LA CAT ´ EGORIE DES S -BIMODULES

D´emonstration. Pour ¯l et ¯k deux b-uplets tels que |¯l| =m et |k|¯ = N, on pose ¯l⁰ = (l_τ−1(1), . . ., l_τ⁻¹_(b)) et ¯k⁰ = (k_τ⁻¹₍₁₎, . . . , k_τ⁻¹_(b)) qui v´erifient aussi |¯l⁰|=m et |k¯⁰|=N. De plus, toute permutation (¯k,)-connexe¯ σdonne par composition `a gauche avec une permutation par blocs du type τ¯k et `a droite par une permutation par blocs du typeν¯ une permutation (¯k⁰,¯⁰)-connexe.

En effet, les repr´esentations g´eom´etriques deσ∈SN et deτk¯σ ν¯ sont hom´eomorphes et on relie exactement les mˆemes points. En r´esum´e, siσ∈S^c¯k,¯on a encoreτ¯kσ ν¯∈S^ck¯⁰,¯l⁰. Ce produit mono¨ıdal est d´efini ainsi pour correspondre `a la composition verticale de graphes connexes.

D´efinition (Graphes dirig´es). Ce que l’on appelle ici pargraphes dirig´es sont des graphes non planaires, dirig´es par un flot, dont les arˆetes entrant et sortant d’un noeud (ou sommet) sont indic´ees par des entiers{1, . . . , n}, tout comme le sont les entr´ees et sorties du graphe. On suppose de plus que chaque noeud admette au moins une entr´ee et une sortie.

D´efinition(Graphes connexes). On dit qu’un graphe estconnexe s’il est connexe en tant qu’es-pace topologique.

Pour d´ecrire le produit mono¨ıdal^c, on se sert des graphes `a niveaux connexes , c’est-`a-dire des graphes dont les noeuds se r´epartissent sur des niveaux. La figure 1 repr´esente un graphe `a deux niveaux o`u les noeuds sont indic´es parνi.

Figure 1. Exemple de graphe connexe `a deux niveaux.

A l’aide des graphes connexes `a deux niveaux G<sup>c</sup><sub>2</sub>, on construit le produit mono¨ıdal<sup>G</sup>c sur lesS -bimodules. Pour un grapheg, on appelleN1l’ensemble des noeuds appartenant au premier niveau (en fonction de la direction donn´ee par le flot global) etN2l’ensemble des noeuds appartenant au second niveau. Pour un noeud ν, on consid`ere les deux ensemblesIn(ν) etOut(ν) compos´es des arˆetes entrant et sortant du noeud. On note |Out(ν)| et|In(ν)|les cardinaux de ces ensembles.

D´efinition(Produit mono¨ıdal^Gc). AQetP deuxS-bimodules, on associe leS-bimoduleQ^GcP

CHAPITRE 2. PROP ´ERADES ET PROPS

o`u la relation d’´equivalence≈est engendr´ee par

1>>>>>

Ceci qui revient `a indicer les sommets des graphes `a deux niveaux par des ´el´ements deQet deP, et `a relier les indices des sorties (resp. entr´ees) d’un sommet `a l’action de Sm `a gauche (resp.Sn

`

a droite) sur l’´el´ement correspondant.

Remarque : Par souci de concision, on omettra souvent dans la suite d’´ecrire la relation d’´ e-quivalence. Ainsi, lorsque l’on parlera de graphes indic´es par des S-bimodules, on quotientera implicitement par cette relation d’´equivalence.

Proposition 32. Pour tout couple (Q,P)deS-bimodules, les deux produitsQ^cP etQ^Gc P sont naturellement isomorphes.

D´emonstration. A tout ´el´ement θ⊗q1⊗ · · · ⊗qb⊗σ⊗p1⊗ · · · ⊗pa⊗ω dek[Sm]⊗ Q(¯l,k)¯ ⊗ k[S^c¯k,¯]⊗ P(¯,¯ı)⊗k[Sn], on associe un graphe Ψ(θ⊗q1⊗ · · · ⊗qb⊗σ⊗p1⊗ · · · ⊗pa⊗ω) dont les noeuds sont indic´es par les q_β et les p_α. Pour cela, on consid`ere une repr´esentation g´eom´etrique de σ. On regroupe et r´eindice les sorties en fonction de ¯k et les entr´ees en fonction de ¯. On indice les noeuds ainsi cr´e´es `a l’aide des qβ et pα. Puis pour chaque qβ on construit lβ arˆetes sortant que l’on indice par 1, . . . , lβ. On proc`ede de mˆeme avec pα et les entr´ees du graphe.

