LA CAT ´ EGORIE DES S -BIMODULES DIFF ´ ERENTIELS GRADU ´ ES

Sur les parties connexes, on vient de pr´eciser les r`egles de signes, les relations d’´equivalences `a consid´erer et les diff´erentielles. On d´efinit les mˆemes notions pour le produiten g´en´eralisant les r`egles de Koszul-Quillen du produit tensoriel⊗_k au produit⊗.

Soient P et Q deux S-bimodules diff´erentiels gradu´es. Pour p⊗q appartenant `a Pd(m, n)⊗ Qe(m⁰, n⁰), on pose

δ(p⊗q) =δ(p)⊗q+ (−1)^dp⊗δ(q).

Les isomorphismes de sym`etrie s’´ecrivent ici

τp, q : p⊗q7→(−1)^deq⊗p.

Avec ces r`egles de signes, on d´efinit une diff´erentielle naturelle sur le produitQP.

Proposition 63. Le bifoncteur de la cat´egorie des S-bimodules s’´etend `a la cat´egorie des S -bimodules diff´erentiels gradu´es.

Comme dans le cas connexe, on peut ´etendre aux dg-S-bimodules la proposition 38.

Proposition 64. Le produit QP est isomorphe, en tant que dg-S-bimodule, `a M

((Π0 1,...,Π0

a),(Π1,...,Πb))∈Θ0

|¯k|=|¯|

k[Sm]⊗_S¯lQ(¯l,k)¯ ⊗_S¯kk[S|¯k|]⊗_S¯P(¯,¯ı)⊗_S¯ık[Sn].

1.2. Structure diff´erentielle des produits de dg-S-bimodules. On ´etudie ici l’homolo-gie des produits de deuxS-bimodules diff´erentiels.

Remarquons d’abord que le complexe (QcP, δ) correspond au complexe total d’un bicomplexe.

En effet, on d´efinit le bidegr´e d’un ´el´ement

(q₁, . . . , q_b)σ(p₁, . . . , p_a) de Q(¯l,k)¯ ⊗_Sk¯k[S^c¯k,¯]⊗_S¯P(¯,¯ı)

par (|q1|+· · ·+|qb|,|p1|+· · ·+|pa|). Et, la diff´erentielle horizontaleδ_h : QcP → QcP est induite par celle de Q. Quant `a la diff´erentielle verticaleδ<sub>v</sub> : QcP → QcP, elle est induite par celle deP. De mani`ere explicite, on a

δh (q1, . . . , qb)σ(p1, . . . , pa)

=

b

X

β=1

(−1)^{|q1|+···+|qβ−1|}(q₁, . . . , δ(q_β), . . . , q_b)σ(p₁, . . . , p_a) et δ_v (q₁, . . . , q_b)σ(p₁, . . . , p_a)

=

a

X

α=1

(−1)^{|q1|+···+|qb|+|p1|+···+|pα−1|}(q₁, . . . , q_b)σ(p₁, . . . , δ(p_α), . . . , p_a).

On voit clairement queδ=δ_h+δ_v etδ_h◦δ_v =−δ_v◦δ_h.

Comme tout bicomplexe, celui-ci donne naissance `a deux suites spectralesI<sup>r</sup>(QcP) etII<sup>r</sup>(QcP) qui convergent vers l’homologie totaleH<sub>∗</sub>(QcP, δ) (cf.Conventions). Rappelons que ces derni`eres v´erifient

I¹(QcP) =H_∗(QcP, δ_v), I²(QcP) =H_∗(H_∗(QcP, δ_v), δ_h) et II¹(Q^cP) =H_∗(Q^cP, δh), II²(Q^cP) =H_∗(H_∗(Q^cP, δh), δv).

Grˆace `a la proposition 62, on sait que produit mono¨ıdalQcP s’´ecrit `a l’aide de la somme directe M

Θ

Q(¯l,k)¯ ⊗_Sk¯k[S^c¯k,¯]⊗_S¯P(¯,¯ı).

Cette d´ecomposition est compatible avec la structure de bicomplexe. Ainsi, les suites spectrales se d´ecomposent de la mˆeme mani`ere

I^r(Q^cP) =M

Θ

I^r

Q(¯l,k)¯ ⊗_Sk¯k[S^c¯k,¯]⊗_S¯P(¯,¯ı) et II^r(QcP) =M

Θ

II^r

Q(¯l,¯k)⊗_S¯kk[S^c¯k,¯]⊗_S¯P(¯,¯ı) 53

CHAPITRE 3. PROP ´ERADES ET PROPS DIFF ´ERENTIELS

On a imm´ediatement les deux expressions suivantes.

