Chapitre 3 Moteurs électriques
3.2 Moteurs à courant continu (DC)
3.2.1 Généralités et définitions
Le premier moteur à courant continu a été réalisé en 1836. Cette technologie a été beaucoup utilisée, dans une plage de puissance de ~0,1 W à ~4 MW, pour produire de l’énergie électrique à courant continu et pour tous les entraînements à vitesse variable des véhicules électriques et des machines-outils. Ils sont maintenant remplacés par des moteurs à tension alternative, sauf pour les petites puissances (en-dessous de 100 W).
Figure 3.3 Moteurs à courant continu de 0,7 W, 25 kW et 1 960 kW
(sources : Portescap (www.portescap.com) et ABB (www.abb.ch)
Figure 3.4 Représentation d’un moteur DC
(sources : Walter Fendt (D) (www.walter-fendt.de)
Le fonctionnement des moteurs à courant continu fait appel à deux principes de l’électromagnétisme, qui sont abordés dans les cours de physique :
• Lorsqu’un conducteur parcouru par un courant i(t) est placé dans un champ magnétique constant, il se crée une force proportionnelle F(t) qui tend à faire bouger ce conducteur.
• Lorsqu’une spire de fil de cuivre est plongée dans un champ magnétique qui varie au cours du temps, il apparaît à ses bornes une tension ui (t), appelée tension induite. Cette tension est proportionnelle à la ra-pidité de changement du champ magnétique.
Dans la partie fixe du moteur, le stator, des aimants (ou des électro-aimants) créent un champ magnétique.
Dans sa partie mobile, le rotor, des spires sont parcourus par le courant d’induit Ia. La force qui apparaît dans ces conditions fait tourner chaque spire autour de son axe.
Un élément caractéristique des moteurs DC est le collecteur, qui a un double rôle :
• Constitué de balais, généralement en carbone, qui frotte sur des bandes de cuivre, il permet le transfert du courant entre le rotor du moteur et son environnement qui est fixe.
• Formé d’une multitude de lamelles isolées entre elles, il dirige et oriente le courant vers les spires qui sont les mieux placées pour produire le couple, en fonction de la position angulaire du moteur. Si le col-lecteur était remplacé par des bagues, transmettant le courant toujours dans le même sens, la spire se pla-cerait dans un plan perpendiculaire au champ magnétique, et la force disparaîtrait.
3.2.1.1 Équations de conversion électromécanique
Pour la plupart des moteurs DC, le champ magnétique est créé par des aimants permanents. Il est donc cons-tant. Le couple électromagnétique produit par ce moteur est proportionnel au courant d’induit.
Définition 3.1 La constante de couple kT d’un moteur DC à aimant permanent est le facteur de propor-tionnalité entre le courant d’induit et le couple électromagnétique produit.
Équation 3.5 𝛴𝛴𝑝𝑝𝑚𝑚 =𝑘𝑘𝑇𝑇∙ 𝐼𝐼𝑠𝑠
La tension induite, qui apparaît aux bornes du moteur lorsque celui-ci tourne, est proportionnelle à la vitesse de rotation.
Définition 3.2 La constante de vitesse kE d’un moteur DC à aimant permanent est le facteur de propor-tionnalité entre la tension induite et la vitesse angulaire du moteur.
Équation 3.6 𝑈𝑈𝑠𝑠 =𝑘𝑘𝐸𝐸∙ 𝜔𝜔
Si nous divisons les termes de ces deux équations, nous obtenons : 𝑈𝑈𝑠𝑠
𝛴𝛴𝑝𝑝𝑚𝑚= 𝑘𝑘𝐸𝐸∙ 𝜔𝜔
𝑘𝑘𝑇𝑇∙ 𝐼𝐼𝑠𝑠 ⟹ 𝑈𝑈𝑠𝑠∙ 𝐼𝐼𝑠𝑠 𝛴𝛴𝑝𝑝𝑚𝑚∙ 𝜔𝜔=𝑘𝑘𝐸𝐸
𝑘𝑘𝑇𝑇
Si nous négligeons toutes les pertes thermiques du moteur, ce rapport ne peut valoir que 1, puisque la puis-sance électrique (au numérateur) doit être égale à la puispuis-sance mécanique (au dénominateur), en vertu du principe de conservation de l’énergie. Nous en déduisons que :
Équation 3.7 𝑘𝑘𝑇𝑇 =𝑘𝑘𝐸𝐸
Attention : Dans toutes ces relations, la vitesse doit être exprimée en [rad/s]. Or l’usage veut que les vitesses de rotation soient souvent exprimées en [rpm] (tours par minute).