Enfin, on num´erote les sorties du graphe avec θ et les entr´ees avec ω. Par exemple, l’´el´ement (4123)⊗q₁⊗q₂⊗(1324)⊗p₁⊗p₂⊗(12435) donne le graphe repr´esent´e `a la figure 2. d’´equivalence ∼, elle correspond `a un r´earrangement (hom´eomorphe) dans l’espace du graphe engendr´e. Le graphe ainsi cr´e´e ´etant non-planaire, il est invariant sur les classes d’´equivalences pour la relation∼. On a finalement une applicationΨ dee Q^cPversQ^GcP. Comme tout graphe admet une repr´esentation de la formeθ⊗q1⊗ · · · ⊗qa⊗σ⊗p1⊗ · · · ⊗pb⊗ω, on peut exhiber une r´eciproque `aΨ. Ainsi, les deux produitse Q^cP etQ^Gc P sont naturellement isomorphes et

repr´esentent la mˆeme information.

1. LA CAT ´EGORIE DESS-BIMODULES

Il reste `a d´efinir l’objet qui jouera le rˆole d’unit´e dans cette cat´egorie. On pose I=

I(1,1) =k,

I(m, n) = 0 sinon.

Proposition 33. La cat´egorie(S-biMod,^c, I)est une cat´egorie mono¨ıdale.

D´emonstration. Pour montrer la relation d’unit´e surP ^cI(m, n), il faut ´etudier S^ck,¯ ¯ pour correspondent aux graphes `a 3 niveaux indic´es par des ´el´ements de R,Q etP, soit

 (La composition verticale de graphes connexes donne encore un graphe connexe).

1.4. Les sous-cat´egories mono¨ıdales (k-Mod, ⊗, k) et (S-Mod,◦, I). Les deux cat´ e-gories mono¨ıdalesk-Mod etS-Mod apparaissent comme des sous-cat´egories mono¨ıdales pleines de la cat´egories desS-bimodules avec le produit^c d´efini pr´ec´edemment.

En ce qui concerne la cat´egorie des modules sur k munie du produit tensoriel classique, il suffit d’associer `a tout moduleV leS-bimodule suivant :

V(1,1) =V, V(j, i) = 0 sinon.

On retrouve alors le produit tensoriel surkcar pourV etW deux modules, on aV ^cW(1,1) = V ⊗kW et comme il n’existe pas de permutations connexes associ´ees `a desa, b-uplets de la forme (1, . . . ,1) (cf.proposition 30), on aV W(j, i) = 0 pour (j, i)6= (1,1). Et les morphismes entre deuxS-bimodules compos´es uniquement d’un (S1,S1)-module correspondent aux morphismes de k-modules.

La cat´egorie desS-bimodules contient aussi lesS-modules li´es aux op´erades. De la mˆeme mani`ere,

` o`u la relation d’´equivalence∼s’´ecrit ici

q⊗σν⊗p1⊗ · · · ⊗pN ∼q⊗σ⊗p_ν(1)⊗ · · · ⊗p_ν(N).

Cette relation revient `a prendre les coinvariants pour l’action deSN dans l’expressionQ(1, N)⊗k

P(1, i₁)⊗_k · · · ⊗_kP(1, i_N). On retombe bien sur le produit mono¨ıdal desS-modules (cf. [GK]

et J.-P. May [May]), que l’on connait plus sous la forme alg´ebrique suivante (en omettant les induites)

CHAPITRE 2. PROP ´ERADES ET PROPS

Remarquons qu’avec le produit^Gc, on retrouve la composition desS-modules ´ecrite `a l’aide des arbres (cf.[GK] et [L3]).

Quant `aQcP(j, i), pourj6= 1, cette composition correspond `a la juxtaposition d’arbres (forˆet) et repose donc sur des graphes non connexes. Ainsi,Q^cP(j, i) = 0, pourj6= 1.

1.5. Composition horizontale et verticale des S-bimodules. Afin de repr´esenter la concat´enation de deux op´erations, on introduit un produit mono¨ıdal⊗de la mani`ere suivante.

D´efinition (Produit de concat´enation⊗). Soient P, Qdeux S-bimodules. On d´efinit leproduit de concat´enation⊗par la formule suivante :

P ⊗ Q(m, n) = M

m0+m00=m n0+n00=n

P(m⁰, n⁰)⊗ Q(m⁰⁰, n⁰⁰),

o`u P(m, n)⊗ Q(m⁰, n⁰) =k[Sm+m⁰]⊗_Sm×Sm0P(m, n)⊗_kQ(m⁰, n⁰)⊗_Sn×Sn0 k[Sn+n⁰].

Le produit ⊗ correspond `a la notion intuitive de concat´enation d’op´erations r´epr´esent´ee `a la figure 3. Pour ce produit on parle decomposition horizontale .

1

Figure 3. Composition horizontale de deux op´erations.

Proposition 34. Le produit ⊗ d´efinit un produit mono¨ıdal sym´etrique dans la cat´egorie des S -bimodules. L’unit´e est donn´ee par le S-bimodule kd´efini par

k(0,0) =k,

k(m, n) = 0 sinon.