Proposition 65. Si Q(¯l,¯k)⊗_Sk¯k[S^c¯k,¯] est unk[S¯]-module projectif (`a droite), alors on a I¹

Q(¯l,k)¯ ⊗_S¯kk[S^ck,¯ ¯]⊗_S¯P(¯,¯ı)

=Q(¯l,k)¯ ⊗_Sk¯k[S^c¯k,¯]⊗_S¯H_∗(P(¯,¯ı)). Et si,k[S^c¯k,¯]⊗_S¯P(¯,¯ı)est un k[Sk^¯]-module projectif (`a gauche), alors on a

II¹ Q(¯l,¯k)⊗_Sk¯k[S^c¯k,¯]⊗_S¯P(¯,¯ı)

=H_∗ Q(¯l,¯k)

⊗_S¯kk[S^c¯k,¯]⊗_S¯P(¯,¯ı).

Corollaire66. Sik est un corps de caract´eristique nulle, on a toujours I¹

Q(¯l,¯k)⊗_S¯kk[S^c¯k,¯]⊗_S¯P(¯,¯ı)

=Q(¯l,¯k)⊗_S¯kk[S^c¯k,¯]⊗_S¯H_∗(P(¯,¯ı)) et II¹

Q(¯l,k)¯ ⊗_S¯kk[S^ck,¯ ¯]⊗_S¯P(¯,¯ı)

=H_∗ Q(¯l,k)¯

⊗_S¯kk[S^c¯k,¯]⊗_S¯P(¯,¯ı).

D´emonstration. Par le th´eor`eme de Maschke, on sait que tous les anneaux k[S¯] sont

semi-simples. Ainsi, toutk[S¯]-module est projectif.

Proposition 67. Si kest de caract´eristique nulle, alors on a I²

Q(¯l,¯k)⊗_S¯kk[S^c¯k,¯]⊗_S¯P(¯,¯ı)

=II²

Q(¯l,¯k)⊗_S¯kk[S^c¯k,¯]⊗_S¯P(¯,¯ı)

= H∗Q(¯l,k)¯ ⊗_Sk¯k[S^c¯k,¯]⊗_S¯H∗P(¯,¯ı).

D´emonstration. Comme toutk[S^¯k]-module est projectif, on a imm´editatement I²

Q(¯l,¯k)⊗_Sk¯k[S^c¯k,¯]⊗_S¯P(¯,¯ı)

=H_∗ Q(¯l,k)¯

⊗_S¯kk[S^ck,¯ ¯]⊗_S¯H_∗(P(¯,¯ı)). Et on conclut avec la formule de K¨unneth

H_∗ Q(¯l,k)¯

= H_∗(Q(l₁, k₁)⊗ · · · ⊗ Q(l_a, k_a)) =

H_∗Q(l1, k1)⊗ · · · ⊗H_∗Q(la, ka) =H_∗Q(¯l,¯k).

Remarque : Soient Φ : M → M⁰ et Ψ : N → N⁰ deux morphismes de dg-S-bimodules.

Alors le morphisme ΦcΨ : M c N → M⁰ N⁰ est un morphisme de bicomplexes. Ainsi, il induit des morphismes de suites spectrales I^r(Φc Ψ) : I^r(M c N) → I^r(M⁰ cN⁰) et II^r(ΦcΨ) : II^r(McN)→II^r(M⁰cN⁰).

De mani`ere g´en´erale, on a la proposition suivante.

Proposition 68. Lorsque le corpsk est de caract´eristique nulle, on a toujours H_∗(Q^cP)(m, n) =M

Θ

H_∗Q(¯l,k)¯ ⊗_Sk¯k[S^ck,¯ ¯]⊗_S¯H_∗P(¯,¯ı).

C’est-`a-dire,H_∗(QcP) = (H∗Q)c(H_∗P).

D´emonstration. C’est une application directe des th´eor`emes de Mashke (pour les coinvariants)

et de K¨unneth (pour les produits tensoriels).

On peut reprendre les mˆemes raisonnements dans le cas du produit.

Le complexe (QP, δ) est encore le complexe total d’un bicomplexe. Les ´el´ements deQfournissent la graduation et la diff´erentielle horizontales et ceux dePla graduation et la diff´erentielle verticales.