Remarque : Presque tous les constructeurs de moteurs spécifient la constante de vitesse non pas en [V s/rad], mais plutôt sous forme de la tension induite produite lorsque le moteur tourne à 1 000 [tr/min]. Pour cette raison, la valeur qu’ils indiquent pour 𝑘𝑘𝐸𝐸 diffère de celle utilisée dans ce cours.
EXEMPLE
Dans sa fiche technique, un constructeur spécifie que, lorsque le moteur tourne à 1 000 tr/min, sa tension induite est de 24 V.
Par abus de langage, il écrira peut-être « 𝑘𝑘𝐸𝐸 = 24 V / 1 000 tr/min ». La véritable constante de vitesse kE, exprimée en unité
3.2.2 Équation électrique du moteur DC
Figure 3-5 Modèle électrique d’un moteur DC à aimants permanents
La partie électrique d’un moteur DC est généralement modélisée comme l’indique la Figure 3-5 :
• La résistance d’induit Ra permet de tenir compte de tous les effets résistifs qui s’opposent à la circula-tion du courant d’induit. En réalité, il faudrait tenir compte d’une multitude de résistances :
− la résistance des 2 fils électriques entre les bornes et le collecteur ;
− les résistances des lames de cuivre, des balais en graphite, et de l’étincelage dues au collecteur :
− les résistances des nombreuses spires, plus ou moins identiques, dans le rotor.
• L’inductance d’induit La permet de tenir compte de tous les effets inductifs qui ne sont pas liés aux mouvements du rotor. En effet, même si le rotor est bloqué et ne génère aucune tension induite, tous les enroulements se comportent comme des inductances.
• La source idéale de tension ui(t) permet de tenir compte de la tension induite. Sa valeur dépend de la vitesse du moteur et de la constante de vitesse kE.
Il convient de remarquer qu’il n’est pas possible de mesurer directement la tension aux bornes de chaque composant de ce modèle, même si le moteur était ouvert, car ils n’ont aucune réalité physique. Ces modèles regroupent en effet les propriétés résistives et inductives du moteur. Seuls le courant ia(t) et la tension ua(t) aux bornes du moteur sont accessibles, et peuvent être mesurées.
Ce modèle n’est correct que dans certaines limites de précision et de linéarité, mais il et amplement suffisant pour déterminer si un moteur DC convient pour une application donnée. Ses valeurs sont déterminées par le fabricant. Comme les constantes de couple kT et de vitesse kE, elles peuvent varier :
• en fonction de la température– c’est le cas surtout de la résistance Ra, qui augmente de 40% lorsque le bobinage du moteur s’échauffe de 100ºC, ce qui est parfaitement normal à charge nominale ;
• en fonction de l’usure – c’est surtout le cas de la résistance du collecteur Ra., qui peut prendre tout à coup des valeurs telles qu’un échange du moteur, ou en tout cas une réparation, deviennent indispen-sables ;
• en fonction du vieillissement– c’est le cas par exemple des constantes de couple kT et de vitesse kE, qui peuvent décroitre de 5% à cause de la démagnétisation progressive des aimants ;
• en fonction des variations constructives, d’un moteur à l’autre, même s’ils sont fabriqués en série – c’est particulièrement le cas des aimants, qui peuvent influencer la valeur des constantes de couple kT et de vitesse kE dans une plage de ±5%.
