AU NIVEAU DES P-MODULES QUASI-LIBRES

(1) Un tel morphisme pr´eserve la filtration F_s et donc donne naissance `a un morphisme de suites spectrales

E^∗(Φ) : E^∗(L)→E^∗(L⁰).

(2) Soit Φ :¯ M →M⁰ le morphisme de dg-S-bimodules induit par Φ. Si de plus, les deux prop´erades P et P⁰ sont gradu´ees par un poids, on a alors que le morphisme E⁰(Φ) : M^cP →M^0cP⁰ vaut E⁰= ¯Φ^cΨ.

D´emonstration.

(1) Soit (m₁, . . . , m_b)σ(p₁, . . . , p_a) un ´el´ement deF_s(McP), c’est-`a-dire que|d|¯+|¯α| ≤s.

Comme Φ est un morphisme deP-modules, on a Φ (m₁, . . . , m_b)σ(p₁, . . . , p_a)

= Φ◦λ (m₁, . . . , m_b)σ(p₁, . . . , p_a)

= λ⁰ (Φ(m₁), . . . ,Φ(m_b))σ(Ψ(p₁), . . . ,Ψ(p_a))

. Si on pose

Φ(m_i) = (mⁱ₁, . . . , mⁱ_b

i)σⁱ(pⁱ₁, . . . , pⁱ_a

i),

comme Φ est un morphisme de dg-S-bimodules, on a d_i = |d¯ⁱ|+|e¯ⁱ|, d’o`u |d¯ⁱ| ≤ d_i et doncP

i|d¯ⁱ| ≤ |d|. Et comme Φ est un morphisme de modules quasi-libres anlaytiques,¯ il pr´eserve, par d´efinition, la graduation en ( ¯α), d’o`u P

i|α¯ⁱ| ≤ |¯α|. Ainsi, on a Φ (m1, . . . , mb)σ(p1, . . . , pa)

∈Fs(L⁰).

(2) L’application E_{s, t}⁰ (Φ) correspond au passage au quotient suivant E_{s, t}⁰ : Fs(Ls+t)/F_s−1(Ls+t)→Fs(L⁰_s+t)/F_s−1(L⁰_s+t).

Soit (m1, . . . , mb)σ(p1, . . . , pa) un ´el´ement de E_{s, t}⁰ , c’est-`a-dire que |¯α|=r≤s, |d|¯ = s−ret |¯e|=t+r. On a donc

E_{s, t}⁰ (Φ) (m1, . . . , mb)σ(p1, . . . , pa)

= 0 si et seulement si Φ (m1, . . . , mb)σ(p1, . . . , pa)

∈Fs−1(L⁰). Or, nous avons vu pr´ec´ e-demment que

Φ (m1, . . . , mb)σ(p1, . . . , pa)

=λ⁰ (Φ(m1), . . . ,Φ(mb))σ(Ψ(p1), . . . ,Ψ(pa)) . Ainsi, Φ (m₁, . . . , m_b)σ(p₁, . . . , p_a)

appartient `a F_s(L⁰_s+t)\F_s−1(L⁰_s+t) si et seulement si Φ(m_i) =m_i= ¯Φ(m_i). En effet, si on a Φ(m_i) = (mⁱ₁, . . . , mⁱ_b

i)σⁱ(pⁱ₁, . . . , pⁱ_a

i) avec au moins unpⁱ_j n’appartenant pas `a I. Alors, par la d´efinition de prop´erade gradu´ee par un poids, le degr´e pour la graduation par le poids depⁱ_jest au moins de 1 et par conservation globale de cette graduation par Φ, on a|α¯ⁱ|< αⁱ. Ainsi, le morphismeE⁰(Φ) correspond

bien `a ¯ΦcP.

Th´eor`eme119 (Lemme de comparaison des modules quasi-libres analytiques). SoitΨ : P → P<sup>0</sup> un morphisme de prop´erades diff´erentielles gradu´ees par un poids augment´ees et soient(L, λ) et (L<sup>0</sup>, λ<sup>0</sup>) deux modules quasi-libres analytiques sur P et P<sup>0</sup>. Posons L¯ =M et L¯<sup>0</sup> =M<sup>0</sup> les quo-tients ind´ecomposables respectifs, c’est-`a-direL=M^cP etL⁰=M^0cP⁰. Soit Φ : L→L⁰ un morphisme de P-modules analytiques, o`u la structure de P-module sur L⁰ est celle donn´ee par le foncteur de restrictionΨ^!. PosonsΦ :¯ M →M⁰ le morphisme de dg-S-bimodules induit parΦ.

