Description : Cette activité ressemble à celle des additions et soustractions, sauf que cette fois, il s’agit pour les équipes d’effectuer une multiplication et une division dans leur système. Chaque équipe reçoit à nouveau un instrument de calcul utilisé par leur peuple pour faire les multiplications et dans certains cas, les divisions (annexe 11c). Ils doivent d’abord émettre des hypothèses quant à la manière d’effectuer ces opérations à la manière du peuple sur lequel ils travaillent. Ensuite, lorsqu’ils pensent avoir trouvé, l’enseignante leur remet le feuillet explicatif de l’annexe 7. Les élèves vérifient leurs hypothèses et
doivent ensuite tenter de faire une multiplication et une division à la manière des savants de l’époque.
Justification : Cette activité s’inspire des opérations à la manière de… mais les auteurs consultés parlaient peu des multiplications et des divisions. Cette activité permet d’approfondir chacun des systèmes et de voir comment on effectuait les multiplications et les divisions, ce qui aura permis de s’approprier les quatre opérations arithmétiques. Aussi, elle permet de voir les liens existant entre les méthodes utilisées par nos prédécesseurs et les algorithmes conventionnels et de constater les limites de certaines techniques (l’addition répétée ou le partage chez les Sumériens notamment).
Comme cette activité est plutôt difficile et que les différentes techniques ressemblent très peu à ce que les élèves connaissent, ils risquent de vivre un véritable
conflit cognitif. Ils se trouveront également dans un état de déséquilibre et devront assimiler
les nouvelles connaissances. En outre, les élèves auront un rôle actif dans leurs apprentissages et les interactions sociales dans l’équipe seront primordiales pour résoudre le problème.
Conduite attendue des élèves : Comme ces deux opérations sont encore plus difficiles que les additions et les soustractions, les élèves risquent d’être un peu dépassés au début de l’exercice et devront par conséquent avoir beaucoup de support et d’encouragement de la part de l’enseignante. Ces élèves doués, qui ne connaissent pas souvent de tels déséquilibres, risquent peut-être de vivre un conflit cognitif. En effet, leurs façons actuelles de faire les multiplications et les divisions n’ont rien à voir avec celles qu’ils devront expérimenter. Comme chaque système est fort différent, la conduite attendue des élèves sera présentée séparément.
Système sumérien : À l’aide de l’abaque mésopotamien (annexe 11c), les élèves tenteront d’émettre leurs hypothèses. S’ils ne savent pas comment procéder, leur suggérer une multiplication avec un petit multiplicateur par exemple. Ils proposeront peut-être l’addition répétée, si non, leur donner le feuillet explicatif. Tout comme pour les opérations précédentes, la principale difficulté pour ce système sera encore la décomposition en base 60. L’expérience acquise par les élèves lors de l’activité sur les additions et les soustractions devrait néanmoins faciliter l’exercice. Comme la multiplication sumérienne est une addition répétée, si les élèves ont bien compris l’addition, ils devraient réussir la
multiplication. Pour la division, comme l’exemple donné a un diviseur à un chiffre et que pour les Sumériens, la division s’effectuait comme un partage, cette façon s’apparente à la division sur la planche à calculer que les élèves ont déjà expérimentée. Ils ne devraient donc pas rencontrer trop de difficulté (sauf pour les conversions en base 60, comme pour les additions et les soustractions).
Pour l’équipe des Sumériens, nous ne savons pas pour quelles raisons, mais nous avons été plutôt directive. D’emblée, nous leur avons dit que la multiplication sumérienne était une addition répétée plutôt que de leur laisser le découvrir. Puis, pour les divisions, nous sommes très rapidement intervenus (immédiatement après la lecture du feuillet explicatif) parce qu’ils ne semblaient pas savoir comment faire. Ils ont commencé leur affiche après seulement 20 minutes, alors qu’ils avaient deux opérations à comprendre (au lieu d’une seule pour d’autres civilisations -Romains, Chinois et Babyloniens-).