En ce qui concerne les signes, il faut faire attention aux composantes connexes. Par exemple, pour un objet

(q₁, . . . , q_b)σ(p₁, . . . , p_a)⊗(q⁰₁, . . . , q_b⁰0)σ(p⁰₁, . . . , p⁰_a0) deQ^cP ⊗ Q^cP, on a

1. LA CAT ´EGORIE DESS-BIMODULES DIFF ´ERENTIELS GRADU ´ES

δh((q1, . . . , qb)σ(p1, . . . , pa)⊗(q₁⁰, . . . , q⁰_b0)σ(p⁰₁, . . . , p⁰_a0)) =

b

X

β=1

(−1)^{|q1|+···+|qβ−1|}(q1, . . . , δ(qβ), . . . , qb)σ(p1, . . . , pa)

⊗(q₁⁰, . . . , q⁰_b0)σ(p⁰₁, . . . , p⁰_a0) +

b⁰

X

β=1

(−1)^{|q1|+···+|qb|+|p1|+···+|pa|+|q10|+···+|q0β−1|}(q1, . . . , qb)σ(p1, . . . , pa)

⊗(q₁⁰, . . . , δ(q⁰_β), . . . , q⁰_b0)σ(p⁰₁, . . . , p⁰_a0) et

δv((q1, . . . , qb)σ(p1, . . . , pa)⊗(q₁⁰, . . . , q⁰_b0)σ(p⁰₁, . . . , p⁰_a0)) =

a

X

α=1

(−1)^{|q1|+···+|qb|+|p1|+···+|pα−1|}(q₁, . . . , q_b)σ(p₁, . . . , δ(p_α), . . . , p_a)

⊗(q⁰₁, . . . , q_b⁰0)σ(p⁰₁, . . . , p⁰_a0) +

b⁰

X

β=1

(−1)^{|q1|+···+|qb|+|p1|+···+|pa|+|q10|+···+|q0b0|+|p01|+···+|p0α−1|}

(q₁, . . . , q_b)σ(p₁, . . . , p_a)⊗(q⁰₁, . . . , q_b⁰0)σ(p⁰₁, . . . , δ(p⁰_α), . . . , p⁰_a0).

On a alors les mˆemes r´esultats que dans le cas connexe.

Proposition 69. Si kest un corps de caract´eristique nulle, on a les ´egalit´es I¹ Q(¯l,¯k)⊗_S¯kk[SN]⊗_S¯P(¯,¯ı)

=Q(¯l,¯k)⊗_S¯kk[SN]⊗_S¯H_∗(P(¯,¯ı)) et II¹ Q(¯l,¯k)⊗_Sk¯k[SN]⊗_S¯P(¯,¯ı)

=H∗ Q(¯l,k)¯

⊗_S¯kk[SN]⊗_S¯P(¯,¯ı).

Proposition 70. Si kest de caract´eristique nulle, alors on a I² Q(¯l,k)¯ ⊗_S¯kk[SN]⊗_S¯P(¯,¯ı)

=II² Q(¯l,¯k)⊗_S¯kk[SN]⊗_S¯P(¯,¯ı)

= H_∗Q(¯l,¯k)⊗_S¯kk[S^N]⊗_S¯H_∗P(¯,¯ı).

Proposition 71. Lorsque le corpsk est de caract´eristique nulle, on a H_∗(QP) = (H_∗Q)(H_∗P).

Corollaire72. SoientQet P deux dg-S-bimodules. On a la relation H∗(QP) =S⊗(H∗(Q^cP)).

Remarque : Toutes ces propositions sont des g´en´eralisations des r´esultats de B. Fresse sur le produit de composition◦ des op´erades aux produits^c et des prop´erades et des PROPs (cf.

[Fr] 2.3.).

1.3. Prop´erades et PROPs diff´erentiels. On peut donner une version diff´erentielle `a la notion de prop´erade et de PROP.

D´efinition(Prop´erades diff´erentielles). On appelleprop´erade diff´erentielle un mono¨ıde (P, µ, η) dans la cat´egorie (dg-S-biMod,c, I).