Si deux des trois morphismes suivants







Ψ : P → P⁰, Φ :¯ M →M⁰, Φ : L→L⁰,

sont des quasi-isomorphismes, alors le troisi`eme est aussi un quasi-isomorphisme.

Remarque : Si les prop´erades ne sont pas gradu´ees par un poids et si Φ = ¯Φ^c Ψ, lorsque Φ et Ψ sont des quasi-isomorphismes, Φ est aussi un quasi-isomorphisme. La d´¯ emonstration est rapide. On a imm´editatementE⁰(Φ) = ¯Φ^cΨ. Comme ¯Φ et Ψ sont des quasi-isomorphismes, on obtient queE²(Φ) est un isomorphisme par la proposition 117 (d⁰=δP etd¹=δM). Et toujours

81

CHAPITRE 5. LEMMES DE COMPARAISON

grˆace `a cette proposition, la convergence naturelle de la suite spectrale E^∗ donne que Φ est un quasi-isomorphisme entreLetL⁰.

D´emonstration.

(1) On suppose ici que Ψ : P → P⁰ et ¯Φ : M → M⁰ sont des quasi-isomorphismes. En appliquant le lemme pr´ec´edent, on sait que Φ induit un morphisme de suites spectrales E^∗(Φ) : E^∗(L)→E^∗(L⁰) et surtout queE⁰(Φ) = ¯Φ^cΨ, on en conclut alors le r´esultat de la mˆeme mani`ere.

(2) On suppose maintenant que Ψ : P → P⁰ et Φ : L→L⁰ sont des quasi-isomorphismes.

Nous avons vu pr´ec´edemment que la suite spectrale E_{s, t}^∗ pr´eservait la d´ecomposition L^(ρ). De plus, on a

Supposons maintenant que le r´esultat soit vrai pourr < ρet tous les indices∗ ainsi que pour r = ρ et pour les indices ∗ < d, et montrons le pour ∗ = d.(Comme tous les complexes de chaˆınes sont ici nuls en degr´e strictement n´egatif, on a toujours que H_s( ¯Φ^(ρ)) est un isomorphisme pours <0). est un isomorphisme pours < d+ρ. Montrons que

E_d+ρ,² _−ρ(Φ^(ρ)) : E_d+ρ,² _−ρ(L^(ρ))→E²_d+ρ,−ρ(L^0(ρ))

est encore un isomorphisme. Pour cela, on introduit le cˆone associ´e au morphisme Φ^(ρ): cˆone(Φ^(ρ)) = Σ⁻¹L^(ρ)⊕L^0(ρ). Sur ce cˆone, on d´efinit la filtration

F_s(cˆone(Φ^(ρ))) =F_s−1(Σ⁻¹L^(ρ))⊕F_s(L^0(ρ)).

Cette filtration induit une suite spectrale qui v´erifie E_{∗, t}¹ (cˆone(Φ^(ρ))) = cˆone(E_{∗, t}¹ (Φ^(ρ))).

1. AU NIVEAU DES P-MODULES QUASI-LIBRES

Cependant, le cˆone deE_{∗, t}¹ (Φ^(ρ)) induit une suite exacte longue

· · · //Hs+1 cˆone(E_{∗, t}¹ (Φ^(ρ))) //Hs E¹_{∗, t}(L^(ρ)) ^{Hs E}

1

∗, t(Φ^(ρ))

//

H_s E_{∗, t}¹ (L^0(ρ)) //H_s cˆone(E_{∗, t}¹ (Φ^(ρ))) //H_s−1 E¹_{∗, t}(L^(ρ)) //· · ·, ce qui donne finalement le suite exacte longue (ξ) suivante :

· · · //E_{s+1, t}² (cˆone(Φ^(ρ))) //E_{s, t}² (L^(ρ))

E_{s, t}² (Φ^(ρ))

//E²_{s, t}(L^0(ρ))

//E²_{s, t}(cˆone(Φ^(ρ))) //E²_{s−1, t}(L^(ρ)) //· · · Nous avons vu pr´ec´edemment que pour toutt <−ρ,

E_{s, t}² (L^(ρ)) =E_{s, t}² (L^0(ρ)) = 0.

La suite exacte longue (ξ) montre alors que E_{s, t}² (cˆone(Φ^(ρ))) = 0 pour tout s, lorsque t <−ρ.

De la mˆeme mani`ere, nous avons vu que E<sub>s, t</sub><sup>2</sup> (Φ<sup>(ρ)</sup>) ´etait un isomorphisme pour s < d+ρ. Grˆace `a la suite exacte longue (ξ), on obtient que E_{s, t}² (cˆone(Φ^(ρ))) = 0 pour toutt, lorsques < d+ρ.

