ACYCLICIT ´ E DES BAR ET COBAR CONSTRUCTIONS AUGMENT ´ EES

Etant donn´e que la cod´erivation se fait composante connexe par composante connexe, la bar construction PROPique est un complexe obtenu par concat´enation de la bar construction prop´ e-radique.

Proposition 103. On a l’isomorphisme de coPROPs diff´erentiels suivant B(P¯ ) =S_⊗( ¯B(Uc(P))).

Dualement, on d´efinit la cobar construction sur un coPROP.

D´efinition(Cobar construction r´eduite d’un coPROP). Soit (C,∆, deconc) un coPROP diff´ eren-tiel coaugment´e . On appellecobar construction r´eduite du coPROPC le PROP quasi-libre d´efini par leS-bimoduleS_⊗(F(Σ⁻¹C)) muni de la diff´¯ erentielleδθ⁰, somme de la diff´erentielle canonique δavec l’unique d´erivationdθ⁰ qui prolonge le morphismeθ⁰ induit par le coproduit partiel

∆_(1,1) : ¯C−^∆→ CC(I⊕ C¯

|{z}

1

)^c(I⊕ C¯

|{z}

1

).

On la note aussi ¯B^c(C).

Comme la d´erivationdθ⁰ pr´eserve les composantes connexes, la cobar construction d’un coPROP est l’alg`ebre sym´etrique libre sur la cobar construction de la coprop´erade associ´ee.

Proposition 104. On a un isomorphisme de PROPs diff´erentiels B¯^c(C) =S⊗( ¯B^c(Uc(C))).

De la mˆeme mani`ere que pour les prop´erades, on d´efinit la bar et la cobar constructions `a coeffi-cients dans unP-module (comodule) `a droiteLet unP-module (comodule) `a gaucheRainsi que les bar et cobar constructions augment´ees.

Proposition105. Soit(P, µ, conc)un PROP diff´erentiel augment´e. SoientLunP-module diff´ e-rentiel `a droite et R un P-module diff´erentiel `a gauche. On a l’isomorphisme de S-bimodules diff´erentiels

LB(P¯ )R=S⊗ L^cB(U c(P¯ ))^cR .

3. Acyclicit´e des bar et cobar constructions augment´ees

LorsqueP est une alg`ebre, c’est-`a-dire que le dg-S-bimoduleP est nul en dehors deP(1,1) =A, on sait que la bar construction augment´ee (`a gauche comme `a droite) sur l’alg`ebre unitaire A est acyclique. Pour d´emontrer cela, on introduit directement une homotopie contractante (cf.

S´eminaire H. Cartan [C]). Dans le cas des op´erades, B. Fresse montre que la bar construction augment´ee `a gaucheP ◦B(P¯ ) est acyclique, `a nouveau, en exhibant une homotopie contractante.

Cette homotopie repose sur le fait que le produit mono¨ıdal◦ est lin´eaire `a gauche. Et l’acyclicit´e de la bar construction augment´ee `a droite d´ecoule ensuite du r´esultat pr´ec´edent et des lemmes de comparaisons sur les modules quasi-libres (cf. [Fr] section 4.6). Dans le cadre g´en´eral des prop´erades, comme le produit mono¨ıdal^cn’est lin´eaire ni `a gauche, ni `a droite, il faut affiner ces arguments. On commence ainsi par d´efinir une filtration sur le complexe PcB(P), d¯

. Cette filtration induit une suite spectraleE_{p, q}^∗ convergente. Enfin on montre que les complexes E_p,⁰_∗, d⁰ sont acycliques pour p >0 en introduisant une homotopie contractante du mˆeme type que dans le cas des alg`ebres et des op´erades. On proc`ede de la mˆeme mani`ere pour montrer que les deux cobar constructions coaugment´ees `a droite et `a droite sur une coprop´erade gradu´ee par un poids sont acycliques. Et comme le foncteurS⊗est un foncteur exact, on en conclut l’acyclicit´e des bar et cobar constructions augment´ees dans le cas PROPique.

3.1. Acyclicit´e de la bar construction augment´ee. Le dg-S-bimodule P ^cB(P¯ ) est l’image du foncteur

P 7→(I⊕ P)^cF^c(ΣP).