En application de la loi de Kirchhoff sur les mailles, nous établissons l’équation électrique du moteur DC : Équation 3.8 𝑢𝑢𝑠𝑠(𝑡𝑡) =𝑅𝑅𝑠𝑠∙ 𝑖𝑖𝑠𝑠(𝑡𝑡) +𝐿𝐿𝑠𝑠∙𝑑𝑑𝑖𝑖𝑠𝑠(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑡𝑡 +𝑢𝑢𝑠𝑠(𝑡𝑡)
Le circuit d’alimentation d’un moteur DC comporte toujours une résistance série, qui correspond à la résis-tance pas toujours négligeable des fils électriques reliant la source de tension aux bornes du moteur. Il arrive même que le circuit d’alimentation comporte une inductance série, qui correspond aux imperfections du câ-blage, ou qui est parfois ajoutée pour assurer le bon fonctionnement du moteur avec une alimentation à dé-coupage, comme nous le verrons au chapitre 4.3.
Dans le cas général, nous pouvons ainsi modéliser le circuit d’alimentation par une source réelle de tension, caractérisée par :
• Sa tension à vide u0(t) ;
• Sa résistance interne 𝑅𝑅𝑠𝑠;
• Son inductance interne 𝐿𝐿𝑠𝑠.
Dans un tel cas, l’équation électrique du moteur devient : Équation 3.9 𝑢𝑢0(𝑡𝑡) = (𝑅𝑅�������𝑠𝑠+𝑅𝑅𝑠𝑠)
𝑅𝑅𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡
∙ 𝑖𝑖𝑠𝑠(𝑡𝑡) + (𝐿𝐿�������𝑠𝑠+𝐿𝐿𝑠𝑠)
𝐿𝐿𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡
∙𝑑𝑑𝑖𝑖𝑠𝑠(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑡𝑡 +𝑢𝑢𝑠𝑠(𝑡𝑡)
3.2.3 Équation cinématique du moteur DC
La partie mécanique d’un moteur DC, comme de tous les types de moteurs rotatifs d’ailleurs, peut être modé-lisée comme indiqué en Figure 3-6.
Figure 3-6 Modélisation cinématique d’un moteur DC
Attention : Le bloc « Moteur » de la figure ne représente que la partie « convertisseur d’énergie électrique en énergie mécanique » du moteur réel. Sa sortie est le couple électroma-gnétique produit Tem(t). Ce couple n’est pas le couple à l’arbre transmis par le moteur réel à la charge :
Équation 3.10 𝛴𝛴𝑝𝑝𝑚𝑚(𝑡𝑡)≠ 𝛴𝛴𝑠𝑠𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑡𝑡)
Si nous considérons l’arbre du moteur, avec la charge qu’il entraîne, nous pouvons considérer qu’il est sou-mis à plusieurs couples :
• le couple électromagnétique 𝛴𝛴𝑝𝑝𝑚𝑚(𝑡𝑡) produit par le moteur ;
• le couple de frottement interne 𝛴𝛴𝑓𝑓𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝−𝑀𝑀(𝑡𝑡) dû à la rotation du rotor dans le moteur (paliers, résistance de l’air dans le moteur) ;
• les couples de frottement externes 𝛴𝛴𝑓𝑓𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝−𝐿𝐿(𝑡𝑡) dus à la rotation de l’axe à l’extérieur du moteur (pa-liers, résistance de l’air, réducteur, etc.) ;
• le couple utile 𝛴𝛴𝑚𝑚𝑝𝑝𝑠𝑠𝑙𝑙𝑝𝑝(𝑡𝑡) de la charge, dû par exemple à l’effort d’usinage d’une fraise dans la matière usinée, ou à l’effet de la gravitation sur une masse en mouvement vertical entraînée par le moteur dans le cas d’un treuil.