Ces deux r´esultats permettent de conclure que

E_d+ρ,² _−ρ(cˆone(Φ^(ρ))) =E_d+ρ,^∞ _−ρ(cˆone(Φ^(ρ))), E_d+ρ+1,−ρ² (cˆone(Φ^(ρ))) =E_d+ρ+1,−ρ^∞ (cˆone(Φ^(ρ))).

Comme la filtrationFsdu cˆone de Φ^(ρ) est born´ee inf´erieurement et exhaustive, on sait que la suite spectraleE^∗_{s, t}(cˆone(Φ^(ρ))) converge vers l’homologie de ce cˆone. Comme Φ^(ρ)est un quasi-isomorphisme, cette homologie est nulle, d’o`u les ´egalit´es suivantes :

E_d+ρ,−ρ² (cˆone(Φ^(ρ))) =E_d+ρ,^∞ _−ρ(cˆone(Φ^(ρ))) = 0, E_d+ρ+1,² _−ρ(cˆone(Φ^(ρ))) =E_d+ρ+1,−ρ^∞ (cˆone(Φ^(ρ))) = 0.

En r´einjectant ces ´egalit´es dans la suite exacte longue (ξ), on a que E_d+ρ,−ρ² (Φ^(ρ)) est un isomorphisme.

On conclut en utilisant le fait queE²_d+ρ,−ρ(L^(ρ)) =H_d(M^(ρ)) et queE_d+ρ,² _−ρ(L^0(ρ)) = H_d(M^0(ρ)). Ainsi, E²_d+ρ,−ρ(Φ^(ρ)) correspond `a H_d Φ¯^(ρ)

: H_d(M^(ρ)) →H_d(M^0(ρ)) qui est donc un isomorphisme. Ce qui conclut la r´ecurrence et montre que ¯Φ est un quasi-isomorphisme.

(3) Supposons que Φ : L → L⁰ et ¯Φ : M → M⁰ sont des quasi-isomorphismes. Nous utilisons essentiellement les mˆemes id´ees que pr´ec´edemment. Comme M⁽⁰⁾ =I, on tire de la relation

E_{s, t}² (L^(ρ)) =M

Ξ

min(s, ρ)

M

r=max(0,−t)

I_{s−r, t+r}² M

χ

M_d^{( ¯}_¯^α)(¯l,k)¯ ⊗_Sk¯k[S^c¯k,¯]⊗_S¯P_e¯^{( ¯β)}(¯,¯ı)

! ,

o`u la deuxi`eme somme directe χporte sur|α|¯ =r,|β¯|=ρ−r, |d|¯ =s−ret |¯e|=t+r, que pours= 0

E_{0, t}² (L^(ρ)) =I_{0, t}² (P_t^(ρ)) =H_t(P^(ρ)).

On a imm´ediatement que

E_{s, t}² (L^(ρ)) = 0, lorsques <0.

On montre ensuite, par r´ecurrence sur l’entierρ, que les morphismes Ψ^(ρ) : P^(ρ)→ P^0(ρ)sont des quasi-isomorphismes.

83

CHAPITRE 5. LEMMES DE COMPARAISON

On fonde la r´ecurrence en remarquant que la d´efinition de P, P⁰ gradu´ees par un poids imposeP⁽⁰⁾ =P⁰⁽⁰⁾ =I, d’o`u Ψ⁽⁰⁾=id_I e st un quasi-isomorphisme.

Supposons maintenant que le r´esultat soit vrai pour tout r < ρ. Et on montre par r´ecurrence sur l’entiertque

H_t(Ψ^(ρ)) : H_t(P^(ρ))→H_t(P^0(ρ))

est un isomorphisme. On sait que c’est trivialement vrai pour t < 0. On suppose que c’est encore vrai pourt < e. Par le lemme pr´ec´edent, on a

E_{s, t}² (Φ^(ρ)) =

min(s, ρ)

M

r=0

I_{s−r, t+r}²





 M

|¯α|=r

|β|=ρ−r¯

Φ¯^{( ¯α)c}Ψ^{( ¯β)}





.

Avec les hypoth`eses de r´ecurrence, on obtient queE_{s, t}² (Φ^(ρ)) : E_{s, t}² (L^(ρ))→E_{s, t}² (L^0(ρ)) est un isomorphisme pour tout s, lorsque t < e. En injectant ceci dans la suite exacte longue (ξ), on montre queE_{s, t}² (cˆone(Φ^(ρ))) = 0 pour touts, lorsquet < e.