Ce foncteur est analytique scind´e, c’est-`a-dire qu’il est la somme directe de foncteurs polynomiaux enP scind´es (cf.chapitre 1 section 8). Pour voir cela, il suffit de consid´erer le nombre de sommets

71

CHAPITRE 4. BAR ET COBAR CONSTRUCTIONS

non r´eduits (indic´es par des ´el´ements de P) qui composent un repr´esentant d’un ´el´ement de (I⊕ P)^cF^c(ΣP). On note cette d´ecomposition :

P^cB(P¯ ) =M

s∈N

P^cB(P)¯

(s). On consid`ere alors la filtration d´efinie par

Fi=Fi PB(P¯ )

=M

s≤i

P^cB(P¯ )

(s).

Ainsi, Fi est compos´ee des ´el´ements de P B(P) repr´¯ esentables par des graphes admettant au plusisommets non r´eduits.

Lemme 106. La filtration Fi du dg-S-bimodule P ^cB(P¯ ) est stable par la diff´erentielle dde la bar construction augment´ee.

D´emonstration. Le lemme 96 donne la forme de la diff´erentielled. Celle-ci est la somme de trois termes :

(1) La diff´erentielleδissue de celle deP. Cette derni`ere laisse invariant le nombre d’´el´ements deP. Ainsi, on a δ(F_i)⊂F_i.

(2) La cod´erivation dθ de la bar construction r´eduite ¯B(P). Cette application consiste `a composer des pairs de sommets. Elle v´erifie doncdθ(Fi)⊂F_i−1.

(3) Le morphisme dθ_l. Ce morphisme a pour effet d’´ecrˆeter une op´eration ΣP de ¯B(P) par le bas, pour la composer ensuite avec des ´el´ements deP

PcB(P¯ )→ Pc(I⊕ P)cB(P¯ )→ PcB(P¯ ).

Le nombre global de sommets enP est donc d´ecroissant. Ce qui s’´ecritdθ_l(Fi)⊂Fi. De ce lemme, on obtient que la filtrationFi induit une suite spectrale not´eeE_{p, q}^∗ , dont le premier terme vaut

E_{p, q}⁰ =Fp (P^cB(P¯ ))p+q

/Fp−1 (P^cB(P¯ ))p+q

,

o`u p+q repr´esente le degr´e homologique. Ainsi, le module E<sub>p, q</sub><sup>0</sup> est donn´e par les graphes `a p sommets non r´eduits E_{p, q}⁰ =

P^cB(P)¯

(p)

p+q et la diff´erentielle d⁰ est la somme de deux termes d⁰ =δ+d⁰_θ

l. Cette derni`ere application d⁰_θ

l est ´equivalente `a l’application dθ<sub>l</sub> lorsqu’elle ne diminue par le nombre global de sommets. De mani`ere explicite, le morphismed⁰_θ

l consiste `a

´

ecrˆeter une op´eration ΣP de ¯B(P) par le bas et `a l’ins´erer dans la ligne des ´el´ements deP, sans composition avec des op´erations de P . (La composition revient `a faireI^cP → P). Dans tous les autres cas o`udθ_l exige une composition non triviale avec des ´el´ements de P,d⁰_θ

l est nulle (cf.

figure 3).

Remarquons que ce morphismed⁰_θ

l est homog`ene de degr´e−1 (ΣP → P).

La suite spectraleE_{p, q}^∗ se situe dans le demi-planp≥0.

On calcule l’homologie des complexes de chaˆınes E_p,⁰_∗, d⁰

pour montrer que la suite spectrale d´eg´en`ere au rangE_{p, q}¹ .

Lemme 107. Au rangE_{p, q}¹ on a

E_{p, q}¹ =

I si p=q= 0, 0 sinon.

D´emonstration. Lorsquep= 0 on a E⁰_{0, q} =

I si q= 0, 0 sinon.

et la diff´erentielled⁰est nulle sur les modulesE_{0, q}⁰ . L’homologie de ces modules vaut donc E¹_{0, q} =

I si q= 0, 0 sinon.

3. ACYCLICIT ´E DES BAR ET COBAR CONSTRUCTIONS AUGMENT ´EES

, on va exhiber une homotopie contrac-tanteh.

Grˆace `a la proposition 62, on peut repr´esenter un ´el´ement dePB(P¯ ) par (p1, . . . , pr)σ(b1, . . . , bs).

