BAR CONSTRUCTION SIMPLICIALE

1.2. Bar construction simpliciale augment´ee.

D´efinition (Bar construction simpliciale augment´ee). Les complexes de chaˆınes C(I,P,P) = C(P)¯ cP et C(P,P, I) =P cC(P¯ ) sont appel´es bar constructions simpliciales augment´ees `a droite et `a gauche.

Proposition131. Pour toute prop´eradePet toutP-module `a droiteL, la bar construction simpli-cialeC(L,P,P)est unP-module quasi-libre analytique `a droite. Et, le morphisme d’augmentation

ε : C(L,P,P)→L est un quasi-isomorphisme deP-modules simpliciaux `a droite.

On a ´evidement le mˆeme r´esultat `a gauche pour toutP-moduleR.

D´emonstration. La forme de la diff´erentielle surC(L,P,P) =L^cC¯^cP montre qu’il s’agit bien d’unP-module quasi-libre. Le cˆot´e analytique de la construction vient du foncteurP →LcP qui est analytique.

Le reste de la d´emonstration est le mˆeme que dans le cas des alg`ebres associatives unitaires (cf.

[C]). On introduit une d´eg´en´er´escence suppl´ementaire

sn+1 : L^cP^cncP 'L^cP^cn+1cI−−−−−−−−−−→^{LcPc n+1cη} L^cP^cn+1cP,

qui induit une homotopie contractante.

Corollaire 132. Les bar constructions simpliciales augment´ees `a gauche et `a droite sont acy-cliques.

1.3. Bar construction normalis´ee. Comme pour tout module simplicial, on r´eduit note

´

etude au complexe normalis´e, complexe de chaˆınes quotient du complexe de d´epart mais ayant la mˆeme homologie.

D´efinition (Bar construction normalis´ee). La bar construction normalis´ee correspond au quo-tient de la bar construction simpliciale par les images des d´eg´en´er´escences. On pose

N_n(L,P, R) = coker

LcP^c(n−1)cR

Pn−1

i=0LcP^{c i}cηcP^c(n−i−1)cR

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→LcP^cncR

. Le complexe de chaˆınesN(I,P, I), not´e ¯N(P), est appel´ebar construction normalis´ee r´eduite.

Remarque :Nous avons vu pr´ec´edemment que la bar constructionB(L, P, R) se repr´esentait avec des graphes et que la cod´erivationd_θ correspondait `a la notion g´en´eralis´ee d’edge contraction, qui revient `a composer les paires d’op´erations adjacentes. Au contraire, la bar construction simpliciale se repr´esente par des graphes `a niveaux et les faces d<sub>i</sub> correspondent `a des compositions entre deux niveaux d’op´erations.

2. Morphisme d’´echelonnement

Le morphisme d’´echelonnement est un morphisme injectif entre la bar construction et la bar construction simpliciale qui induit un isomorphisme en homologie.

2.1. D´efinition. Soitξun ´el´ement de ¯B(n)(P) =F_(n)^c (ΣP) repr´esent´e par un graphegξ `a n sommets (cf.figure 1).

L’´el´ement ξvient d’un graphe gr, `a rniveaux pass´e au quotient par la relation≡(cf.chapitre 3 section 3). Rappelons que la relation≡revient `a changer une op´eration de niveau, au signe pr`es.

Grˆace `a cette relation d’´equivalence, on peut repr´esenterξavec au moins un graphe `anniveaux et nsommets (c’est-`a-dire un sommet par niveau,cf.figure 2). Posons,Gn(ξ) l’ensemble des graphes

`

anniveaux avec un sommet par niveau, qui redonne g_ξ apr`es passage au quotient par la relation

≡.

Soitgun graphe deG_n(ξ). L’´el´ementξest enti`erement d´etermin´e parget par la suite des op´erations Σp1⊗ · · · ⊗Σpn qui indicent les sommets deg. Pour pouvoir associer `a ξun ´el´ement de ¯N(P), il faut d´esuspendre les op´erations deξ. Ceci fait apparaˆıtre des signes et on pose

g(ξ) = (−1)^{Pni=1(n−i)|pi|}g(p1⊗ · · · ⊗pn),

2. MORPHISME D’ ´ECHELONNEMENT

D´efinition (Morphisme d’´echelonnement). On d´efinit lemorphisme d’´echelonnement e : ¯B(P)→N¯(P)

pare(ξ) =P

g∈G_n(ξ)g(ξ), pourξdans ¯B(n)(P).