La forme de la filtration Fs(cˆone(Φ^(ρ))) =Fs−1( Σ⁻¹L^(ρ))⊕Fs(L^0(ρ)) joint au fait queF₋₁(L^(ρ)) = 0 montrent queE²_{s, t}(cˆone(Φ^(ρ))) = 0 pours <0.

Ces deux r´esultats, plus la convergence de la suite spectrale E^∗_{s, t}(cˆone(Φ^(ρ))) vers l’homologie nulle du cˆone de Φ^(ρ), permettent de conclure que

E_{0, e}² (cˆone(Φ^(ρ))) =E_{0, e}^∞(cˆone(Φ^(ρ))) = 0 E_{1, e}² (cˆone(Φ^(ρ))) =E_{1, e}^∞(cˆone(Φ^(ρ))) = 0.

En r´einjectant ces deux ´egalit´es dans la suite exacte longue (ξ), on obtient que le morphisme

E_{0, e}² (L^(ρ)) ^E

2 0, e(Φ^(ρ))

//E²_{0, e}(L^0(ρ))

est un isomorphisme. On conclut en rappelant queE_{0, e}² (L^(ρ)) =He(P^(ρ)),E_{0, e}² (L^0(ρ)) =

H_e(P^0(ρ)) et queE_{0, e}² (Φ^(ρ)) =H_e(Ψ^(ρ)).

En utilisant les mˆemes arguments, on d´emontre le mˆeme type de lemme dans le cadre des PROPs.

Th´eor`eme 120 (Lemme de comparaison des modules quasi-libres analytiques sur des PROPs). SoitΨ : P → P<sup>0</sup> un morphisme de PROPs diff´erentiels augment´es gradu´es par un poids et soient (L, λ)et(L<sup>0</sup>, λ<sup>0</sup>)deux modules quasi-libres analytiques surP etP<sup>0</sup>. PosonsL¯=M etL¯<sup>0</sup>=M<sup>0</sup> les quotients ind´ecomposables respectifs. Soit Φ : L →L<sup>0</sup> un morphisme de P-modules analytiques, o`u la structure de P-module sur L⁰ est celle donn´ee par le foncteur de restriction Ψ^!. Posons Φ :¯ M →M⁰ le morphisme de dg-S-bimodules induit parΦ.

Si deux des trois morphismes suivants







Ψ : P → P⁰, Φ :¯ M →M⁰, Φ : L→L⁰,

sont des quasi-isomorphismes, alors le troisi`eme est aussi un quasi-isomorphisme.

D´emonstration. On applique les mˆemes arguments que pr´ec´edemment `a la filtration Fs(L) =M

Ξ

M

|d|+|¯¯ α|≤s

M_d^{( ¯}_¯^α)(¯l,¯k)⊗_S¯kk[SN]⊗_S¯P¯e(¯,¯ı),

o`u la somme directe (Ξ) porte sur les entiersm, netNet sur les uplets ¯l,¯k,¯,¯ı. La seule diff´erence intervient lorsque l’on consid`ere des expressions de la formeMP⁽⁰⁾=MI=S_⊗(M) au lieu de M ^cI =M. C’est par exemple le cas dans la partie 2 de la d´emonstration pr´ec´edente. On conclut de la mˆeme mani`ere, en faisant une r´ecurrence sur le poids de M, car les ´el´ements de S<sub>⊗</sub>(M)<sup>(ρ)</sup>sont des sommes de produits tensoriels d’´el´ements de poids inf´erieur ou ´egal `a ρ.

1. AU NIVEAU DES P-MODULES QUASI-LIBRES

1.3. Lemme de comparaison des C-comodules quasi-colibres analytiques. On peut d´emontrer le mˆeme type de r´esultat pour des comodules quasi-colibres analytiques. Soit C une coprop´erade diff´erentielle gradu´ee par un poids et soit L=M cC un C-comodule quasi-colibre analytique `a droite, o`u M = Υ(V). Sur ce complexe on d´efinit la graduation

F_s⁰(L) =M

(Ξ)

M

|¯e|+|β|≤s¯

Md¯(¯l,¯k)⊗_Sk¯k[S^c¯k,¯]⊗_S¯C_¯e^{( ¯β)}(¯,¯ı),

o`u la somme directe (Ξ) porte sur les entiers m, net N et sur les uplets ¯l, ¯k, ¯, ¯ı, ¯d, ¯eet ¯β tels que|¯e|+|β¯| ≤s.