Sip1∈I, on pose

h((p1, . . . , pr)σ(b1, . . . , bs)) = 0, sinon on d´efinithpar

h((p₁, . . . , p_r)σ(b₁, . . . , b_s)) = (−1)^{(|p1|+1)(|p2|+···+|pr|)}(1, . . . , 1, p₂, . . . , p_r)σ⁰(b⁰, b_i+1, . . . , b_s), o`u b<sup>0</sup>=µ<sub>F(ΣP)</sub>(Σp1⊗(b1, . . . , bi)) avecb1, . . . , bi les ´el´ements de ¯B(P) reli´es au sommet indic´e parp1dans la repr´esentation graphique de (p1, . . . , pr)σ(b1, . . . , bs). Cette applicationhne change pas le nombre d’op´erationsP et est de degr´e homologique +1 (P →ΣP). Ainsi, on ah : E<sub>p, q</sub><sup>0</sup> → E<sub>p, q+1</sub><sup>0</sup> . Intuitivement, l’application h revient `a prendre une op´eration (non triviale) parmi la ligne de P, `a la suspendre et `a la remonter d’un cran pour l’inclure dans celles de ¯B(P). Cette d´emarche est la d´emarche inverse de celle ded⁰_θ

l. V´erifions maintenant quehest bien une homotopie contractante, c’est-`a-dire quehd⁰+d⁰h=i_d.

(1) L’applicationhanticommute avecδ,hδ+δh= 0. Le calcul est similaire `a ceux effectu´es pr´ec´edemment. Encore une fois, le r´esultat vient des r`egles de signes et de la suspension Σp1.

CHAPITRE 4. BAR ET COBAR CONSTRUCTIONS

Alors que le calcul ded⁰_θ

lhdonne d⁰_θ

lh((p₁, . . . , p_r)σ(b₁, . . . , b_s)) = (p1, . . . , pr)σ(b1, . . . , bs)−

X(−1)^{|p0|(|pj+1|+···+|pr|+|b1|+···+|bk|)+(|p1|+1)(|p2|+···+|p0|+···+|pr|)} (1, . . . ,1, p₂, . . . , p⁰, p_j+1. . . , p_r)σe⁰(b⁰, b_i+1, . . . , b_k, b⁰_k+1, . . . , b_s), le signe−1 vient ici de la commutation dep⁰ avec Σp₁.

L’existence de cette homotopie permet d’affirmer que les complexes E_p,⁰_∗, d⁰

sont acycliques pourp >0 et donc que

E_{p, q}¹ = 0 pour toutqsip >0.

On peut maintenant conclure la d´emonstration de l’acyclicit´e de la bar construction augment´ee `a gauche.

Th´eor`eme108. L’homologie du complexe P^cB(P), d¯

est la suivante : H0 P^cB(P¯ )

=I, Hn P^cB(P)¯

= 0 sinon.

D´emonstration. Comme la filtrationFiest exhaustiveP^cB(P¯ ) =S

iFi et born´ee inf´ erieure-mentF−1 P^cB(P¯ )

= 0, par les th´eor`emes classiques de convergence des suites spectrales (cf.

[W] 5.5.1), on sait que la suite spectraleE_{p, q}^∗ converge vers l’homologie deP^cB(P¯ ) E¹_{p, q}=⇒Hp+q P^cB(P¯ ), d

.

Et la forme d´eg´en´er´ee de E¹_{p, q} permet de conclure.

Corollaire109. Le morphisme d’augmentation P^cB(P¯ )

εPcε_Fc(ΣP)//I^cI=I est un quasi-isomorphisme.

Ce dernier r´esultat se g´en´eralise de la mani`ere suivante :

On d´efinit lemorphisme d’augmentation ε(P,P, P) par la composition

B(P,P,P) =PcB(P¯ )cP −−−−−−−−−−−→ P^{PcεFc(ΣP)cP} cIcP=PcP PPP =P.

Th´eor`eme 110. Soit R un module diff´erentiel `a gauche sur P. Le morphisme d’augmentation ε(P, P, R)

B(P,P, R) =PPB(P,P,P)PR ^{PPε(P,P,P)PR}//P^P P^P R=R est un quasi-isomorphime.