D´emonstration. La relation d’unit´e vient de l’´egalit´e

P ⊗k(m, n) =k[Sm]⊗_SmP(m, n)⊗kk⊗_Snk[Sn] =P(m, n).

Et l’associativit´e vient de la relation P(m, n)⊗ Q(m⁰, n⁰)

⊗R(m⁰⁰, n⁰⁰) =P(m, n)⊗ Q(m⁰, n⁰)⊗R(m⁰⁰, n⁰⁰)

=

k[Sm+m⁰+m⁰⁰]⊗_{Sm×Sm0×Sm00}P(m, n)⊗_kQ(m⁰, n⁰)⊗_kR(m⁰⁰, n⁰⁰)⊗_{Sn×Sn0×Sn00}k[Sn+n⁰+n⁰⁰].

L’isomorphisme de sym´etrie est donn´e par

P(m, n)⊗ Q(m⁰, n⁰)−→^τ (1,2)m, m⁰ P(m, n)⊗ Q(m⁰, n⁰)

(1,2)n, n⁰ =Q(m⁰, n⁰)⊗ P(m, n).

Remarque :Ce produit mono¨ıdal est bilin´eaire.

En mimant ce que l’on a fait dans les parties pr´ec´edentes, on peut d´efinir un produit qui repr´esente les compositions verticales d’op´erations mais suivant des sch´emas non n´ecessairement connexes.

D´efinition(Produit de composition). SoientQ,P deuxS-bimodules. On d´efinit leproduit de compositionQP par o`u la relation d’´equivalence∼est la mˆeme que dans le cas connexe.

1. LA CAT ´EGORIE DESS-BIMODULES

A la diff´erence du produit⊗, le produitrepr´esente lescompositions verticales d’op´erations.

Comme dans le cas connexe, on a une autre ´ecriture de ce produit en terme de graphes dirig´es, `a la diff´erence pr`es qu’ici les graphes ne seront pas suppos´es connexes.

On consid`ere l’ensembleG2 des graphes dirig´es `a deux niveaux non n´ecessairement connexes. On d´efinit alors le produit bas´e sur de tels graphes.

D´efinition (Produit de composition^G). SoientQ, P deuxS-bimodules. On d´efinit le produit Q^GP par

Q^GP=



 M

g∈G²

O

ν∈N2

Q(|Out(ν)|,|In(ν)|)⊗ O

ν∈N1

P(|Out(ν)|,|In(ν)|)



 ,

≈

, o`u la relation d’´equivalence≈est la mˆeme que dans le cas connexe.

Comme dans le cas connexe, ces deux d´efinitions sont ´equivalentes.

Proposition35. Pour tout couple(Q,P)deS-bimodules, les deux produits de compositionQP etQ^GP sont naturellement isomorphes.

D´emonstration. La d´emonstration est identique. On introduit le mˆeme type d’isomorphismeΨe

entreQP etQ^GP.

Par la suite, nous aurons besoin de consid´erer l’ensemble des concat´enations possibles d’op´erations deP.

D´efinition (LesS-bimodulesT_⊗(P) etS_⊗(P)). Comme le produit mono¨ıdal deS-bimodules⊗ est bilin´eaire, le mono¨ıde libre surP pour la concat´enation est donn´e par

T_⊗(P) =M

n∈N

P^⊗n.

CommeP ⊗ Qest isomorphe `aQ ⊗ P et que l’on on aura `a consid´erer un morphisme commutatif surP ⊗ Qpar la suite, on introduit l’alg`ebre sym´etrique libre tronqu´ee surP.

S_⊗(P) = M

n∈N^∗

(P^⊗n)_Sn.

Remarque : On a exclut l’op´eration scalaire k(0,0) de la d´efinition de l’alg`ebre sym´etrique consid´er´ee.

Le foncteurS⊗ permet de relier les deux produits de composition^c et . Proposition 36. SoientQ etP deux S-bimodules. On a l’´egalit´e

S⊗(Q^cP) =QP.

D´emonstration. Le r´esultat repose sur le fait que tout graphe de G2 peut se d´ecomposer en produit de graphes connexes appartenant `a G₂^c et que l’on ne tient pas compte ici de l’ordre

suivant lequel sont concat´en´es ces graphes connexes.

Comme le produit mono¨ıdal ⊗est bien connu, par exemple du point de vue homologique, pour

´

etudier le produit, il suffira de faire l’´etude sur ^c et de passer `a la concat´enation `a la fin. Ce sera par exemple le cas des diff´erents complexes de chaˆınes introduits dans la suite de cette th`ese (bar constructions, complexes de Koszul) dont les diff´erentielles se font composante connexe par composante connexe.