En régime « moteur » (quadrants 1 et 3), le couple électromagnétique 𝛴𝛴𝑝𝑝𝑚𝑚(𝑡𝑡) agit dans un sens, alors que tous les autres couples agissent en sens inverse.
En vertu de la loi de Newton, si couple résultant est nul, la vitesse de rotation de l’arbre du moteur reste inchangée (positive, négative ou nulle). Si le couple résultant n’est pas nul, le rotor est soumis à une accélé-ration. Celle-ci est proportionnelle au couple résultant que nous appellerons couple d’accélération et note-rons 𝛴𝛴𝑠𝑠𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑡𝑡), et inversement proportionnelle à la somme des inerties.
Nous pouvons ainsi écrire :
Équation 3.11 𝛴𝛴𝑝𝑝𝑚𝑚(𝑡𝑡)− �𝛴𝛴�������������������������𝑓𝑓𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝−𝑀𝑀(𝑡𝑡) +𝛴𝛴𝑓𝑓𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝−𝐿𝐿(𝑡𝑡) +𝛴𝛴𝑚𝑚𝑝𝑝𝑠𝑠𝑙𝑙𝑝𝑝(𝑡𝑡)�
𝑇𝑇𝑟𝑟é𝑠𝑠(𝑝𝑝)
=𝛴𝛴𝑠𝑠𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑡𝑡) Dans cette équation, nous avons introduit :
• le couple résistant 𝛴𝛴𝑝𝑝é𝑒𝑒(𝑡𝑡), qui est la somme de tous les couples s’opposant au mouvement de rotation de l’axe du moteur ;
• le couple d’accélération 𝛴𝛴𝑠𝑠𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑡𝑡), qui est la différence entre le couple électromagnétique 𝛴𝛴𝑝𝑝𝑚𝑚(𝑡𝑡) produit par le moteur et le couple résistant 𝛴𝛴𝑝𝑝é𝑒𝑒(𝑡𝑡)
En régime « générateur-frein » (quadrants 2 et 4), il suffit de considérer que le couple électromagnétique est négatif pour que l’équation ci-dessus reste valable et que les définitions gardent leur signification.
Nous obtenons ainsi l’équation cinématique du moteur :
Équation 3.12 𝛴𝛴�����������𝑝𝑝𝑚𝑚(𝑡𝑡)− 𝛴𝛴𝑝𝑝é𝑒𝑒(𝑡𝑡)
𝑇𝑇𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝑝𝑝)
=𝐽𝐽𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑙𝑙∙𝑑𝑑𝜔𝜔(𝑡𝑡)
���𝑑𝑑𝑡𝑡
𝛼𝛼(𝑝𝑝)
La valeur de l’inertie 𝐽𝐽𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑙𝑙 doit prendre en compte non seulement celle du moteur, mais aussi l’inertie équi-valente à la charge entraînée, calculée en tenant compte du réducteur éventuel, comme décrit au chapitre 2.6 :
Équation 3.13 𝐽𝐽𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑙𝑙 =𝐽𝐽𝑀𝑀+𝐽𝐽𝐿𝐿−é𝑞𝑞𝑚𝑚𝑠𝑠𝑞𝑞�
3.2.4 Puissance et rendement d’un moteur DC
Définition 3.3 La puissance nominale Pnom d’un moteur DC est la puissance constante que le moteur peut délivrer à son arbre, lorsqu’il est alimenté à sa tension nominale constante et qu’il tourne à sa vitesse nominale constante. Il s’agit d’une valeur garantie par le fournisseur du moteur dans des conditions spécifiées (température, altitude, mode de montage, etc.).