En appliquant les mˆemes arguments que pr´ec´edemment `a la filtrationF<sub>s</sub><sup>0</sup>, on obtient le th´eor`eme suivant :

Th´eor`eme121 (Lemme de comparaison des comodules quasi-colibres analytiques). SoitΨ : C → C<sup>0</sup> un morphisme de coprop´erades diff´erentielles coaugment´ees gradu´ees par un poids et soient (L, λ)et(L<sup>0</sup>, λ<sup>0</sup>)deux comodules quasi-colibres analytiques surCetC<sup>0</sup>. PosonsL¯ =M etL¯<sup>0</sup>=M<sup>0</sup> les quotients ind´ecomposables respectifs. Soit Φ : L → L<sup>0</sup> un morphisme de C-comodules analy-tiques, o`u la structure de C-comodule sur L⁰ est celle donn´ee par le foncteur de restriction Ψ^!. PosonsΦ :¯ M →M⁰ le morphisme de dg-S-bimodules induit par Φ.

Si deux des trois morphismes suivants







Ψ : C → C⁰, Φ :¯ M →M,⁰ Φ : L→L⁰,

sont des quasi-isomorphismes, alors le troisi`eme est aussi un quasi-isomorphisme.

De la mˆeme mani`ere, on a une version PROPique de ce th´eor`eme.

Th´eor`eme 122 (Lemme de comparaison des comodules quasi-colibres analytiques sur des co-PROPs). SoitΨ : C → C<sup>0</sup> un morphisme de coPROPs diff´erentiels coaugment´es gradu´es par un poids et soient (L, λ) et (L<sup>0</sup>, λ<sup>0</sup>) deux comodules quasi-colibres analytiques sur C et C<sup>0</sup>. Posons L¯ =M et L¯<sup>0</sup> =M<sup>0</sup> les quotients ind´ecomposables respectifs. Soit Φ : L→L<sup>0</sup> un morphisme de C-comodules analytiques, o`u la structure deC-comodule surL⁰ est celle donn´ee par le foncteur de restrictionΨ^!. PosonsΦ :¯ M →M⁰ le morphisme de dg-S-bimodules induit par Φ.

Si deux des trois morphismes suivants







Ψ : C → C⁰, Φ :¯ M →M⁰, Φ : L→L⁰,

sont des quasi-isomorphismes, alors le troisi`eme est aussi un quasi-isomorphisme.

Nous allons utiliser ces deux derniers th´eor`emes dans le chapitre suivant pour ´etablir la r´esolution bar-cobar.

1.4. Application : la r´esolution bar-cobar. Nous g´en´eralisons ici aux prop´erades et aux PROPs gradu´es par un poids la proposition de V. Ginzburg et M.M. Kapranov [GK] qui affirme que la construction bar-cobar sur une op´eradeP fournit une r´esolution de P.

Commen¸cons par le cas des prop´erades. On d´efinit le morphisme ζ : B¯^c( ¯B(P)) → P par la composition

B¯^c( ¯B(P)) =F Σ⁻¹F¯^c(ΣP) ////F Σ⁻¹F¯₍₁₎^c (ΣP)

=F(P) ^cP //P,

o`u le morphisme cP correspond `a la counit´e dans la d´emonstration du mono¨ıde libre (cf. th´ eo-r`eme 23). Ce morphisme revient `a composer entre elles, viaµ, les op´erationsP deF(P).

Proposition 123. L’application ζ ainsi d´efinie est un morphisme de prop´erades diff´erentielles gradu´ees par un poids.

D´emonstration. La d´efinition de ζ repose sur la compositionµ des op´erations de P, ainsi on montre facilement queζ◦µ_F(Σ−1F¯^c(ΣP)) =µ_P ◦(ζ^cζ), c’est-`a-dire queζ est un morphisme de prop´erades.

85

CHAPITRE 5. LEMMES DE COMPARAISON

Comme le morphismeζ est soit nul soit correspond `a des compositions d’op´erations, actions qui pr´eservent la graduation par le poids de P, alors on a que ζ est un morphisme de prop´erades gradu´ees par un poids.

Reste `a montrer queζ commute avec les diff´erentielles respectives.

Sur ¯B^c( ¯B(P)) =F Σ⁻¹F¯^c(ΣP)

la diff´erentielledcorrespond `a la somme de la d´erivationdθ⁰ de la cobar construction induite par le coproduit partiel de F^c(ΣP) avec la diff´erentielle canonique δB(P¯ ). Or, la diff´erentielle canoniqueδB(P¯ )est la somme de la cod´erivationdθde la bar construction B(P¯ ) induite par le produit partiel deP avec la diff´erentielle canoniqueδ_P.