Remarque : Dans la d´efinition de ξ on a pris garde de respecter les r`egles de signes dues aux commutations d’´el´ements de ΣP. Grˆace `a ceci, le morphisme d’´echelonnementeest bien d´efini.

Comme la d´efinition deefait intervenir des permutations de suspensions vers la gauche, on peut

´

etendre naturellement le morphisme d’´echelonnement aux bar constructions `a coefficients `a droite dans unP-module diff´erentielR:

e : B(I,P, R)→ N(I,P, R).

2.2. Propri´et´es homologiques. Nous esp´erons montrer que le morphisme d’´echelonnement est un quasi-isomorphisme de dg-S-bimodules.

Lemme 133. SoitP une prop´erade diff´erentielle augment´ee. SoientR unP-module diff´erentiel `a gauche.

Le morphisme d’echelonnement induit un morphisme injectif de dg-S-bimodules e : B(n)(I,P, R)→ΣⁿNn(I,P, R).

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CHAPITRE 6. BAR CONSTRUCTION SIMPLICIALE

D´emonstration. Notonsd_Bla diff´erentielle deB(I,P, R). Elle est compos´ee de 4 termes : d_B=δ_P+δR+dθ+dθ_R.

Les deux premiers correspondent aux diff´erentielles canoniques issues deP et deR. Le morphisme d_θest la cod´erivation qui provient du produit partiel surP. Quant `ad_θR, il vient de l’action d’un seul ´el´ement deP surR.

Appelons dN la diff´erentielle sur ΣⁿNn(I,P, R). Elle est aussi compos´ee de 4 termes. Sur un

´

el´ementτ⁰ = Σⁿτ de ΣⁿNn(I,P, R), elle s’´ecrit : d_N(τ⁰) = (−1)ⁿΣⁿδ_P(τ) + (−1)ⁿΣⁿδR(τ) +

n−1

X

i=1

(−1)ⁱ⁺¹Σⁿ⁻¹di(τ) + (−1)ⁿ⁺¹Σⁿ⁻¹dn(τ).

Montrons quedN◦e(ξ) =e◦dB(ξ).

– La commutativit´e des diff´erentielles canoniques

(δ_P+δR)◦e(ξ) =e◦(δ_P+δR)(ξ)

vient des bons choix dans les r`egles de signes et du respect des suspensions. (Les calculs sont du mˆeme type que ceux des chapitres pr´ec´edents.)

– La cod´erivation dθ revient `a composer les op´erations de ΣP indi¸cant les couples de sommets adjacents du graphe repr´esentantξ. Et,di◦ecorrespond `a composer deux ´etages avec au total deux op´erations deP. Il faut distinguer deux cas. Posonsξ=X⊗Σp⊗Σq⊗Y.

(1) Si les op´erations Σp et Σq sont reli´es par au moins une branche, alors la composante de Pn−1

i=1(−1)ⁱ⁺¹di◦e(ξ) faisant intervenir la composition depavecqest de la forme Xε(−1)^j+2Σⁿ⁻¹X⁰⊗µ(p⊗q)⊗Y⁰,

o`uX⁰=p1⊗ · · · ⊗pj,Y⁰=q1⊗ · · · ⊗qn−j−2⊗ρ1⊗ · · · ⊗ρret ε= (−1)^{Pji=1(n−i)|pi}|+(n−j−1)|p|+(n−j−2)|q|+Pn−j−2

k=1 (n−j−k−2)|qk|.

Et la composant de dθ(ξ) faisant intervenir la composition de Σpavec Σqest de la forme (−1)^|X|+|p|X⊗Σµ(p⊗q)⊗Y.

L’image par ed’un tel ´el´ement donne

X(−1)^|X|+|p|ε(−1)^|X0|+|p|Σⁿ⁻¹X⁰⊗µ(p⊗q)⊗Y⁰= Xε(−1)^jΣⁿ⁻¹X⁰⊗µ(p⊗q)⊗Y⁰.

(2) Si les op´erations Σpet Σq ne sont pas reli´ees, alors il n’y a aucune composante dedθ qui fait intervenir une composition entre Σpet Σq. Et, la composante dePn

i=0(−1)ⁱ⁺¹d_i◦e(ξ) qui vient de la composition des deux ´etages o`u se trouvent pet q est la somme de deux termes :

X(−1)^jΣⁿdj+1

εX⁰⊗p⊗q⊗Y⁰+ε(−1)(|p|+1)(|q|+1)+|p|+|q|X⁰⊗q⊗p⊗Y⁰

= X(−1)^jΣⁿ

εX⁰⊗p⊗q⊗Y⁰+ε(−1)(|p|+1)(|q|+1)+|p|+|q|+|p||q|X⁰⊗p⊗q⊗Y⁰

= 0.