D´emonstration. On introduit la mˆeme filtration que pr´ec´edemment en comptant le nombre de sommets indic´es par des op´erations deP des rep´esentants des ´el´ements deP^cB(P)¯ ^cR. Alors, en utilisant la mˆeme homotopie contractante on montre que la suite spectrale d´eg´en´ere au rang E_{p, q}¹ sous la forme

E_{p, q}¹ =

H_q(R) si p= 0, 0 si p >0.

On conclut ensuite de la mˆeme mani`ere, en utilisant la convergence de la suite spectrale.

Pour d´emontrer l’acyclicit´e de la bar construction augment´ee `a droite ¯B(P)^cP, on introduit la mˆeme filtration et on d´efinit l’homotopie contractantehpar

h((b1, . . . , br)σ(p1, . . . , ps)) = 0,

3. ACYCLICIT ´E DES BAR ET COBAR CONSTRUCTIONS AUGMENT ´EES

lorsquep₁∈I, et dans le cas contraire par h((b1, . . . , br)σ(p1, . . . , ps)) =

(−1)^{|b1|+···+|bi|+|p1|(|bi+1|+···+|br|)}(b⁰, bi+1, . . . , br)σ⁰(1, . . . ,1, p2, . . . , ps), o`u b⁰ =µ_F(ΣP)((b₁, . . . , b_i)⊗Σp₁).

On a alors le mˆeme type de r´esultat pourLun module `a droite surP.

Th´eor`eme 111. Soit L un module diff´erentiel `a droite sur P. Le morphisme d’augmentation ε(L,P,P)

B(L,P,P) =L^P B(P,P,P)^PP ^{LPε(P,P,P)PP}//LPPPP =L est un quasi-isomorphime.

Ces r´esultats peuvent se reformuler dans le cadre des PROPs.

Corollaire 112. SoitP un PROP diff´erentiel augment´e. Les morphismes d’augmentation sui-vant sont des quasi-isomorphismes :

PB(P)¯

εPε_S

⊗(Fc(ΣP))

−−−−−−−−−−−→IS_⊗(I) =S_⊗(I) B(P)¯ P

ε_S

⊗(Fc(ΣP))εP

−−−−−−−−−−−→S_⊗(I)I=S_⊗(I).

D´emonstration. Il suffit de voir que

PB(P¯ ) =S⊗(P^cB(U¯ c(P)))

et que le foncteurS_⊗ est un foncteur exact pour pouvoir appliquer les th´eor`emes pr´ec´edents.

3.2. Acyclicit´e de la cobar construction coaugment´ee. De la mˆeme mani`ere, on peut montrer l’acyclicit´e de la cobar construction augment´ee `a droite ¯B^c(C)cCen utilisant des argu-ments duaux. Par contre ici, pour des probl`emes de convergence de suites spectrales, on se place dans le cas o`u la coprop´eradeC est gradu´ee par un poids.

Th´eor`eme 113. Pour toute coprop´erade coaugment´ee gradu´ee par un poids C, l’homologie du complexe B¯^c(C)cC, d

est la suivante :

H0 B¯^c(C)^cC

=I, Hn B¯^c(C)^cC

= 0 sinon.

D´emonstration. On d´efinit une filtrationF_i par F_i= M

s≥−i

B¯^c(C)cC

(s).

On v´erifie que cette filtration est stable sous l’action de la diff´erentielled:

(1) La diff´erentielleδ laisse invariant le nombre d’´el´ements de ¯C. Ainsi, on aδ(Fi)⊂Fi. (2) La d´erivationdθ⁰ de la cobar construction r´eduite ¯B^c(C) consiste `a d´ecomposer en deux

des op´erations indi¸cant des sommets. La nombre de sommets augmente donc de 1. La d´erivationdθ⁰ v´erifie doncdθ⁰(Fi)⊂Fi−1.

(3) Le morphismedθ_r⁰ a pour effet de d´ecomposer un ´el´ement deCen deux pour inclure une des deux parties dans ¯B^c(C). Le nombre global de sommets en P est donc croissant. Ce qui s’´ecritdθ⁰_r(Fi)⊂Fi.