– Si tous les sommets deξsont indic´es par des ´el´ements deF₍₁₎^c (ΣP) = ΣP, effectuer la diff´erentielle dsurξconsiste `a n’effectuer que la diff´erentielle canoniqueδ_P. Et comme la compositionµ de la prop´erade diff´erentielleP commute avecδ_P, on a bienζ◦d(ξ) =ζ◦δ_P(ξ) =δ_P ◦ζ(ξ).

– Soitξ un ´el´ement deF Σ⁻¹F¯^c(ΣP)

qui se repr´esente `a l’aide d’un graphe dont au moins un sommet est indic´e par un ´el´ement deF_(s)^c (ΣP), avecs≥3. Son image parζest nulle. En outre, l’image de ξpar la diff´erentielled est une somme des graphes dont au moins un des sommets est indic´e par un ´el´ement de F_(s)^c (ΣP), avecs≥2. Ainsi, on ad◦ζ(ξ) +ζ◦d(ξ) = 0.

– Si ξest repr´esent´e par un graphe dont les sommets sont indic´es par des ´el´ements deF_(s)^c (ΣP) o`u s= 1,2, avec au moins un ´el´ement deF<sub>(2)</sub><sup>c</sup> (ΣP), son image parζest nulle. Reste `a montrer qu’il en est de mˆeme pour ζ ◦d. Comme δP pr´eserve la graduation naturelle de F^c, on a imm´ediatementζ◦δ_P(ξ) = 0. Regardons l’effet ded_θ+d_θ0 sur un ´el´ement deF₍₂₎^c (ΣP). Posons ξ=X⊗Σ⁻¹(Σp1⊗Σp2)⊗Y o`u (Σp1⊗Σp2) appartient `aF₍₂₎^c (ΣP) etX,Y `aF(Σ⁻1 ¯F^c(ΣP)).

En appliquantdθ⁰, on obtient un terme de la forme

(−1)^|X|+1(−1)^|p1|+1X⊗Σ⁻¹Σp1⊗Σ⁻¹Σp2⊗Y,

o`u Σ⁻¹Σp1 et Σ⁻¹Σp2 sont des ´el´ements de Σ⁻¹F₍₁₎^c (ΣP). Et, en appliquantdθ, on obtient un terme de la forme

(−1)^|X|+1(−1)^|p1|X⊗Σ⁻¹Σµ(p1⊗p2)⊗Y,

o`u Σ<sup>−1</sup>Σµ(p<sub>1</sub>⊗p<sub>2</sub>) appartient `a Σ⁻¹F₍₁₎^c (ΣP). Ainsi,ζ◦(d_θ+d_θ⁰)(ξ) est une somme de termes de la forme

(−1)^|X|+|p1|+ (−1)^|X|+|p1|+1

X⊗µ(p1⊗p2)⊗Y = 0,

d’o`u la conclusion.

Remarque : On comprend, grˆace `a cette d´emonstration, pourquoi on a introduit un signe − suppl´ementaire dans la d´efintion de la d´erivationdθ⁰ de la cobar construction.

Si on pose C = ¯B(P), la coprop´erade diff´erentielle coaugment´ee d´efinie par la bar construc-tion sur P, on peut alors consid´erer la cobar construction coaugment´ee `a droite ¯B<sup>c</sup>(C)<sup>c</sup> C = B¯<sup>c</sup>( ¯B(P))c B(P). Remarquons que la coprop´¯ erade ¯B(P) = F<sup>c</sup>(ΣP) est gradu´ee par un poids (par la graduation deF<sup>c</sup>, en fonction du nombre de sommets, joint `a celle deP) et que la cobar construction coaugment´ee ¯B^c(C)^cC est unC-comodules quasi-colibre analytique.

Lemme124. Le morphismeζ^cB(P¯ ) : ¯B^c( ¯B(P))^cB(P)¯ → P^cB(P¯ )entre la cobar construction coaugment´eeB¯^c(C)^cC et la bar construction augment´eeP^cB(P)¯ est un morphisme de dg-S -bimodules. En outre, il s’agit d’un morphisme deB(P¯ )-comodules quasi-colibres analytiques.

