30 – Vitesse de d´eplacement des dunes Vad en fonction de θ − θt, f (Re∗) = Re∗. Les ♦, ◦, et ∗ correspondent `a des billes de verre de diam`etre moyen d = 0, 12 mm, d = 0, 20 mm et d = 0, 50 mm et `a des billes de zircone de diam`etre moyen d = 0, 19 mm, respectivement.
10−3 10−2 10−1 100 10−1 100 101 102 103 104 (θ − θ t) V 40 (L/d) (1/ Re * 2 ((S−1)gd) 1/2 )
Fig.3.31 – Vitesse de d´eplacement des dunes Vad en fonction de θ − θt, f (Re∗) = Re2
∗. Les ♦, ◦,
et ∗ correspondent `a des billes de verre de diam`etre moyen d = 0, 12 mm, d = 0, 20 mm et d = 0, 50 mm et `a des billes de zircone de diam`etre moyen d = 0, 19 mm, respectivement. Un ajustement de cette courbe nous donne b ≈ 3, 0 et B ≈ 12.
84 CHAPITRE 3. DYNAMIQUE DES DUNES ISOL ´EES
constante, mais diff`ere de celles des lois de Meyer-Peter et Mueller (1948) (´equation 1.31) et de Bagnold (1956) (´equation 1.35) d’un facteur 2. La fonction f (Re∗) = Re2
∗´etant celle qui s’ajuste
mieux `a nos donn´ees exp´erimentales, nous proposons, par une r´egression lin´eaire des toutes les donn´ees confondues, des valeurs b ≈ 3, 0 et B ≈ 12. D’autres tentatives de regroupement ont ´et´e essay´ees, mais elles ne sont pas meilleures que celles de la figure 3.31.
Nous avons donc, en admettant que le d´ebit de grains transport´es par charriage doit faire ´echelle avec deux param`etres, θ et Re∗, mis en ´evidence la d´ependance de la vitesse de d´eplacement des dunes V avec le d´ebit de grains transport´es par charriage qb. Ceci n’a pas ´et´e v´erifi´e dans les
travaux pr´ec´edents (Section 3.1), o`u l’´ecoulement du fluide, `a l’inverse de nos essais, n’´etait pas parfaitement maˆıtris´e. En plus, les diff´erentes conditions de l’´ecoulement n’´etant pas prises en compte dans certains de ces travaux, la v´erification exp´erimentale mˆeme de V ∼ L1 est beaucoup
plus dispers´ee qu’ici. Ainsi, nous mettons en ´evidence l’´equation 3.1 :
V = qtop φH
et nous proposons une loi d’´echelle pour le d´ebit de grains transport´es par charriage `a la crˆete d’une dune : qtop p(S − 1)gd3 = 12 Re 2 ∗(θ − θt) 3 (3.24)