Cette filtration induit donc une suite spectraleE^∗_{p, q} dont le premier terme est donn´e par E_{p, q}⁰ =Fp ( ¯B^c(C)^cC)p+q

/F_p−1 ( ¯B^c(C)^cC)p+q

= ( ¯B^c(C)^cC)_(−p)

p+q. La diff´erentielle d⁰ est alors la somme de deux termes : d⁰ = δ+d⁰_θ0

r o`u d⁰_θ0

r correspond `a dθ⁰_r

lorsque celle-ci n’augmente pas le nombre de sommets indic´es par ¯C. Le morphisme d⁰_θ0

r revient 75

CHAPITRE 4. BAR ET COBAR CONSTRUCTIONS

donc juste `a prendre un ´el´ement ¯C de la premi`ere ligne (sans le d´ecomposer), `a le d´esuspendre et

`

a l’inclure dans ¯B^c(C).

On montre ensuite de la mˆeme mani`ere que E_{p, q}¹ =

I si p=q= 0, 0 sinon.

Ici l’homotopie contractante hest d´efinie comme l’op´eration inverse de d⁰_θ0

r. Pour un ´el´ement de B¯^c(C)C repr´esent´e par

(b1, . . . , br)σ(c1, . . . , cs), on d´efinithen d´ecomposant b₁∈B¯^c(C)_(n):

b1 //Pb⁰₁⊗Σ⁻¹c ,

o`u b<sup>0</sup><sub>1</sub> ∈ B¯<sup>c</sup>(C)<sub>(n−1)</sub> et c ∈ C. Si l’op´¯ eration Σ<sup>−1</sup>c n’est reli´e par le haut qu’`a des ´el´ements de I alors on la suspend et on l’inclut dans la ligne des ´el´ements de C. Un calcul du mˆeme type que pr´ec´edemment montre que l’on a bienhd⁰+d⁰h=id.

Comme la coprop´erade C est gradu´ee par un poids, on peut d´ecomposer le complexe ¯B^c(C)^cC en somme directe de sous-complexes `a l’aide de la graduation totale induite, ce qui donne

B¯^c(C)cC=M

ρ∈N

( ¯B^c(C)C)^(ρ).

Cette d´ecomposition est compatible avec la filtration pr´ec´edente, aisni qu’avec l’homotopie contrac-tanteh. On a donc

E_{p, q}¹ ( ¯B^c(C)^cC)^(ρ)

= 0 pour toutp, q d`es que ρ >0 et E_{p, q}¹ ( ¯B^c(C)^cC)⁽⁰⁾

=

I si p=q= 0, 0 sinon.

Enfin, comme la filtrationF_i sur le sous-complexe ( ¯B^c(C)cC)^(ρ) est born´ee F0 ( ¯B^c(C)^cC)^(ρ)

= ( ¯B^c(C)^cC)^(ρ) et F_−ρ−1 ( ¯B^c(C)^cC)^(ρ)

= 0,

par le th´eor`eme classique de convergence des suites spectrales (cf. [W] 5.5.1), on a que la suite spectraleE_{p, q}^∗ ( ¯B^c(C)cC)^(ρ)

converge vers l’homologie de ( ¯B^c(C)cC)^(ρ). On obtient alors le

r´esultat en faisant la somme directe surρ.

Remarque :En introduisant une homotopie du mˆeme type, on montre que la cobar construction coaugment´ee `a gauche est aussi acyclique.

Et de la mˆeme mani`ere, on a le th´eor`eme suivant

Th´eor`eme 114. Soit L un comodule diff´erentiel `a droite sur C. Si C est une coprop´erade diff´ e-rentielle gradu´ee par un poids, alors l’homologie de la cobar construction `a coefficients dans L et C vaut

Hn B^c(L,C,C), d

=Hn(L, δL).

On a bien sur le mˆeme r´esultat pour les comodules `a gauche surC.

Comme corollaire, on a l’acyclicit´e de la cobar construction coaugment´ee sur un coPROP gradu´e par un poids.

Corollaire115. Pour tout coPROPCcoaugment´e gradu´e par un poids, l’homologie du complexe B¯^c(C)C, d

est la suivante :

H₀ B¯^c(C)C

=S_⊗(I), H_n B¯^c(C)C

= 0 sinon.

3. ACYCLICIT ´E DES BAR ET COBAR CONSTRUCTIONS AUGMENT ´EES

D´emonstration. La cobar construction PROPique est l’image par le foncteur exacte S_⊗ de la cobar construction prop´eradique sur la coprop´erade induite

B¯^c(C)C=S_⊗ B¯^c(U_c(C))cC .

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CHAPITRE 5

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