La puissance à l’arbre est la puissance mécanique fournie par le moteur : Équation 3.14 𝑃𝑃𝑠𝑠𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑡𝑡) =𝛴𝛴𝑠𝑠𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑡𝑡)∙ 𝜔𝜔(𝑡𝑡)
où 𝜔𝜔(𝑡𝑡) est la vitesse de rotation exprimée en [rad/s]
La puissance électrique se calcule simplement par : Équation 3.15 𝑃𝑃é𝑙𝑙𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑡𝑡) =𝑢𝑢𝑠𝑠(𝑡𝑡)∙ 𝑖𝑖𝑠𝑠(𝑡𝑡)
Les pertes par frottements et les pertes ohmiques affectent tout deux le rendement du moteur. Comme la puissance nominale, le rendement d’un moteur est spécifié par le fournisseur du moteur lorsque celui-ci fonctionne à régime nominal, constant (vitesse nominale, puissance nominale).
Le rendement du moteur s’exprime par la relation suivante, lorsqu’il fonctionne en régime « moteur » (qua-drants 1 et 3) :
Équation 3.16 𝜂𝜂= 𝑃𝑃𝑚𝑚𝑝𝑝𝑠𝑠𝑙𝑙𝑝𝑝(𝑡𝑡) 𝑃𝑃𝑓𝑓𝑝𝑝𝑚𝑚𝑝𝑝𝑠𝑠𝑠𝑠𝑝𝑝(𝑡𝑡) =
𝑃𝑃𝑠𝑠𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑡𝑡) 𝑃𝑃é𝑙𝑙𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑡𝑡)
Le moteur est réversible. Lorsqu’il travaille en mode « générateur (frein) » (quadrants 2 et 4), il convertit la puissance mécanique fournie par la charge en puissance électrique, qu’il restitue à l’alimentation. Les pertes ohmiques et les pertes par frottement doivent par contre être déduites de l’énergie mécanique fournie. Il en résulte que l’énergie électrique restituée est moins élevée que l’énergie mécanique fournie. Le rendement du moteur s’exprime alors par la relation suivante :
Équation 3.17 𝜂𝜂= 𝑃𝑃𝑚𝑚𝑝𝑝𝑠𝑠𝑙𝑙𝑝𝑝(𝑡𝑡) 𝑃𝑃𝑓𝑓𝑝𝑝𝑚𝑚𝑝𝑝𝑠𝑠𝑠𝑠𝑝𝑝(𝑡𝑡) =
𝑃𝑃é𝑙𝑙𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑡𝑡) 𝑃𝑃𝑠𝑠𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑡𝑡)
Attention : L’Équation 3.16 et l’Équation 3.17 semblent à première vue incompatibles entre elles.
C’est pour la même raison que pour le rendement des réducteurs, comme vu au cha-pitre 2.3. Le rendement ne peut être défini que comme le rapport entre la puissance (ou l’énergie) utile et la puissance (ou l’énergie) fournie. Or, les moteurs électriques étant réversibles, leur puissance fournie peut être la puissance électrique ou la puis-sance à l’arbre, suivant qu’il fonctionne dans un quadrant « moteur » ou un quadrant
« générateur-frein ». Il en va de même pour la puissance utile.
Les puissances entrant en jeu dans le fonctionnement d’un moteur peuvent être calculées et représentées plus en détail (Figure 3-7).
Figure 3-7 Puissances entrant en jeu dans le fonctionnement d’un moteur, à vitesse constante.
Les pertes électriques, résultant de l’effet Joule dans la résistance d’induit, sont données par : Équation 3.18 𝑃𝑃𝐽𝐽𝑝𝑝𝑚𝑚𝑙𝑙𝑝𝑝(𝑡𝑡) =𝑅𝑅𝑠𝑠∙ 𝑖𝑖𝑠𝑠2(𝑡𝑡)
Les pertes mécaniques, résultant des frottements à l’intérieur du moteur, sont données par : Équation 3.19 𝑃𝑃𝑓𝑓𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑡𝑡) =𝛴𝛴𝑓𝑓𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝.(𝑡𝑡)∙ 𝜔𝜔(𝑡𝑡)
où 𝛴𝛴𝑓𝑓𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝.(𝑡𝑡) représente l’ensemble des couples de frottement à l’intérieur du moteur
Il convient de préciser que le couple de frottement interne au moteur est généralement difficile à modéliser, comme dans tous les systèmes mécaniques. Dans le cadre de ce cours, nous n’en ferons qu’une approxima-tion, avec les options suivantes :
• Frottements internes approximativement nuls – Cette approximation peut être faite lorsque nous de-vons faire des calculs de puissance à ±5% près, par exemple lorsqu’il faut vérifier que la puissance no-minale d’un moteur convient pour une application donnée.