Remarque :Le produit de compositionn’est pas un produit mono¨ıdal. L’associativit´e ne fait aucun doute. Par contre, la relation d’unit´e fait d´efaut. On a

PI=S_⊗(P).

Or, en g´en´eral,P est diff´erent deS⊗(P).

39

CHAPITRE 2. PROP ´ERADES ET PROPS

1.6. Repr´esentation des ´el´ements deQcP et deQP. Les produitsQcP etQP sont d´efinis comme des quotients par la relation d’´equivalence∼qui permute l’ordre des ´el´ements deQet deP. Afin notamment de pouvoir ´etudier le comportement homologique de ces produits, on cherche des repr´esentants naturels des classes d’´equivalence pour la relation∼.

Pour cela on consid`ere les couples de partitions ordonn´ees de ([m],[n]).

D´efinition(Partition ordonn´ee de [n]). Unepartition ordonn´eede [n] est une suite (Π₁, . . . ,Π_k) d’ensembles qui forment une partition, au sens usuel du terme, de [n] ={1, . . . , n}.

Parmi les partitions ordonn´ees de [n], on choisit celles qui sontcroissantes, c’est-`a-dire qui v´erifient min(Π₁)<min(Π₂)<· · ·< min(Π_k).

Soit Θ(m, n) l’ensemble des couples (Π⁰₁, . . . ,Π⁰_b),(Π₁, . . . ,Π_a)

de partitions ordonn´ees crois-santes de ([m],[n]).

Lorsqu’il n’y a pas d’ambigu¨ıt´e sur les entiersmetn, on note cet ensemble Θ.

Proposition 37. Le produit QcP(m, n)est isomorphe, en tant que(Sm,Sn)-bimodule, `a M

(^(Π01,...,Π0

b),(Π1,...,Πa))^{∈Θ(m, n)}

|¯k|=|¯|

k[Sm]⊗_S¯lQ(¯l,k)¯ ⊗_S¯kk[S^k,c^{¯ ¯}]⊗_S¯P(¯,¯ı)⊗_S¯ık[Sn],

o`ulβ est ´egal au cardinal de l’ensembleΠ<sup>0</sup><sub>β</sub> etiα `a celui deΠα.

Dit autrement, tout ´el´ement deQcP peut se repr´esenter sous la forme q^Π

0 1

1 ⊗ · · · ⊗q^Π

0 b

b ⊗σ⊗p^Π₁¹⊗ · · · ⊗p^Π_a^a = (q^Π

0 1

1 , . . . , q^Π

0 b

b )σ(p^Π₁¹, . . . , p^Π_a^a), avec ((Π⁰₁, . . . ,Π⁰_b),(Π1, . . . ,Πa))∈Θ.

L’action deSm`a gauche sur ce module revient `a permuter les entiers d’une partition (Π⁰₁, . . . ,Π⁰_b).

Et s’il faut permuter des Π⁰_β pour retomber sur une partition ordonn´ee, on permute de la mˆeme mani`ere les ´el´ementsqβ correspondant.

D´emonstration. On utilise la description du produit^cen termes de graphes dont les entr´ees et les sorties sont indic´ees par des entiers de{1, . . . , n} et{1, . . . , m}respectivement. Les partitions (Π1, . . . , Πa) repr´esentent les entr´ees des op´erations (p1, . . . , pa) et les partitions (Π⁰₁, . . . , Π⁰_b) repr´esentent les sorties des op´erations (q1, . . . , qb).

Cette ´ecriture nous permettra de montrer que le produit mono¨ıdal^c v´erifie certaines propri´et´es homologiques (cf.chapitre 3 section 1.2).

Remarque : La premi`ere op´eration p1 sur la ligne des pest celle qui re¸coit l’entr´ee indic´ee par 1. Il en va de mˆeme pourq1 avec la sortie indic´ee par 1. Cette propri´et´e permet notamment de diff´erencier sur chaque ligne une op´eration des autres. Ceci nous permettra de construire des ho-motopies sur les bar et cobar constructions augment´ees (cf.chapitre 4 section 3).

On a le mˆeme r´esultat pour le produit.

Proposition 38. Le produit QP(m, n)est isomorphe, en tant que(Sm, Sn)-bimodule, `a M

(^(Π01,...,Π0

b),(Π1,...,Πa))^{∈Θ(m, n)}

|¯k|=|¯|

k[S^m]⊗_Sl¯Q(¯l,¯k)⊗_S¯kk[S|k|¯]⊗_S¯P(¯,¯ı)⊗_S¯ık[Sⁿ].

2. Bifoncteurs de Schur

A tout S-bimodule P, on peut associer un bifoncteur dit de Schur. La composition de tels bi-foncteurs est li´ee au produit mono¨ıdal^c. Les bifoncteurs introduits ici g´en´eralisent la notion de foncteur de Schur des op´erades.

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