Système égyptien : Lorsque les élèves de cette équipe recevront le tableau à deux colonnes avec les chiffres et les tirets (annexe 12c), ils risquent de ne rien comprendre. Si l’enseignante leur donne ensuite les nombres à multiplier de l’exemple donné, peut-être qu’un élève comprendra et pourra expliquer son hypothèse aux autres élèves. Si non, leur donner le feuillet explicatif (annexe 7). La multiplication égyptienne est moins compliquée qu’il n’en paraît. Comme ce procédé est complètement nouveau pour les élèves (rien à voir avec la planche à calculer), les élèves seront certainement déstabilisés au début de l’exercice. Par contre, une fois que l’on saisit le principe des duplications successives, l’opération se fait quand même assez facilement. L’objectif ici est que les élèves comprennent comment les multiplications égyptiennes fonctionnent, mais aussi, qu’ils comprennent pourquoi ce procédé fonctionne (la distributivité de la multiplication sur l’addition). Une fois la multiplication maîtrisée, la division ne devrait pas poser trop de problèmes puisqu’il s’agit du même procédé, mais à l’inverse.
Ce jour-là, il y avait des absents et ils n’étaient que 3 dans l’équipe des Égyptiens. Après avoir fait la multiplication, une élève a proposé de faire l’affiche, mais elle s’est ensuite rappelé que l’équipe avait aussi une division à faire. Plus tard (23 minutes après le début de l’activité), nous les avons laissés discuter de l’organisation de leur affiche, mais lorsqu’ils ont réalisé tous les hiéroglyphes qu’ils devaient dessiner, ils n’étaient plus sûrs. Nous leur avons suggéré de faire un brouillon avant de faire leur affiche.Pour la deuxième
équipe à avoir travaillé les multiplications et les divisions égyptiennes, les élèves ont rapidement observé la régularité dans le tableau de multiplication égyptien Après 28 minutes, nous sommes venus les voir et ça y était, ils avaient réussi la multiplication égyptienne. Nous leur avons ensuite proposé de poursuivre avec les divisions.
Système babylonien : Pour ce qui est des multiplications babyloniennes, le procédé se complique. En recevant le tableau utilisé par les savants babyloniens et les tables de multiplication (annexe 12c), les élèves risquent de ne pas savoir comment procéder. L’enseignante devrait les laisser proposer des hypothèses, puis leur donner le feuillet explicatif assez rapidement. En effet, toujours en base 60 et cette fois en symboles babyloniens, l’exemple donné aux élèves s’étale sur trois pages et comporte de nombreuses étapes. Le procédé est différent de l’addition répétée dans le tableau sumérien, il se fait à l’aide de colonnes en base 60 (unités, soixantaines et « soixantaines de soixantaines »). Aussi, les scribes de l’époque avaient recours à des « tables de multiplication ». Toutes ces nouveautés rendent la multiplication très ardue pour les élèves, c’est pourquoi ils auront besoin d’être épaulés et encouragés. Ils n’aborderont pas la division, le procédé étant trop complexe pour des élèves du primaire.
Après sept minutes, nous sommes venus leur expliquer que les tables de multiplication étaient gravées et transmises de génération en génération. Après 12 minutes, nous sommes venus nous asseoir avec eux et les avons accompagnés dans la lecture du feuillet explicatif pour revoir les étapes avec eux. Comme nous savions que ce procédé était le plus difficile, nous venions les observer souvent. À 37 minutes, ils sont venus nous chercher parce qu’ils avaient terminé et que ça fonctionnait, ils avaient vérifié leur réponse. Ils semblaient épuisés, mais fiers d’eux.
Système romain : Les élèves recevront un modèle d’abaque à jetons romain (annexe 12c) et devraient émettre des hypothèses quant à son fonctionnement. À l’aide du feuillet explicatif, ils apprendront à faire une multiplication avec la méthode des Romains. Comme l’exemple donné contient un multiplicateur à deux chiffres et que les élèves ont récemment appris ce type de multiplication, les élèves risquent de faire des liens avec les méthodes vues en classe (algorithme conventionnel, par jalousie, en colonnes et en tableau). Bref, la manipulation de l’abaque à jetons est ardue puisqu’elle nécessite plusieurs étapes, comprend plusieurs résultats partiels et demande une bonne compréhension du système positionnel pour savoir dans quelles colonnes placer les résultats. Par exemple, dans quelles
colonnes aller placer le résultat partiel d’une multiplication de dizaines par des centaines ? Le feuillet explicatif remis aux élèves a beau donner une astuce, il faut toutefois bien la maîtriser.