• Frottements internes constants, positifs à vitesse positive, négatif à vitesse négative, nuls à vitesse nulle – Cette approximation peut convenir lorsqu’il faut évaluer la vitesse max. que peut atteindre un moteur, à vide, alimenté à une tension donnée.
• Frottements secs, frottements visqueux – Cette prise en compte plus précise des frottements peut être nécessaire dans certaines applications. Il convient alors de prendre en compte que les valeurs numériques disponibles restent très approximatives.
Nous pouvons aussi calculer la puissance électromagnétique, c’est-à-dire la puissance électrique convertie en puissance mécanique au sein du moteur :
Équation 3.20 𝑃𝑃𝑝𝑝𝑚𝑚(𝑡𝑡) =𝑃𝑃é𝑙𝑙𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑡𝑡)− 𝑃𝑃𝐽𝐽𝑝𝑝𝑚𝑚𝑙𝑙𝑝𝑝(𝑡𝑡) =𝑃𝑃𝑠𝑠𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑡𝑡) +𝑃𝑃𝑓𝑓𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑡𝑡)
Remarque : Dans ce chapitre, nous avons considéré que la vitesse était constante, ce qui nous a permis de calculer le couple à l’arbre Tarbre(t).
Lorsque le moteur travaille en régime intermittent, les calculs de pertes se font de la même manière. Par contre, la puissance à l’arbre n’a plus de sens, puisqu’il faut en-core tenir compte de la puissance nécessaire pour accélérer ou décélérer le moteur lui-même. Il est important de se rendre compte que cette puissance n’est pas une perte, puisqu’elle est stockée sous forme d’énergie cinétique dans l’inertie du moteur en ro-tation.
3.2.5 Comportement dynamique des moteurs DC
Très souvent dans les machines, les moteurs DC sont utilisés pour régler un mouvement en vitesse ou en position (voir chapitres 1.6.4 et 1.6.5). Les équations du moteur vues aux chapitres précédents permettent de modéliser son comportement dynamique, c’est-à-dire l’effet que peut avoir un changement de tension ou de courant d’alimentation sur l’évolution de la vitesse de rotation, tenant compte du comportement de la charge et de l’ensemble des inerties.
Considérons le cas d’un moteur à vide, alimenté par une tension nulle. Comme il ne reçoit ni énergie élec-trique, ni énergie mécanique, sa vitesse ne peut être que nulle. Même si on le faisait tourner, par exemple avec les doigts, il s’arrêterait irrémédiablement après un certain temps sous l’effet des frottements, aussi faibles soient-ils.
Admettons qu’à l’instant t = 0, on applique au moteur une tension constante 𝑈𝑈𝑠𝑠. Nous savons par l’expérience qu’il se met à tourner, et que sa vitesse se stabilisera après un certain temps à une vitesse 𝛺𝛺∞. Nous pouvons déterminer le comportement du moteur à partir de cet instant t = 0 grâce aux 4 équations du moteur DC vues précédemment :
Admettons, dans un premier temps, que le couple résistant 𝛴𝛴𝑝𝑝é𝑒𝑒(𝑡𝑡) est nul, et introduisons la valeur constante 𝑈𝑈𝑠𝑠 de la tension. Dans ce cas, nous pouvons exprimer le courant et sa dérivée, puis introduire leurs valeurs dans l’équation électrique, et remplacer la tension induite par sa valeur fonction de la vitesse :
𝑖𝑖𝑠𝑠(𝑡𝑡) =𝛴𝛴𝑝𝑝𝑚𝑚(𝑡𝑡) Nous obtenons ainsi une équation différentielle d’ordre 2 : 𝐿𝐿𝑠𝑠∙𝐽𝐽𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑙𝑙 À ce stade, nous pouvons définir deux constantes de temps :
Définition 3.4 La constante de temps électrique τél d’un moteur DC à aimant permanent caractérise le comportement transitoire du moteur en relation avec l’énergie magnétique stockée dans ses circuits inductifs.