D´emonstration. Les applicationsζ etidB(P)¯ ´etant des morphismes de dg-S-bimodules, le mor-phismeζcidB(P¯ ) pr´eserve les diff´erentielles canoniques δB¯^c(C)+δ_C et δ_P +δB(P)¯ . En outre, le morphismed_θr intervenant dans la d´efinition de la diff´erentielle de la cobar construction ¯B^c(C)cC (cf.chapitre 4 section 2.2) correspond bien, viaζ^cB(P¯ ) au morphismedθ_l intervenant dans la d´efinition de la diff´erentielle de la bar constructionP ^cB(P¯ ). (Le morphisme dθ_r revient `a ex-traire une op´erationP de ¯B(P) par le bas pour la composer, par le haut, `a ¯B^c( ¯B(P)), alors que dθ_l revient `a extraire une op´erationP de ¯B(P) par le bas pour la composer, par le haut, `a P.) Enfin, comme ζ et idB(P)¯ pr´eservent la graduation par le poids venant de celle de P, on a que ζ^cB(P¯ ) est un morphisme de ¯B(P)-comodules quasi-colibres analytiques.

1. AU NIVEAU DES P-MODULES QUASI-LIBRES

On peut maintenant conclure le th´eor`eme escompt´e.

Th´eor`eme 125 (R´esolution bar-cobar). Pour toute prop´erade diff´erentielle augment´ee gradu´ee par un poidsP, le morphisme

ζ : ¯B^c( ¯B(P))→ P

est un quasi-isomorphisme de prop´erades diff´erentielles gradu´ees par un poids.

D´emonstration. On sait d’apr`es le th´eor`eme 113 que le complexe ¯B^c( ¯B(P))cB(P) est acyclique¯ (cobar construction augment´ee). De mˆeme, le th´eor`eme 108 affirme que le complexePcB(P¯ ) est lui aussi acyclique (bar construction augment´ee). On en conclut que le morphisme de comodules quasi-colibres analytiques ζ<sup>c</sup>B(P¯ ) est un quasi-isomorphisme. En posant Ψ = idB(P)¯ et Φ = ζ<sup>c</sup>B(P¯ ), on peut appliquer la partie (2) du th´eor`eme de comparaison des comodules quasi-colibres

analytiques, ce qui donne queζest un quasi-isomorphisme.

Remarque :Nous utiliserons principalement ce r´esultat dans le cas o`u la prop´eradeP est quadra-tique (donc gradu´ee par le nombre de sommets des graphes en jeu). Graˆce au lemme de comparaison entre les prop´erades quasi-libres, d´emontr´e dans la section suivante, on montrera au chapitre 7 que, dans le cas o`u la prop´erade quadratique de d´epart est de Koszul, la r´esolution bar-cobar peut se “simplifier” pour donner le mod`ele minimal surP.

On peut faire sensiblement le mˆeme travail dans le cas des PROPs.

Soit (P, µ, conc) un PROP diff´erentiel augment´e. On d´efinit le morphisme ζ⁰ par la composition B¯^c( ¯B(P)S_⊗F(Σ⁻¹F¯^c(ΣP)) =S_⊗(F(P)) ^c

0

−−P→ P,

o`u c<sup>0</sup><sub>P</sub> = conc◦ S<sub>⊗</sub>(c<sub>P</sub>). Cette derni`ere application revient `a effectuer toutes les compositions possibles (verticales et horizontales) d’op´erations deP suivant le sch´ema de composition donn´e parS_⊗(F).

Proposition 126. Le morphisme ζ⁰ est un morphisme de PROPs diff´erentiels gradu´es par un poids.

D´emonstration. Comme la d´efinition deζ⁰ repose sur les compositionsµet concdu PROPP, on voit que ce morphisme est un morphisme de PROPs.

En outre, le PROPP est un PROP gradu´e par un poids, ce qui implique que les compositionsµ etconcpr´eserve ce poids. Il en est donc de mˆeme pourζ⁰ qui est un morphisme de PROPs gradu´e par un poids.

Pour voir queζ⁰ pr´eserve les diff´erentielles resp´ectives, on l’´ecrit comme compos´e des morphismes deS-bimodules diff´erentiels. Le diagramme suivant est commutatif.

B¯^c( ¯B(P)) = ¯B^c(S_⊗(F^c(ΣP))) ^ζ

0 //

P

B¯^c(F^c(ΣP)) =S⊗( ¯F(Σ⁻¹F¯^c(ΣP)))^S⊗(ζ) //S⊗(P).

conc

OO

Lemme 127. Le morphisme ζ⁰ B(P¯ ) : ¯B^c( ¯B(P)) → PB(P)¯ est un morphisme de B(P)-¯ comodules quasi-colibres analytiques.

D´emonstration. Comme le morphisme ζ⁰ est une version concat´en´ee du morphisme ζ, la d´

e-monstration reste la mˆeme.

Th´eor`eme128 (R´esolution bar-cobar pour les PROPs). Pour tout PROP diff´erentiel augment´e gradu´e par un poids, le morphisme

ζ⁰ : ¯B^c( ¯B(P))→ P 87

CHAPITRE 5. LEMMES DE COMPARAISON

est un quasi-isomorphisme de PROPs diff´erentiels gradu´es par un poids.