Un élève nous a demandé si son équipe allait recevoir « quelque chose qu’on peut manipuler ». Nous lui avons précisé que pour la multiplication, le procédé se ferait plutôt sur papier. En effet, pour les additions et les soustractions, les élèves de cette équipe avaient expérimenté ces opérations sur une reproduction d’un abaque de poche romain. Pour les multiplications, nous voulions qu’ils expérimentent sur la reproduction d’un abaque sur table qui était plus facile à dessiner qu’à construire. Nous avons remis aux élèves de cette équipe l’abaque romain du feuillet explicatif sur les multiplications. Très rapidement (après seulement deux minutes), nous leur avons remis le feuillet explicatif. Après neuf minutes, ils semblaient perdre leur temps ou ne pas comprendre. Nous les avons alors informés que le feuillet comptait trois pages. Ils semblaient surpris, mais étaient rassurés de ne pas comprendre (ils n’avaient lu que la première page).
Système chinois : L’exemple de la multiplication sur le boulier chinois donné aux élèves (tiré d’Ifrah) est plus simple que la multiplication romaine puisqu’elle contient un multiplicande à deux chiffres et un multiplicateur à un chiffre (24 x 7). Une difficulté que les élèves vont peut-être rencontrer est de se mélanger en plaçant les résultats partiels sur les tiges, tout comme ils oublient parfois (ou ne comprennent pas) qu’il faut mettre un zéro au résultat d’une multiplication d’unités par des dizaines. Si c’est le cas, l’enseignante questionnera les élèves sur la valeur des résultats partiels dans l’exemple donné et dans l’algorithme conventionnel. Par exemple, elle pourra demander « Si je multiplie 7 par 2 dizaines, qu’est-ce que ça va donner? » L’enseignante s’attend à ce qu’ils répondent 14 dizaines ou 140. Si ce n’est pas le cas, l’enseignante insistera sur le fait que le 2 de 24 ne vaut pas 2. Elle en profitera également pour faire le lien avec l’algorithme conventionnel.
L’équipe travaillant sur les opérations chinoises a reçu encore une fois le boulier chinois. Après six minutes de manipulation, nous leur avons demandé de nous faire une démonstration. Comme leur démonstration était plutôt boiteuse, nous leur avons remis le feuillet explicatif. Nous sommes quand même venus les voir à quelques reprises et leur avons donné quelques précisions. Les filles se plaignaient du manque de sérieux des garçons. Après 27 minutes, nous sommes venus les voir pour leur demander si c’était plus
clair. Ils nous ont répondu que oui et nous leur avons proposé d’essayer sur le boulier à tour de rôle, ce qu’ils ont fait sous la supervision de l’élève qui comprenait bien. Quatre minutes plus tard, un élève moins impliqué a dit encore ne pas comprendre. L’élève qui avait compris le premier a repris ses explications. Durée réelle : 35 minutes.
Conduite attendue de l’enseignante : Circuler parmi les équipes et questionner les élèves sur leur compréhension des opérations. Faire des liens entre les algorithmes conventionnels (ce qui est connu des élèves) et les nouvelles techniques qu’ils doivent s’approprier (le nouveau). Encourager les équipes, les soutenir, revoir avec eux les étapes du procédé, une par une.
Durée : 90 minutes
Matériel : Dessin d’un abaque mésopotamien (annexe 11b) Tableau d’une multiplication égyptienne (annexe 11c) Tableau utilisé par les scribes babyloniens (annexe 11c) Tables de multiplication babylonienne (annexe 11c) Dessin d’un abaque à jetons (annexe 11c)
Boulier chinois
Les multiplications et divisions expliquées aux élèves (annexe 7)
Le calendrier prévu n’a pas pu être respecté. En effet, nous avions consacré beaucoup de temps à la séquence depuis un mois et d’autres matières commençaient à en souffrir. Le fait que nous ne soyons avec nos élèves que trois jours par semaine n’aidait pas. Finalement, la chaleur exceptionnelle des semaines précédentes avait rendu le travail encore plus ardu, c’est pourquoi nous avons fait une petite pause d’une semaine.
4.4.
Les activités d’intégration
Comme nous l’avons vu plus tôt, ces activités visent l’intégration et la réorganisation des nouveaux apprentissages. Elles permettent aux élèves de mettre des mots sur les nouveaux apprentissages, de comparer des stratégies et des méthodes, de classer et d’organiser les apprentissages. De plus, lorsque les élèves ont à expliquer à leurs camarades de classe un nouveau procédé, ils intègrent leurs apprentissages. Aussi, lorsqu’on leur demande de faire des liens entre les différents systèmes et notre système actuel, de situer sur une carte du monde les peuples et sur une ligne du temps les découvertes
mathématiques, les élèves mettent en œuvre leurs apprentissages et font des liens vers d’autres disciplines.