Équation 3.21 𝜏𝜏é𝑙𝑙 = 𝐿𝐿𝑠𝑠
𝑅𝑅𝑠𝑠 [s]
Dans le cas où le circuit d’alimentation comporte également une résistance série et une inductance série, comme vu au chapitre 3.2.2, et que leurs valeurs ne sont pas assez faibles en comparaison avec celles du moteur pour être négligées, il convient de remplacer la temps électrique du moteur par celle du circuit d’induit complet :
Équation 3.22 𝜏𝜏é𝑙𝑙 = 𝐿𝐿𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑙𝑙
𝑅𝑅𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑙𝑙=𝐿𝐿𝑠𝑠+𝐿𝐿𝑠𝑠
𝑅𝑅𝑠𝑠+𝑅𝑅𝑠𝑠 [s]
Définition 3.5 La constante de temps mécanique τméc d’un moteur DC à aimant permanent caractérise le comportement transitoire du moteur en relation avec l’énergie cinétique stockée dans l’ensemble des masses en rotation.
Équation 3.23 𝜏𝜏𝑚𝑚é𝑝𝑝=𝑅𝑅𝑠𝑠∙ 𝐽𝐽𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑙𝑙
𝑘𝑘𝑇𝑇∙ 𝑘𝑘𝐸𝐸 [s]
où 𝑅𝑅𝑠𝑠 est la résistance du circuit d’induit du moteur DC en [Ω],
𝐽𝐽𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑙𝑙 est la somme de l’inertie du moteur et de l’inertie équivalente de la charge ramenée au moteur, en [kgm2],
𝑘𝑘𝑇𝑇 et 𝑘𝑘𝐸𝐸 sont les constantes de couple et de vitesse du moteur DC, en unités SI.
En introduisant ces constantes de temps, l’équation différentielle devient : 𝜏𝜏é𝑙𝑙∙ 𝜏𝜏𝑚𝑚é𝑝𝑝∙𝑑𝑑2𝜔𝜔(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑡𝑡2 +𝜏𝜏𝑚𝑚é𝑝𝑝∙𝑑𝑑𝜔𝜔(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑡𝑡 +𝜔𝜔(𝑡𝑡)−𝑈𝑈𝑠𝑠 𝑘𝑘𝐸𝐸= 0
Il existe plusieurs moyens de résoudre une telle équation différentielle d’ordre 2, en particulier la transfor-mée de Laplace. Dans le cadre de ce cours, nous nous contenterons de poursuivre les calculs dans un cas très particuliers, c’est-à-dire pour les entraînements caractérisés par τél << τméc. Tous le petits moteurs DC dont la puissance nominale est inférieure à environ 20 W sont caractérisés par une inductance d’induit 𝐿𝐿𝑠𝑠 très faible, et ainsi une constante électrique 𝜏𝜏é𝑙𝑙 inférieur d’un facteur 50 et plus à la constante de temps méca-nique 𝜏𝜏𝑚𝑚é𝑝𝑝. Dans de tels cas, le terme contenant la 2ème dérivée de la vitesse est négligeable par rapport aux trois autres. L’équation différentielle du moteur devient alors, par approximation :
𝜏𝜏𝑚𝑚é𝑝𝑝∙𝑑𝑑𝜔𝜔(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑡𝑡 +𝜔𝜔(𝑡𝑡)−𝑈𝑈𝑠𝑠 𝑘𝑘𝐸𝐸 = 0
Nous pouvons normaliser cette équation et utiliser le rappel théorique du chapitre 3.1, pour obtenir successi-vement :
Dans cette équation décrivant l’évolution de la vitesse à partir de l’instant t = 0, Ω0 est la vitesse initiale, supposée nulle, et Ω∞ la vitesse finale à laquelle le moteur se stabilise à la fin du régime transitoire.