Cela signifie qu’en plus de la donn´ee d’une prop´erade lin´eaire, le morphisme de compositionµest un morphisme de dg-modules de degr´e 0 pr´eservant les actions deSmetSn. Ainsi, on a la relation

55

CHAPITRE 3. PROP ´ERADES ET PROPS DIFF ´ERENTIELS

du type d´erivation :

δ(µ((p₁, . . . , p_b)σ(p⁰₁, . . . , p⁰_a))) =

b

X

β=1

(−1)^{|p1|+···+|pβ−1|}µ((p1, . . . , δ(pβ), . . . , pb)σ(p⁰₁, . . . , p⁰_a)) +

a

X

α=1

(−1)^{|p1|+···+|pb|+|p01|+···+|p0α−1|}µ((p1, . . . , pb)σ(p⁰₁, . . . , δ(p⁰_α), . . . , p⁰_a)).

La proposition 68 donne la propri´et´e suivante.

Proposition73. Lorsque le corpskest de caract´eristique nulle, pour toute prop´erade diff´erentielle (P, µ, η), l’homologie de cette prop´erade(H∗(P), H∗(µ), H∗(η))est une prop´erade gradu´ee.

D´efinition (S-bimodules diff´erentiels gradu´es par un poids). On appelle S-bimodule diff´erentiel gradu´e par un poids toute somme directe surρ∈NdeS-bimodules diff´erentielsM =L

ρ∈NM^(ρ). Les morphismes de S-bimodules diff´erentiels gradu´es par un poids sont les morphismes de S -bimodules diff´erentiels qui pr´eservent cette d´ecomposition. L’ensemble desS-bimodules diff´erentiels gradu´es par un poids, muni des morphismes correspondant, forme une cat´egorie que l’on note gr-dg-S-biMod.

Remarquons que la graduation est une information suppl´ementaire ind´ependante du degr´e homo-logique.

Proposition 74. Soitf =L∞

n=0f(n) un foncteur analytique dans la cat´egorie des S-bimodules.

SoitM =L

ρ∈NM^(ρ) unS-bimodule gradu´e par un poids. Alors leS-bimodulef(M)est bigradu´e, d’une part avec la graduation venant du foncteur analytique, d’autre part avec la graduation totale venant du poids.

D´emonstration. Posonsf_(n)=fn◦∆n o`u fn est une applicationn-lin´eaire. La premi`ere gra-duation s’´ecritf(M)_(n)=fn(M, . . . , M). La deuxi`eme correspond `a

f(M)^(ρ)= X

i₁+···+in=ρ

fn(M⁽ⁱ¹⁾, . . . , M⁽ⁱⁿ⁾).

Corollaire75. Toute prop´erade libre (respectivement PROP libre) sur unS-bimoduleM gradu´e par un poids est bigradu´e.

D´emonstration. Le foncteur F (respectivement S_⊗(F)) est un foncteur analytique dont les degr´es sont donn´es par le nombre de sommets des graphes. La premi`ere graduation est donc donn´ee par le nombre d’op´erations de M qui servent `a repr´esenter un ´el´ement de F(M). La deuxi`eme graduation est ´egale `a la somme des poids de ces op´erations.

D´efinition(Prop´erades diff´erentielle gradu´ees par un poids). Uneprop´erade diff´erentielle gradu´ee par un poids (P, µ, η) est un mono¨ıde dans la cat´egorie (gr-dg-S-biMod,^c, I).

Une telle prop´erade sera diteconnexe si de plusP⁽⁰⁾=I.

Remarque : Duallement, on a la notion de coprop´erade diff´erentielle (et diff´erentielle gradu´ee par un poids). Une coprop´erade diff´erentielle correspond `a une coprop´erade dont le coproduit est un morphisme de dg-S-bimodules, c’est-`a-dire v´erifie une relation du type cod´erivation.

De la mˆeme mani`ere, on peut consid´erer des PROPs diff´erentiels.

D´efinition (PROPs diff´erentiels). On appelle PROP diff´erentiel la donn´ee d’une structure de PROP (P,µ, conc, η) dans la cat´e egorie (dg-S-biMod,, ⊗).

On exige donc en plus que les morphismes de compositions eµet conc soient des morphismes de degr´e 0 de S-bimodules diff´erentiels, c’est-`a-dire qu’ils v´erifient des relations du type d´erivation.

Par exemple, pour la composition horizontale, on a

δ(conc(p⊗q)) =conc(δ(p)⊗q) + (−1)^|p|conc(p⊗δ(q)).

Dans le document DUALIT´E DE KOSZUL DES PROPS (Page 53-57)