D´emonstration. La d´emonstration est la mˆeme que dans le cas des prop´erades. On utilise ici que la bar et la cobar constructions augment´ees sont toujours acycliques dans le cas des PROPs.

Et on conclut en utilisant les versions PROPiques des lemmes de comparaison.

2. Au niveau des prop´erades quasi-libres

On montre ici un lemme de comparaison du mˆeme type que les pr´ec´edents, mais au niveau des prop´erades quasi-libres.

Th´eor`eme 129 (Lemme de comparaison des prop´erades quasi-libres). Soient M et M⁰ deux dg-S-bimodules gradu´es par un poids et de degr´e au moins 1. Soient P et P⁰ deux prop´erades quasi-libres de la forme P = F(M) et P⁰ = F(M⁰), munies de d´erivations d_θ et d_θ⁰ prove-nant de morphismes θ : M → L

s≥2F_(s)(M) et θ⁰ : M⁰ → L

s≥2F_(s)(M⁰) qui pr´eservent la graduation totale venant de celle de M et M⁰. Et soit, un morphisme de dg-S-bimodules Φ : P → P⁰ qui respecte la graduation de F et la graduation totale. Ainsi, Φ induit un mor-phismeΦ :¯ M =F₍₁₎(M)→M⁰= F₍₁₎(M⁰).

Le morphismeΦ est un quasi-isomorphisme si et seulement siΦ¯ est un quasi-isomorphisme.

D´emonstration. Comme les morphismesθ et θ⁰ pr´eservent la graduation totale venant deM etM⁰, on peut d´ej`a remarquer que les d´erivationsd_θ et d_θ⁰ pr´eservent aussi la graduation totale.

Par cons´equent, les diff´erentielles δ_θ=δ_M +d_θ etδ_θ⁰ =δ_M⁰+d_θ⁰ pr´eservent cette graduation et on peut donc d´ecomposer les complexesF(M) =L

ρ∈NF(M)^(ρ) etF(M⁰) =L

ρ∈NF(M⁰)^(ρ) en fonction de cette graduation.

On introduit la filtration suivante

F_s(F(M)) = M

r≥−s

F(r)(M).

Cette filtration est compatible avec la d´ecomposition pr´ec´edente. Pour des probl`emes de conver-gence de suites spectrales, on s’interesse plutˆot au sous-complexeF(M)<sup>(ρ)</sup> et `a la filtration

Fs(F(M)^(ρ)) = M

r≥−s

F(r)(M)^(ρ).

Comme les dg-S-bimodulesM et M⁰ sont de degr´e strictement positif pour la graduation par le poids, on a queF(r)(M)^(ρ)=F(r)(M⁰)^(ρ)= 0 d`es quer > ρ, ainsi

F_s(F(M)^(ρ)) = M

−s≤r≤ρ

F_(r)(M)^(ρ).

On peut voir que la filtration Fs est stable par la diff´erentielle δθ = δM +dθ. En effet, on a δ_M(F_s)⊂F_s etd_θ(F_s)⊂F_s−1. Cette filtration induit donc une suite spectrale E_{s, t}^∗ . Le premier terme de cette suite spectrale vaut

E_{s, t}⁰ =F_s(F(M)^(ρ)_s+t)/F_s−1(F(M)^(ρ)_s+t) =F−s(M)^(ρ)_s+t,

et la diff´erentielled⁰correspond `a la diff´erentielle canonique issue de M :δM. De cette description et des propri´et´es de Φ, on tire queE_{s, t}⁰ (Φ) =F_(−s)( ¯Φ)s+t.

On peut remarquer que la filtration F_s sur F(M)^(ρ) est born´ee (F_−ρ−1 = 0 et F₀ =F(M)^(ρ)), ainsi par le th´eor`eme classique de convergence des suites spectrales (cf.[W] 5.5.1) on obtient que la suite spectraleE_{s, t}^∗ converge vers l’homologie du sous-complexeF(M)^(ρ).

D´emontrons maintenant l’´equivalence souhait´ee :

(⇐) Si ¯Φ : M →M⁰ est un quasi-isomorphisme, comme le foncteurF est un foncteur exact (cf.

proposition 84), on obtient que

F_(−s)( ¯Φ)s+t=E_{s, t}⁰ (Φ^(ρ)) : E_{s, t}⁰ (F(M)^(ρ))→E_{s, t}⁰ (F(M⁰)^(ρ))

Dans le document DUALIT´E DE KOSZUL DES PROPS (Page 81-89)