Le résultat prend la forme plus simple : ω(t) =Ω∞∙ �1−e−t 𝜏𝜏�𝑚𝑚é𝑎𝑎�
Nous pouvons aussi déterminer l’évolution du courant, en procédant comme suit : 𝑖𝑖𝑠𝑠(𝑡𝑡) =𝐽𝐽𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑙𝑙 nulle, seule la résistance du circuit d’induit 𝑅𝑅𝑠𝑠 limite le courant, ce qui détermine le courant initial :
Iinitial =Ua Ra
Ce résultat montre un courant qui, à l’instant t = o, saute instantanément de zéro à Iinitial Ce n’est possible que parce que nous avons fait l’hypothèse que l’inductance du circuit d’induit 𝐿𝐿𝑠𝑠 était nulle. En réalité, cette inductance s’oppose à la variation brusque de courant. Si nous voulons voir plus précisément comment se passe cette transition de courant, nous pouvons simplement considérer qu’elle se produit tellement rapide-ment que la vitesse du moteur n’a pas le temps de croître de manière significative, comme si le rotor du mo-teur était bloqué.
Dans ces conditions, l’évolution du courant découle directement de l’équation électrique du moteur, comme suit :
La solution de cette équation différentielle d’ordre 1 est : 𝑖𝑖(𝑡𝑡) =𝐼𝐼0+ (𝐼𝐼∞− 𝐼𝐼0)∙ �1−e−t 𝜏𝜏�é𝑡𝑡�
𝐼𝐼0est le courant initial (pour t < 0), et vaut donc zéro. 𝐼𝐼∞ est le courant circulant dans l’induit du moteur à la
Figure 3-8 Allure de la vitesse et du courant en fonction du temps en [s] d’un petit mo-teur DC à vide, caractérisé par τméc = 100 [ms] et τél = 50 [µs], soumis sou-dainement à une tension DC constante.
Figure 3-9 Allure de la vitesse et du courant du même petit moteur DC, dans les mêmes conditions, mais en « zoomant » l’échelle de temps sur les premières cen-taines de microsecondes.
0 100 200 300 400 500 600
0.0000 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000
vitesse [rad/s]
0 50 100 150
0.0000 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000
courant [mA]
0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50
0.0000 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005
vitesse [rad/s]
0 50 100 150
0.0000 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005
courant [mA]
Pour les moteurs DC de puissance plus élevée, les constantes de temps sont du même ordre de grandeur et il n’est plus possible de faire les hypothèses simplificatrices précédentes. Tant que 𝜏𝜏𝑚𝑚é𝑝𝑝 > 4∙ 𝜏𝜏é𝑙𝑙, le compor-tement de la vitesse et du courant est du type illustré à la figure Figure 3-10.
Figure 3-10 Allure de la vitesse et du courant d’un plus gros moteur DC, caractérisé par un rapport 𝜏𝜏𝑚𝑚é𝑝𝑝 = 5∙ 𝜏𝜏é𝑙𝑙. Remarquez le coude de la vitesse au démarrage ! Si la constante de temps mécanique est plus faible (𝜏𝜏𝑚𝑚é𝑝𝑝< 4∙ 𝜏𝜏é𝑙𝑙), l’allure de la vitesse présente une oscilla-tion amortie ; elle commence par dépasser la vitesse finale Ω∞, puis se rapproche de cette vitesse finale après une ou plusieurs oscillations. Le calcul de cette vitesse et du courant sort du cadre de ce cours. Il est abordé, par exemple, dans le cours à option « Entraînements réglés » (MET).
Dans le cas où la constante de temps électrique ne peut pas être négligée, la résolution de l’équation
Dans le cas où la constante de temps électrique ne peut pas être négligée, la résolution de l’équation