Comme l’image deξparPn−1

i=1(−1)ⁱ⁺¹di◦e−e◦dθ est une somme de termes de la forme (1) ou (2), on conclut de l’´etude pr´ec´edente la commutativit´e voulue.

– Le morphismed_θR revient `a extraire une op´erationP par le haut et `a la faire agir par la gauche sur R. Or, e consiste, entre autre, `a ne placer qu’une seule op´erationP sur la deuxieme ligne (celle en dessous deR) etdn la fait agir sur les ´el´ements deR. Il ne reste plus qu’`a v´erifier que les signes correspondent. Posonsξ=X⊗Σpn⊗ρ1⊗ · · · ⊗ρmo`uX = Σp1⊗Σpn−1. Alors, la

2. MORPHISME D’ ´ECHELONNEMENT

composante ded_θR(ξ) faisant intervenir l’action dep_n sur les ´el´ementsρ₁, . . . , ρ_m deR est de la forme (−1)^|X|X⊗r(pn⊗(ρ1⊗ · · · ⊗ρm)). Et son image paredonne

X(−1)^|X|ε(−1)^|X|+n−1Σⁿ⁻¹X⁰⊗r(pn⊗(ρ1⊗ · · · ⊗ρm)) X(−1)ⁿ⁺¹εΣⁿ⁻¹X⁰⊗r(pn⊗(ρ1⊗ · · · ⊗ρm)),

o`uε=Pn

i=1(n−i)pi. De la mˆeme mani`ere, la composante de (−1)ⁿ⁺¹dn◦e(ξ) faisant intervenir l’action depn sur les ´el´ementsρ1, . . . , ρmdeRvaut

(−1)ⁿ⁺¹X

εΣⁿ⁻¹X⁰⊗r(p_n⊗(ρ₁⊗ · · · ⊗ρ_m)).

Montrons maintenant l’injectivit´e dee. Soitξ un ´el´ement de ¯B(n)(P) =F_(n)^c (ΣP). Par d´efinition de la coprop´erade colibre, on sait que ξ=ξ1+· · ·+ξr o`u chaque ξi une somme finie d’´el´ements de F<sub>(n)</sub><sup>c</sup> (ΣP) qui viennent de l’indi¸cage des sommets d’un mˆeme graphe gξ<sub>i</sub>. On introduit un morphisme π : N¯n(P) → B¯<sub>(n)</sub>(P). A un ´el´ement τ de ¯Nn(P) repr´esent´e par un graphe `a n niveaux, on associe l’´el´ement correspondantτ⁰ qui vient de la suspension des op´erations de chaque ligne. On introduit ici le mˆeme signeεque celui qui d´efinite. L’objetπ(τ) est donn´e par la classe d’´equivalence de ετ⁰ pour la relation≡. On a alors π◦e(ξ) =n1ξ1+· · ·nrξr o`u lesni sont des entiers non nuls. Ainsi, l’´equation e(ξ) = 0 impose n1ξ1 +· · ·nrξr = 0. Par identification des graphes sous-jacents, on obtientξi= 0, pour touti, d’o`u ξ= 0.

Remarque :La suspension Σⁿ est l`a pour faire commuter les diff´erentielles canoniques avec le morphismee.

Corollaire134. Dans le cas o`uP etR sont desS-bimodules, c’est-`a-dire de diff´erentielle nulle et concentr´es en degr´e0, le morphisme d’´echelonnement

e : B(I,P, R)→ N(I,P, R) est un morphisme injectif de dg-S-bimodules.

Conjecture. SoitP une prop´erade gradu´ee par un poids.

Le morphisme d’´echelonnement

e : ¯B(P)→N¯(P) est un quasi-isomorphisme.

En r´esum´e, on esp`ere montrer que la bar construction r´eduite est un sous-complexe de chaˆınes de la bar construction normalis´ee r´eduite qui donne la mˆeme homologie.

Remarque : Cette conjecture est une g´en´eralisation aux prop´erades d’un th´eor`eme de B. Fresse [Fr] pour les op´erades.

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CHAPITRE 7